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2025-2026学年山东省济南市莱芜区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，y是x的反比例函数的是（　　）
A. B. y=x2 C. xy=-2 D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则cosA的值是（　　）
A. B. C. D.
3.对于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点（1，-7）
C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小
4.若点A（x1，5），B（x2，-4），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A. x1＜x3＜x2 B. x2＜x3＜x1 C. x2＜x1＜x3 D. x1＜x2＜x3
5.反比例函数的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为6，则k的值为（　　）
A. -12
B. 12
C. -6
D. 6
6.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.函数和y=-kx-3（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，CD⊥AB于点D，则sin∠ACD的值为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，BC=6，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图Rt△OAC中，∠OAC=90°，点A在x轴上，点C在第一象限，反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过Rt△OAC的斜边OC的中点M，与边AC交于点N，若△OMN的面积为12，则k的值为（　　）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知，则α= .
12.如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，若坝顶AD=6m,坝高DE=8m,且∠C=30°，斜坡AB的坡度i=1：1，则坝底BC的长为 m.
13.定义一种运算：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，.则cos15°的值为 .
14.在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且∠AOB=90°，∠BAO=60°，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=6，tanB=，则CE=______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
如图，反比例函数的图象经过点P（6，2），直线y=4与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上.（1）记图中两处矩形阴影的面积分别为S1，S2，则S1______S2（填“＜”、“=”或“＞”）；
（2）求反比例函数表达式，并求ON的长.
18.(本小题7分)
将含30°角和含45°角的两个直角三角形拼成如图所示的大三角形.已知∠C=90°，∠A=30°，∠BDC=45°，BC=6，求AD的长.
19.(本小题8分)
近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度.9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业.一艘渔船以每小时30海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离.
（结果精确到0.1海里，参考数据：，）
20.(本小题8分)
研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平.学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示.
（1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.
21.(本小题9分)
如图，已知反比例函数与直线y=-2x+4交于点A（3，n），B（m,6），点C是x轴上的一点，连接AC、BC.
（1）求反比例函数表达式；
（2）若S△ABC=16，求点C的坐标；
（3）直接写出的解集.
22.(本小题10分)
如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度米，CD⊥BN.（点A，B，C，D在同一竖直平面内）.
（1）求平台BN的高度；
（2）求建筑物的高度（即CD的长）.
23.(本小题10分)
如图，已知A1，A2，A3， An，是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3= =An-1An=1，分别过点A1，A2，A3，…An,作x轴的垂线交反比例函数的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2，…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2，…，△BnPnBn+1的面积为Sn.求：
（1）S1=______，S2=______；
（2）Sn=______；
（3）求S1+S2+S3+…+Sn.
24.(本小题12分)
【知识再现】
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°.∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c.
∵sinA=，sinB=，
∴c=，c=，
∴.
【拓展探究】
（1）如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c.请探究，，之间的关系，并写出探究过程；
【解决问题】
（2）如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=40m,∠A=105°，∠C=30°，请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离.
25.(本小题12分)
如图，直线y=2x与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m,-2），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=3CD.
（1）求k的值并求出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求△GBC周长的最小值；
（3）点P是y轴上的点，是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】80°
12.【答案】
13.【答案】+
14.【答案】-9
15.【答案】3
16.【答案】．
17.【答案】= 反比例函数解析式为y=，ON=5
18.【答案】6-6．
19.【答案】约21.9海里．
20.【答案】反比例函数的关系式为y=，A点对应的指标值为20 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36
21.【答案】y=- （-2，0）或（6，0） -1＜x＜0或x＞3
22.【答案】平台BN的高度是10米 平台BN的高度是10米；米
23.【答案】（1-）;×（-） （-）
24.【答案】= 点A到点B的距离为20m
25.【答案】k=2，B（1，2） △GBC周长的最小值为 存在，符合条件的点P的坐标为（0，）或（0，-）或（0，）或（0，-）
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