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北京市广渠门中学2025-2026学年第二学期期中考试
高二年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数的导数是( )
A. B. C. D.
2.关于的函数的极值点的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 由确定
3.函数在上( )
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 有最小值
4.的展开式中常数项为
A. B.
C. D.
5.已知函数，若函数在上单调，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
6.一个车间有台车床，其中型号台，型号台，它们各自独立工作设型车床发生故障的概率为，型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则( )
A. B. C. D.
7.随机变量的分布列如下：
若，则的值是( )
A. B. C. D.
8.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是
A. 函数有极大值和极小值
B. 函数有极大值和极小值
C. 函数有极大值和极小值
D. 函数有极大值和极小值
9.设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若对，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
12.从，，，这个数字中选出个不同数字能组成 个三位数．
13.一捆树苗中有棵松树树苗和棵杉树树苗，松树树苗的成活率为，杉树树苗的成活率为，从这捆树苗中随机抽棵种植，其成活的概率为 ．
14.已知，则 ；则 ．
15.已知函数，，其中，对于不相等的实数，，设，，现有如下命题：
对于任意不相等的实数，，都有；
对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
对于任意的，存在不相等的实数，，使得；
对于任意的，存在不相等的实数，，使得．
其中真命题有______写出所有真命题的序号
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点是的中点，平面与交于点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.在中，．
证明：；
若的面积为为边上的一点，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的长．
条件：；
条件：；
条件：．
18.某汽车专卖店试销，，三种品牌的新能源汽车，销售情况如表所示：
第一周 第二周 第三周 第四周
品牌数量台
品牌数量台
品牌数量台
从前三周随机选一周，若品牌销售量比品牌销售量多，求品牌销售量比品牌销售量多的概率；
为跟踪调查新能源汽车的使用情况，根据销售记录，从该专卖店第二周和第三周售出的新能源汽车中分别随机抽取一台求抽取的两台汽车中品牌的台数的分布列和数学期望；
直接写出一组，，的值，使得表中每行数据方差相等．
19.已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
20.已知函数，且曲线在处的切线方程为．
求实数与的值；
求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
比较与的大小，并加以证明．
21.已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且．
求椭圆的方程；
过点的斜率存在且不为的直线与椭圆交于不同的两点，均不与点重合，点与点关于原点对称，直线与直线交于点求证：直线经过点．
参考答案
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14.
15.
16.，平面，平面，
所以平面，
因为平面与交于点，即平面平面，平面，
所以
17.【详解】由正弦定理可得，
因为，所以，，，
，由余弦定理得，得
即；
由，得，故，
，解得，
若选择条件：，与三角形内角和为矛盾，故选择条件时不存在；
若选择条件：由可得，，
在中，由余弦定理可得；
若选择条件：由，
则，结合，解得，
在中，所以，
在中，由正弦定理可得
；

18.解：记事件为“品牌销售量比品牌多”，则，
记事件为“品牌销售量比品牌多”，则，
所以所求概率为．
因为在第二周抽取品牌的概率为，第三周抽取品牌的概率为，
所以，，，
又，，，
所以的分布列为：
所以．
根据题意可得，，
，，
，，
观察数据：第一组，，，；第二组：，，，；第三组：，，，，
将每组数据补成两对相邻数据，且和能被整除，即，，，
此时，，
，于是，
所以，，是满足题意的一组值．
19.解：当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为．
当时，；当时，．
所以，，．
20.解：，由切线方程可知，，，
所以，，所以，；
，，
，设，，
，，所以在上单调递增，
即在区间上单调递增，，，
所以在区间上的值域为，且，
所以存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．
设，，
，设，
，所以单调递增，，所以在上恒成立，
所以在区间单调递增，，则在上恒成立，
所以，即，即．

21.解：由椭圆：的下顶点为，得，
由的离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，点，则点，
直线的方程为，直线的方程为，联立解得点，
由消去得，
则，，
而点，则，
，
即，又有公共点，则点三点共线，
所以直线经过点．

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