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2025-2026学年山东省烟台市栖霞市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A. x≥0 B. x≠±1 C. x≥0且x≠±1 D. x≥0且x≠1
2.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（　　）
A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形
3.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
4.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（　　）
A. 90°
B. 80°
C. 70°
D. 60°
5.下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（　　）
A. 2x2-6x+4=0 B. 4x2-6x+4=0 C. 4x2+6x+1=0 D. 2x2+6x+1=0
7.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A. 3 B. C. D. 4
8.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　）
A. 3或-5 B. -5 C. 3 D. -3
9.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A. 小明 B. 小丽 C. 小红 D. 小亮
10.如图，所示，从一个大正方形中裁掉面积为20cm2和90cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　）
A. 110cm2
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.按如下步骤作四边形ABCD：
①画∠EAF；
②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D；
③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；
④连接BC、DC、BD.
若∠A=36°，则∠BDC的度数是 .
12.计算：= .
13.已知关于x的方程x2+（2m-1）x+m2=0的两实数根为x1，x2，若x1+x2=7，则m的值为 .
14.已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：= .
15.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
16.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，H是AF的中点，那么CH的长是 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算与解方程：
（1）；
（2）；
（3）2x2-8x+3=0；
（4）9（2x-1）2=121.
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC＞AC.
（1）请用尺规作图的方法作一个菱形ADBE，使点D在线段BC上；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC=6，AB=10，求菱形ADBE的面积.
19.(本小题9分)
站在海拔为h米的地方看到的水平距离为d米，它们之间的关系可近似的表示为d=8.
（1）当h=1000时，求d的值；
（2）某登山者从海拔n米处登上海拔2n米处的山顶（n＞0），那么他看到的水平距离是原来的多少倍？
20.(本小题9分)
关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．
21.(本小题9分)
如图，在 ABCD中，对角线BD⊥AB，E为BC的中点，分别延长AB和DE交于点F，连接AE、CF.求证：四边形BFCD是矩形.
22.(本小题9分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”.例如：方程x2+x=0就是一个“连根方程”.
（1）请你判断方程x2+7x+12=0是否是“连根方程”；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（m-2）x-2m=0（m是常数）是“连根方程”，求m的值.
23.(本小题9分)
【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这现象的数还有许多，例如：，等.
【猜想】
（1）=______，并验证；
【推理证明】
（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确；
【创新应用】
（3）按此规律，若（a,b为正整数），求a+b的值.
24.(本小题9分)
如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，求证：
（1）矩形DEFG是正方形；
（2）△ADE≌△CDG；
（3）AC⊥CG.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】72°
12.【答案】
13.【答案】-3
14.【答案】2a-c
15.【答案】k≤1且k≠0
16.【答案】
17.【答案】 ， ，
18.【答案】如图，四边形ADBE即为所求；
19.【答案】 倍
20.【答案】解：（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，
解得k≤；
（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程x2-3x+k=0变形为方程x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
当相同的解为x=1时，把x=1代入方程（m-1）x2+x+m-3=0得m-1+1+m-3=0，解得m=；
当相同的解为x=2时，把x=2代入方程（m-1）x2+x+m-3=0得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，不符合题意，舍去，
所以m的值为．
21.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
又∵点F在AB的延长线上，
∴AF∥CD，进而∠BFE=∠CDE，∠FBE=∠DCE（两直线平行，内错角相等）．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△BFE和△CDE中，
，
∴△BFE≌△CDE（AAS），
∴BF=CD．
又∵BF∥CD，
∴四边形BFCD是平行四边形．
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°．
又∵AB∥CD（平行四边形性质），
∴∠BDC=∠ABD=90°（两直线平行，内错角相等）．
∵四边形BFCD是平行四边形，且∠BDC=90°，
∴四边形BFCD是矩形．
22.【答案】方程x2+7x+12=0是连根方程 -3或-1
23.【答案】5 71
24.【答案】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，
∴NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形 ∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS） ∵△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，
∴∠ACG=90°，
∴AC⊥CG
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