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北京大学附属中学行知未名学院2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数的导函数为( )
A. B. C. D.
2.二项式展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.函数部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
4.某高校外语系有名志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
6.“”是“函数存在极大值和极小值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数在处取得极大值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.一个盒子内有三个小球，分别标有号码，，，每次取出一个，记下它的号码后再放回，共取次则取出的小球中最大号码为的取法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.已知函数，则的零点个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.某地区新能源汽车总保有量与时间之间满足增长模型：，：该地区环境容纳量上限，：由初始条件决定的常数则下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 函数单调递增
C. 若，则存在，使
D. 函数存在极小值点
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知函数，则的值为 ．
12.如图所示是“杨辉三角”的前五行，则该表格的第六行从左至右第个数字可理解为：当 时，二项展开式第 项的二项式系数．
13.位同学站成一排，其中甲乙丙三人相邻，且都不与丁相邻，则不同的排队方法有 种以数字作答
14.已知函数，则满足函数在上存在递增区间的的一个值为 ．
15.设函数，则：
函数的极值点有 个；
若对任意，总存在唯一，使得，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
当时，求证：是单调递增函数；
已知函数的一个零点为，求的极值．
17.已知函数，其中．
若曲线在处的切线斜率为，求实数的值；
求的单调递增区间．
18.已知函数，．
若，
求函数在处的切线方程；
求证：是函数的极小值点；
若，恒成立，求整数的最大值．
19.已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有对于且，定义，表示有限集合的元素个数．
若，写出的值；
当时，若恒成立，求证：；
对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.写出内的任意一个值都可以
15.
16.解：当时，
以下两种解法：
解法一：
所以，在上是单调递增函数；
使用配方法和判别式法同等给分
解法二：是开口向上的二次函数．
，所以
如果函数的一个零点是，
则，即，所以
所以，
令得：或
列表如下：
极大值 极小值
列表确认导函数零点是原函数极值点
所以的极大值为，极小值为

17.解：由求导得，
依题意，解得．
定义域是，

当时，令得且，
根据的情况列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时的单调递增区间是和；
当时，，则的单调递增区间是；
当时，令得且，
根据的情况列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时的单调递增区间是和．

18.解：当时，，则，
又，，
所以在处的切线方程为．
当时，，则
令，则，
当时，，单调递增，即在上单调递增．
又，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
因此为的极小值点．
当时，，
因此可变形为，即．
设，
则，
设，则，所以在单调递增，
又，，
因此在存在唯一零点，，且，
当时，；当时，；
又当时，，，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
因此在时取得最小值，即．
又，即，所以．
因为，所以，
又，所以，
又是整数，所以的最大值为．

19.解：比较的第列，相同行有第行，故；
比较的第列，相同行有第行，故．
考虑的任意一行，
由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的，
即在的三个组合中，至少有一个组合满足，
按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为，
等价于所有组合的之和满足
结合条件，得，即．
由定义可知，则，而当的所有列完全相同时，
对任意都有，此时，因此的最大值为．
设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为
，
该式对同样成立，
以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值，
当为偶数时，时有，
当为奇数时，时有，
采用与相似的分析可知所有组合的之和为，
又的最大值为，所以，
可得，代入即可得．

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