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2025-2026学年重庆市梁山初中教共体八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，7，8 B. ，， C. 2，3，5 D. 6，7，10
3.已知实数x,y满足，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A. 20或16 B. 16 C. 20 D. 以上答案均不对
4.已知代数式有意义则x的取值范围是（　　）
A. x＞-2 B. x≥-2 C. x＞-2且x≠3 D. x≥-2且x≠3
5.下列说法正确的是（　　）
A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 矩形的邻边相等
C. 正方形的对角线互相垂直平分 D. 菱形的对角线相等
6.估计（）÷的值应在（　　）
A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
7.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需（　　）根火柴棒.
A. 57根 B. 56根 C. 50根 D. 49根
8.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（　　）

A. 10 B. 16 C. 20 D. 22
9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　　）
A. （2，）
B. （，2）
C. （，3）
D. （3，）
10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点P为BD上的一点，连接CP，过点P作PE⊥CP交AD的延长线于点F，延长FP交AB于点E，则下列结论：①∠DPF=∠PCA；②BE=DF；③点P为EF的中点；④S△BPE=S△DCP；⑤若OP=2，则.其中正确的结论有（　　）个.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知，，m+n= ，mn= .
12.如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE=______．
13.计算：= .
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D为斜边AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为 .
16.若一个四位正整数满足：a+c=b+d,我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除.则满足条件的“交替数”m的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，BD是其对角线.
（1）用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线l,分别交AD，BC，BD于点E，F，O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证四边形BEDF是否为菱形.
解：四边形BEDF为菱形.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①______，
∴∠EDB=∠FBD，
∵②______，
∴BO=DO，BE=DE，③______，
在△DOE与△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴⑤______，
∴BE=ED=DF=FB，
∴四边形BEDF是菱形.
19.(本小题10分)
重庆某中学为了改善学校食堂服务，学校工作人员随机对部分学生开展了食堂满意度问卷调查，调查内容设置了以下五种类型，并将调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
A类.食堂美食探索家
B类.食堂满意常客
C类.食堂随缘就餐者
D类.偶尔校外换换口味
E类.习惯自带或外出就餐
（1）此次抽取的学生人数共______人，其中在扇形统计图中，D类“偶尔校外换换口味”所对应的圆心角度数是______°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校学生总数为2400人，请估计该校E类“习惯自带或外出就餐”的学生有多少人？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：÷（x+2-），其中x=3+．
21.(本小题10分)
重庆江滩公园夜景引来众多游客观赏，拍照留念.小渝计划网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园摆摊拍照，已知购进1盒A型号和2盒B型号相纸共需161元，购进2盒A型号和3盒B型号相纸共需264元.
（1）求购进A型号相纸和B型号相纸每盒的单价分别是多少元？
（2）若小渝计划购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸.并将A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张拍照售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1890元，最多购进A型号的相纸多少盒？
22.(本小题10分)
如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B=90°，AB=4m,BC=3m,CD=12m,AD=13m.
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离.
23.(本小题10分)
人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品.经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米.
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据：≈1.414，≈1.732）2）
24.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D=120°，DC=2，求△ABC的面积．
25.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，BC=2AB，点E是边AD的中点，点F是线段AE上一点（点F不与点A，E重合），连接BF，过点F作直线BF的垂线，与线段CE交于点G，连接BG，点H是线段BG的中点．
（1）若CE=2，求矩形ABCD的面积；
（2）求证：BF=EH．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】2
-1

12.【答案】5
13.【答案】3
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】1001
8778

17.【答案】解：（1）原式=-+2
=4-+2
=4+；
（2）原式=3-4+9-6+2
=10-6．
18.【答案】作图如下：
AD∥BC;EF垂直平分BD;③FB=FD;ED=FB
19.【答案】108，60．

200人
20.【答案】解：原式=÷（-）
=÷
=
=，
当x=3+时，原式===．
21.【答案】解：（1）设购进A型号相纸每盒的单价是x元，购进B型号相纸每盒的单价是y元，根据题意，得，
解得：，
答：购进A型号相纸每盒的单价是45元，购进B型号相纸每盒的单价是58元．
（2）设购进A型号的相纸m盒，则购进B型号相纸（50-m）盒，根据题意，得（10×8-45）m+（10×10-58）（50-m）≥1890，
解得：m≤30，
答：最多购进A型号的相纸30盒．
22.【答案】解：连接AC．
∵∠B=90°，
∴cm.
∵52+122=132，
∴△ADC是直角三角形．
∴S四边形ABCD=．
（2）过点C作CH⊥AD于点H，如图：
根据等面积法得AD CH=AC CD，即×13×CH=×5×12，
解得CH=，即C到AD的距离是cm.
23.【答案】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD=60°，AC=3600米，cos60°=，sin60°=，
∴AD=3600×=1800（米），CD=×3600=1800（米）．
在Rt△BCD中，∠BCD=45°，
∴∠B=45°=∠BCD，
∴BD=CD=1800（米），
∴BC==1800≈1800×1.414≈2545（米）．
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；
（2）AB=AD+BD=1800+1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），
600×9=5400（米），
∵5400米＞4917.6米，
∴能在9分钟内到达B处．
24.【答案】解：（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB=2AE=2BE，
∵AB=2CD，
∴CD=AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D=120°，
∴AD=CD=CE=AE=2，∠D=120°=∠AEC，
∴AE=CE=BE，∠CEB=60°，
∴∠CAE=30°=∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE=BC=EC=2，∠B=60°，
∴∠ACB=90°，
∴AC=BC=2，
∴S△ABC=×AC×BC=×2×2=2．
25.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB，∠D=∠A=90°，AB=CD，
∵BC=2AB，点E是边AD的中点，
∴DE=DC，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∵DE2+DC2=EC2，
∴2DE2=（2）2，
∴DE=DC=2，AD=4，
∴S矩形ABCD=AD DC=4×2=8；
（2）如图，连接BE，在AB上截取BM，使BM=FE，
∵BC=2AB，点E是边AD的中点，
∴AE=AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°=∠DEC，
∴∠BEC=180°-∠AEB-∠DEC=90°，
∵点H是线段BG的中点，
∴EH=BG，
∵∠ABF+∠AFB=90°，∠AFB+∠GFE=90°，
∴∠ABF=∠GFE，
∵AE=AE，BM=EF，
∴AM=AF，
∴∠AMF=45°，
∴∠BMF=180°-∠AMF=135°，
又∵∠FEG=180°-∠DEC=135°，
∴在△BMF与△FEG中，
，
∴△BMF≌△FEG（ASA），
∴BF=FG，
∵∠BFG=90°，
∴2BF2=BG2，
∵EH=BG，
∴2EH=BG，
∴4EH2=BG2，
∴2BF2=4EH2，
∴BF=EH．
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