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2025-2026学年上海市虹口区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点（7，-8）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.当多边形的边数由3逐渐增加到n时（n为正整数），这个多边形的外角和（　　）
A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 没有变化 D. 增、减情况不确定
3.俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A. （4，7）
B. （5，6）
C. （5，7）
D. （7，5）
4.如果平行四边形的一条边长是10，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是（　　）
A. 12和8 B. 13和6 C. 28和6 D. 20和6
5.如图，菱形ABCD各边的中点分别为E、F、G、H，如果四边形EFGH的面积为，那么菱形ABCD的面积为（　　）
A. 4
B.
C.
D.
6.下列说法正确的是（　　）
A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分
B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.正六边形的内角和是 .
8.平面直角坐标系中，点P（-3，4）到y轴的距离为______．
9.在平面直角坐标系中，已知两点M（2，5）、N（-1，3），那么MN= .
10.在平行四边形ABCD中，∠A的补角与∠B互余，那么∠C的度数为 .
11.如图，如果“车”的坐标为（-2，3），“马”的坐标为（1，3），那么“炮”的坐标为 .
12.已知点Q关于y轴的对称点为（2，y），关于x轴的对称点为（x,-7），那么点Q的坐标为 .
13.如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠AOD=120°，那么∠OEC= .
14.如图，EF是△ABC的中位线，BG平分∠ABC，交EF于点G.已知AB=8，BC=14，则GF的长为 .
15.已知点A（-2，3）、B（2，-1）、C（5，0），平行四边形ABCD的顶点D的坐标为 .
16.如图，矩形ABCD中，，E为AD上一点，将△EDC沿EC翻折，点D的对应点G恰好为△ABC的重心，那么DC= .
17.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①f（a，b）=（-a，b），如f（1，3）=（-1，3）；
②g（a，b）=（b，a），如g（1，3）=（3，1）；
③h（a，b）=（-a，-b），如h（1，3）=（-1，-3）．
按照以上变换有：f（g（2，-3））=f（-3，2）=（3，2），那么f（h（5，-3））=______．
18.在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”.如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB=30°，AB=4，那么BC的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标为A（2，3）、B（-3，3）、C（-1，-1），试求△ABC的面积.
20.(本小题7分)
如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，求△ABE的周长.
21.(本小题7分)
点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B.如果|PA|+|PB|=5，那么点P称为“好点”.例如：点M（-1，4），因为|-1|+|4|=5，所以点M是“好点”.
（1）在点A（2，-3）、、C（-2，7）中，“好点”是______；
（2）如果D（2a,-5a）是“好点”，求a的值.
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD，若AE=AB，∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
23.(本小题8分)
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺.无刻度的直尺不能度量，且无法画垂线、平行线，只能用来连线.
作图：只用无刻度直尺在图1中作出平行四边形ABCD的对角线AC的中点；小朱同学采用下面的方法：
（1）用无刻度直尺连接线段BD；
（2）线段BD与AC的交点记为P点；结合已学过的平行四边形性质，图2中的点P即为线段AC的中点.
参考以上作法，请你在以下两题中只使用无刻度直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）；
①如图3，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，请作出边AB的中点F；
②如图4，点A、点B、点C都是方格纸中的格点，作出△ABC的重心G.
24.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，点A（0，2），点B在x轴上.
（1）当点B在x轴正半轴，将点B绕点A逆时针旋转90°后落在点C处，如果△ABC的面积为6，求点B的坐标；
（2）如果点D在直线y=-1上，AB=AD，且∠BAD=90°，求点D坐标.
25.(本小题9分)
如图，在正方形ABCD中，AB=6，对角线AC、BD交于点O，点P是边CD上一点（不与点C、D重合），连接AP交BD于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F.
（1）求证：AE=EF；
（2）连接CE、DF，当CE∥DF时，求CF的长.
26.(本小题10分)
综合与实践
【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°、30°、15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：
（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.
（2）再一次折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B、E的对应点分别为B′、E′，把纸片展平.
【知识运用】请根据上述过程，连接AB′、BB′、BE′，观察图1中∠1、∠2、∠3，试猜想这三个角的大小关系是______；
【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点N为边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B、P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B、P分别落在EF、BN上，得到折痕l,点B、P的对应点分别为B′、P′，展平纸片，连接BB′、P′B′.求证：BB′是∠NBC的一条三等分线.
【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF，（其中，点E、F分别是边AB、CD的中点），连接DE，将纸片沿DE翻折，使点A落在点A′处，连接EA′并延长，交边BC于点G，求证：CG：CB=1：3.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】720°
8.【答案】3
9.【答案】
10.【答案】135°
11.【答案】（3，2）
12.【答案】（-2，7）
13.【答案】105°
14.【答案】3
15.【答案】（1，4）
16.【答案】4
17.【答案】（5，3）
18.【答案】或
19.【答案】10．
20.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是BD的中点．
又∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的中垂线，
∴BE=DE．
又∵△ABE的周长=AB+AE+BE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD．
又∵□ABCD 的周长为20cm,
∴AB+AD=10cm
∴△ABE的周长=10cm.
21.【答案】A和B a的值为
22.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠EAD；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB，
∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，
∴AB=AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
23.【答案】如图1中，点F即为所求；
如图，点G即为所求
24.【答案】（） 点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1）
25.【答案】设CF的延长线交AD的延长线于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O，
∴∠ADE=45°，∠ADC=90°，AD=CD，
∴点H在AD的延长线上，
∴∠CDH=180°-∠ADC=90°，
∵CF是∠BCD的外角角平分线，
∴∠DCH=45°，
在△DCH中，∠CDH=90°，∠DCH=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CD=HD，∠H=45°，
∴AD=HD，
即点D是AH的中点，
又∵∠H=∠ADE=45°，
∴CH∥DE，
∴DE是△AFH的中位线，
∴点E是AF的中点，
∴AE=EF
26.【答案】∠1=∠2=∠3．；
证明：如图，设折痕l、EF交于点O，
由题意得：EF是BP的垂直平分线，l是BB'、PP'的垂直平分线．
∴OB=OB'=OP=OP'，BB'=PB'=BP'，
∴∠P′BO=∠B′BO，∠OBB'=∠BB'O，
∵EF∥BC，
∴∠OB′B=∠B′BC，
∴∠P′BO=∠B′BO=∠B′BC，
∴BB′是∠NBC的一条三等分线；
证明：连接DG，
由题意得：EF是AB的垂直平分线，
正方形ABCD中，DA'由DA翻折所得，
∴∠DA'G=∠DCG=90°，DA'=DC，
∴△DA'G≌△DCG，A'G=CG，
设正方形边长为4a，A'G=CG=b，
∴AE=BE=A′E=2a，
在Rt△EBG中，（2a）2+（4a-b）2=（2a+b）2，
解得：4a=3b，即，
∴CG：CB=1：3
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