资源简介

广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高二阶段性教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
3.函数的图像如图所示，则( )
A. B.
C. D. 的正负不确定
4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯、花灯等种类．现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购种，则不同的选购方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在处取得极小值，则
A. B. C. D.
7.现有张分别标有数字，，，，，的不同卡片，从中有放回地取次，每次取张，将次取到的卡片上的数字分别记为，，，若，，这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于，则抽取卡片的所有不同方法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若方程恰有个实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度单位：千米每小时关于运行时间单位：分钟的关系可以用函数表示，则
A. 该车速度在前分钟内的平均变化率为
B. 该车速度的瞬时变化率逐渐减小
C. 该车速度在第分钟的瞬时变化率为
D. 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度
10.已知，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 除以的余数为
11.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被除所得的余数为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有甲、乙、丙、丁、戊名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有 种
13.的展开式中的系数是 ．
14.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求的解析式；
当时，求函数的极值．
17.本小题分
有名男生，名女生．
从中选名代表，要求男生名，女生名，且某女生必须在内，有多少种选法？
从中选名代表，要求男生不少于名，有多少种选法？
分成甲、乙、丙三组，每组人，有多少种分法？
18.本小题分
若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
分别求和在交点处的切线方程；
若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
19.本小题分
设函数．
当时，讨论的单调区间；
已知．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为所有项的二项式系数和等于，
所以，解得．
所以展开式中二项式系数最大的项为第和第项，分别为：
．
展开式通项为，
令，
展开式中的常数项为第项，故常数项为．

16.解：，因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得，
所以的解析式为．
由知，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点，
因此函数在处取得极小值，无极大值，，
所以函数在内的极小值为，无极大值．

17.
18.【详解】联立，解得或舍去，所以交点坐标为．
对求导，可得，将代入，得切线斜率．
切线方程，即．
对求导，，将，得切线斜率．
切线方程，即．
所以交点处的切线方程为，．
设公切点．
对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率．
对求导，可得，则在点处的切线斜率．
因为两函数在点处存在公切线，所以，即
又因为点在两函数图象上，所以
由得，将其代入可得：，即，解得．
将代入得：，解得．
将代入得．
所以，点的坐标为．

19.解：当时，，
则，
当时，，
当时，，
所以的单调增区间为，
单调减区间为；
，由，解得，
，
记，，，
记，则，，
因为恒成立，故，
则，解得，
所以的取值范围是；
证明：当时，等号成立；下面证明当时，，
当时，有，故，此时，符合题意；
现考虑当时，成立，等价于证明，
不妨先证明，设，则，
故在上单调递增，于是 ，故，
于是，而，
故，
故当时，成立；
于是当时，成立；
取，当时，，
设，
且，
故是奇函数，
所以是偶函数，于是当时，成立，
综上，，即成立
第1页，共1页

展开更多......

收起↑