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2025-2026学年北京市海淀区首都师范大学附属中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点P（-2，3）位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，已知在音符中，AB∥CD，若∠BAC=96°，则∠ACD的度数为（　　）
A. 84°
B. 74°
C. 94°
D. 96°
3.已知是关于x,y的二元一次方程3x+m+y=0的一个解，则m的值是（　　）
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
4.下列各式计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，∠1与∠2关系描述正确的是（　　）
A. ∠1与∠2互补 B. ∠1与∠2互余 C. ∠1=4∠2 D. ∠2-∠1=90°
6.在代数式kx+b中，当x分别取-1，0，1，2时，对应代数式的值如表，则k+2b的值为（　　）
x … -1 0 1 2 …
kx+b … -1 1 3 5 …
A. -6 B. 6 C. 4 D. -5
7.关于，下列说法错误的是（　　）
A. 如图，利用两个边长为的正方形可以裁剪拼接成一个面积为4的大正方形
B. 数轴上到原点距离小于的整数有三个
C. 存在两个互质的正整数p、q,使得
D. 的小数部分是
8.在平面直角坐标系xOy中，定义|x1-x2|+|y1-y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“坐标距离”.已知点N（0，2）、T（t,-t）.则下面说法正确的有（　　）
①N，T两点的坐标距离为2t；
②N，T两点坐标距离的最小值为2；
③当N，T两点的坐标距离为4时，O，T两点的坐标距离为2.
A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.已知点P（a+4，a）在y轴上，点P的坐标为 .
10.投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图1，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜，若投壶者站在直线l上的某点往点P处的壶内投箭矢，请在图2中画出，站在直线上的哪个点投壶更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 .
11.若，则b的值为 .
12.平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，4），将点M左右平移得到点N，且三角形OMN的面积为6，则点N的坐标为 .
13.图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE=138°，∠CDF=162°，则∠EPF的大小为 .
14.“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍x间，小圈舍y间，则x+y求得的结果有______种．
15.如图，正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，2），B（-2，-2），若以O′（a,b）为原点重新建立平面直角坐标系xO′y,则点C在新坐标系xO′y中对应的坐标为 （用含a,b的代数式表示）.
16.取整符号[a]表示不超过有理数a的最大整数，如[3.2]=3，[-1.2]=-2，若，则的值为 .
三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：.
18.(本小题8分)
求x的值：
（1）8x3=1；
（2）（x-3）2-4=0.
19.(本小题10分)
（1）代入法解方程组；
（2）选择合适的方法解方程组.
20.(本小题5分)
如图，点P为∠AOB内部一点，点D，点C分别在射线OA，OB上.DF与CE相交于点P，且CE∥OA，∠EPF=∠AOB.
求证：DF∥OB.
证明：∵CE∥OA（已知），
∴∠AOB=______（______）.
∵∠EPF=∠AOB，
∴∠EPF=______（______）.
∴DF∥OB（______）.
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，A（1，0），B（-2，-3），C（1，-4）.
（1）请画出三角形ABC；
（2）将三角形ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位，画出平移后的三角形A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；
（3）三角形A′B′C′的面积为______.
22.(本小题6分)
如图，在三角形ABC中，∠C=90°，EF⊥BC，∠AFN+∠BME=180°.
（1）判断EM与NF的位置关系，并说明理由；
（2）若FE平分∠MFN，∠MEB=35°，求∠EMB的度数.
23.(本小题6分)
已知a与b是正数m的两个平方根.
（1）求3a-3（5-b）的值；
（2）若，求-25m的立方根.
24.(本小题5分)
如图，长方形ABCD的各边都与x轴或y轴平行，点A，C的坐标分别为（-1，1），（2，-4）.
（1）直接写出点B，D的坐标；
（2）一动点P从点A出发，沿长方形的边A-B-C运动至点C停止.运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为t秒.
①当t=1时，求点P的坐标；
②当t=4时，判断点P是否停止运动，并说理.
25.(本小题6分)
对于关于x,y的二元一次方程2x+by=c,将其一组解记作（m,n）.
（1）当c=0时，若点（m,n）一定位于平面直角坐标系xOy中二四象限的角平分线上，则b=______；
（2）已知（-3，3）是该方程的一组解.当（m,n）为方程的一组解时，（m-2，n+1）也总是方程的一组解，求b与c的值.
26.(本小题6分)
已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M，N，∠AMN=120°，ME平分∠BMN交CD于点E.将线段MN沿AB方向平移得到线段PQ（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）.直线PQ与射线ME交于点K，连接NK.（1）当点K在线段ME上时.
①请在图1中补全图形，求∠PKE的值；
②已知NK⊥ME，求证：NK平分∠MND.
（2）在线段MN平移的过程中，当∠EKN=2∠ENK时，直接写出∠PKN的度数为______.
27.(本小题7分)
对于平面直角坐标系xOy中的一点P（x,y），若|x|≥|y|，则记k=|x|-|y|；若|x|＜|y|，则记k=|y|-|x|.定义点P为“k差分点”.例如：点（2，4），因为|2|＜|4|，k=|4|-|2|=2，所以点（2，4）为“2差分点”.
（1）下列各点中是“2差分点”的有______.
①（-2，0）；
②（-1，2）；
③y（2，-4）；
④（-3，0）.
（2）已知P（x0，y0）在y轴的右侧，且点P为“2差分点”.
当x0=2时，满足题意的点P有______个；
当x0≠2时，满足题意的点P可能有______个.
（3）已知一条线段两个端点坐标分别为（a,4），（-a,4），其中实数a小于-8.点C（n,4）和在这条线段上运动.分别以点C和D为中心，以b为边长作两个正方形（边分别与x轴或y轴平行），这两个正方形组成图形G.若图形G上始终存在“4差分点”，直接写出b的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】（0，-4）
10.【答案】垂线段最短
11.【答案】
12.【答案】（-2，4）或（4，4）
13.【答案】60°##60度
14.【答案】4
15.【答案】（2+a,-2+b）
16.【答案】2、3、4
17.【答案】．
18.【答案】x= x=5或x=1
19.【答案】
20.【答案】∠ECB 两直线平行，同位角相等 ∠ ECB 等量代换 同位角相等，两直线平行
21.【答案】如图，△ABC即为所求； 如图，△A′B′C′即为所求，A′（0，2）、B′（-3，-1）、C′（0，-2） 6
22.【答案】EM∥NF，理由：
∵∠AME+∠BME=180°，∠AFN+∠BME=180°，
∴∠AME=∠AFN，
∴EM∥NF 110°
23.【答案】-15 -5
24.【答案】B（2，1），D（-2，-4） ①P（-1，1）；②点P并未停止运动．理由如下：
∵A（-1，1），B（2，1），C（2，-4），
∴AB=3，BC=5，
∴AB+BC=8，
当t=4时，点P走过的路程为4，
∵4＜8，
∴点P并未停止运动
25.【答案】2 b=4，c=6
26.【答案】①∠PKE的值为30°；②证明：∵AB//CD，
∴∠MND+∠AMN=180°，
∴∠MND=180°-120°=60°，
∵NK⊥ME，
∴∠MKN=90°，
在△MNK中，∠EMN=30°，
∴∠MNK=180°-90°-30°=60°，
∴∠MNK=∠MND，
∴NK平分∠MND 130°或70°
27.【答案】①③ 3;2或4 b的最小值为8
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