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江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.在件产品中有件合格品，件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为( )
A. B. C. D.
4.某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需要较高的生产工艺，使得不超过 备注：若，则
A. B. C. D.
5.某摄影兴趣小组有名男生、名女生从名成员中选名男生，名女生分别担任队长、副队长、摄影师，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
6.设是一个试验中的两个事件，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
8.某不透明的袋子中有张蓝色卡片，张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片若已知取出的卡片全是红色，则掷出点的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，则下列说法正确的是( )
A. 二项式系数最大为 B. 各项系数的和为
C. 常数项为 D. 有理项有项
10.如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. B. 面
C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为
11.若数轴的原点处有一个质点，每次向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，设移动次后该质点坐标为随机变量则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为实数，已知，且，则 ．
13.已知随机变量服从分布，则，则 ．
14.将名工作人员分配到，，三个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，其中工作人员甲只能去岗位，则不同的安排方法的种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中，含的项的系数为．
求实数的值；
记，求．
16.本小题分
如图，在正四棱锥中，，点在侧棱上，且．
求证：；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球．
若有放回的依次抽取，求恰有次抽取到白球的概率
若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
某校田径队有编号为的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长．
求号队员在三天内至少担任一次队长的概率；
记天中选取的队员对应的最大编号为．
时，求；
求使得成立的最小的的值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，，为中点，平面．
求直线与平面所成角的正弦值；
求三棱锥的体积；
若质点的初始位置位于点处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点移动次后仍在底面上的概率为，求．
参考答案
1.
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14.
15.解：含的项的系数为：，所以．
由可知
则，对等式两边求导得：
，
令，得，
即，即．

16.解：连接交于，连接，因为四棱锥是正四棱锥，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以．
过作，交于，过作，交于，连接，
因为平面，则平面，又平面，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，又平面，则，
所以为二面角的平面角，
又，则，，
又，所以，，则，
在中，，，，
所以．

17.解：若每次抽出的球放回，则每次抽取到白球的概率为，
记随机抽取次，恰有次抽取到白球为事件，
所以；
答：若每次抽出的球放回，恰有次抽取到白球的概率为；
由题意知：所有可能的取值为，，，
因为，，，
所以的分布列为：
所以数学期望．
18.解：设每天选到号队员的事件为，，．
设事件为“三天都不选号”，则．
所以号队员在三天内至少担任一次队长的概率。
等价于三天选取的编号均不大于，且至少有一次为．
．
，，．
期望，
即．
由，得．
时，左边；
时，左边；
时，左边．
故最小的为．

19.解：以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，因为平面，且，在直角三角形中，，所以，即，
又，所以，则，，，设平面的法向量为，则
，令，解得，，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为：．
到平面的距离为，
，
，故，
因此，
所以三棱锥的体积为．
设为质点移动次后仍在底面上的概率，由题意可知，若质点在底面，下一步留在底面的概率为，若质点在顶面，下一步回到底面的概率为，
则，即，因为，
，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以．

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