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2025-2026学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A. 5，12，13 B. 4，5，6 C. 2，3，4 D. 1，，3
3.如图，在 ABCD中，∠A+∠C=280°，则∠B的度数为（　　）
A. 40°
B. 45°
C. 140°
D. 60°
4.已知点P（2，m）在一次函数y=x+1图象上，则m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能确定
5.如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A. 8
B. 16
C. 24
D. 32
6.如图，矩形ABCD，BD=8，对角线AC，BD交于O，若∠AOB=60°，则BC的长为（　　）
A. 4
B.
C.
D. 16
7.如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10，则DE的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx（k＜0）向上平移4个单位长度得到，则一次函数y=kx+b的图象经过的象限是（　　）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
9.四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA的中点，下列四个结论：
①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；
②若四边形ABCD是平行四边形，则MNPQ是菱形；
③若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ是矩形；
④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形.
其中正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③
10.如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则 ABCD的面积为（　　）
A. B. C. D. 36
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC=5，BD=4，则菱形ABCD的面积为 .
12.已知点A（-1，y1），B（3，y2）在一次函数y=-x+2的图象上，则y1，y2的大小关系是 .
13.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为______cm2．
14.如图,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是 ．

15.直线y=-x+2与直线y=mx+n相交于点P（4，α），则关于x,y的二元一次方程组的解为 .
16.现有关于x的三个多项式，从左往右依次为：3x-2；2x+2；x+6；
①存在自然数x使得三个多项式的值恰为一组勾股数；
②记G（x）=a（3x-2）+b（2x+2）+c（x+6）（a、b、c均为正整数），当x≥1时，G（x）的最小值为25，则满足条件的a、b、c的取值共有6组；
③对任意相邻的两个多项式用左边的减去右边的并把所得的结果放在两者之间称之为“顺差放置”.现对这三个多项式进行第一次“顺差放置”后得到的多项式为：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，再对第一次“顺差放置”后的所有多项式进行第二次“顺差放置”…，按此规律进行下去，第2026次“顺差放置”后得到的所有多项式的和是4058x-16202.
以上说法正确的是 .（填序号）
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
（1）×；
（2）.
18.(本小题4分)
如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：BE=DF．

19.(本小题4分)
已知y与x-2成正比例，且当x=1时，y=-3.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）点（m,-5）在该函数的图象上，求m的值.
20.(本小题4分)
人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数.设，，求下面的值：
（1）直接写出a+b和ab的值：a+b=______，ab=______；
（2）求的值.
21.(本小题4分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=2，BD=4，求OE的长．
22.(本小题5分)
已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标为4，且过点A（-2，-3）．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）过点P（0，n）作与x轴平行的直线，与一次函数y=kx+b的图象交于点B，当线段PB≥2时，求n的取值范围．
23.(本小题5分)
甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：
甲采摘园：游客进园需购买100元的门票，采摘的草莓按照六折计费；
乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算.设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为x千克，所花的费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示.
（1）优惠前草莓的销售价格为______元/千克；
（2）当x≥10时，求y与x的函数解析式；
（3）当游客采摘草莓的重量为15千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由.
24.(本小题6分)
有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质.小华根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是______；
（2）如表是y与x的几组对应值.m的值为______；
x -2 - -1 - 1 2 3 4 …
y 0 - m - 1 …
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：______.
（5）结合函数图象估计-x=0的解的个数为______个.
25.(本小题7分)
定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.
（1）如图1，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）.
（2）如图2，探究“垂美四边形”ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明.
（3）直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题：
①如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACDE与正方形ABFG.连接CG，BE，GE；CG与BE交于点O，已知AC=4，AB=5，则△OGE的中线OH=______.
②如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点P是Rt△ABC外一点，连接BP，BP=AC=10，已知|BC-AB|=2，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出AP的长.
26.(本小题7分)
定义：对于给定的一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），把形如（k≠0，k、b为常数）的函数称为一次函数y=kx+b的关联函数.已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A（-2，1），B（3，1），C（5，3），D（0，3）.
（1）已知函数y=2x+1.
①若点E（-1，m）在这个一次函数的关联函数图象上，则m= ______；
②若点F（n,3）在这个一次函数的关联函数图象上，则n= ______.
（2）如图，一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形ABCD交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是（-1，2），△BMN的面积为，求该一次函数的表达式.
（3）一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），其中k、b满足3k+b=2，它的关联函数图象与平行四边形ABCD的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】10
12.【答案】y1＞y2
13.【答案】10
14.【答案】72°
15.【答案】
16.【答案】①②③
17.【答案】4+ -
18.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB=90°，∠BFD=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
∴四边形BFDE为矩形，
∴BE=DF．
19.【答案】y=3x-6 m的值是
20.【答案】 1
21.【答案】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=4，
∴OB=BD=2，
在RtAOB中，AB=2，OB=2，
∴OA==4，
∴OE=OA=4．
22.【答案】解：（1）将（4，0），A（-2，-3）代入一次函数解析式得：，
解得：k=，b=-2．
∴一次函数的解析式为：y=x-2．
（2）
如图，当n=-1或n=-3时，PB=2，
当PB＞2时，直线y=n在直线y=-3和y=-1之外．
∴当PB≥2时，n≤-3或n≥-1．
23.【答案】（1）30；
（2）当x≥10时，设y乙=kx+b,
由题意的：，
解得，
∴y乙=12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：yz=12x+180（x≥10）；
（3）当x=15时，y甲=18×15+100=370，y乙=12×15+180=360，
∴y甲＞y乙，
∴他在乙家草莓园采摘更划算．
24.【答案】x≥-2且x≠0 -1 见解析 在每个象限内，函数值y随x的增大而减小 2
25.【答案】是 AD2+BC2=AB2+CD2．
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理，得：AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2 ①；②或
26.【答案】3；1或-1；
y=4x-2；
k＞1或0＜k＜或k＜0．
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