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广东潮州市2025-2026学年第一学期期末高二教学质量检测卷
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知等差数列中，，，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
2.若向量，则( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.已知四面体中，点满足，点满足，则( )
A. B. C. 平面 D. 平面
5.已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为( )
A. B. C. D.
6.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为( )
A. B. C. D.
7.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.设为椭圆的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.椭圆以轴和轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程可能为( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的有( )
A. 向量与向量方向相反
B. 正方体的棱长为，则
C. ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面
D. 若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为
11.已知双曲线：的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B.
C. 若，则的面积为
D. 若的面积为，则为钝角三角形
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为 ．
13.若，分别为两平行直线，上任意一点，则的值为 的最小值为 ．
14.已知正方体的棱长为，，，直线与交于点，则点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知数列为等差数列，且，，．
求的通项公式
求数列的前项和．
16.已知圆经过点，，且圆心在直线上．
求圆的方程
求过点，且与圆相切的直线的方程．
17.如图，、是互相垂直的异面直线，直线分别与、交于点，，，，点、在上，点在上，．
证明：平面
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.已知抛物线的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为．
求抛物线的方程
为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程．
19.在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
若，判断是否为二阶等差数列并说明理由
已知二阶等差数列满足，，．
求数列的通项公式
若，记的前项和为，证明：．
参考答案
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14.
15.解：设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，，
所以．
由得，则分，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则．
16.解：设圆的方程为，
由题意得
解得
所以圆的方程为；
圆的方程化为，
圆心的坐标为．
点在圆上，故点为切点，
切线的斜率为切线方程为，即
17.解：根据题意，，，，平面且，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，所以是等腰直角三角形，
因此且，
综上可知，，，
又，平面，，
所以平面；
由知，直线，，两两垂直，
设，则，
又且，
所以，所以．
于是以为原点，以直线，，分别为轴，轴，轴，即空间直角坐标系，如下图：
则，，，，
于是，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令时，，即，．
平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以，所以，
所以抛物线的标准方程是．
设直线的方程为，设，，
联立消去整理得，
所以，，
，
所以，所以直线的方程为，或．
19.解：因为，
所以，
因为，
所以是公差为的等差数列，
所以为二阶等差数列；
因为为二阶等差数列，且，，，
所以，，
所以的公差为，
所以，
即，
所以
，
又，满足上式，
所以；
证明：由得，
因为，
所以为递增数列，
所以，又，
所以
，
因为，所以，
所以．
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