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湖北鄂州市未来高级中学、华容高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，则集合( )
A. B. C. D.
2.记的内角的对边分别为，且，则( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知单位向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义域为的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.若，且，则( )
A. B. C. D.
8.台风中心位于地视为质点正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为 取
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为
B.
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是( )
A. 函数有个零点
B. 函数有个零点
C. 函数有个零点
D. 若，且，则的取值范围为
11.已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 外接圆的半径为
C. 的最大值为
D. 若的外心为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三点共线，则 ．
13.若，则 ．
14.已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则 若点分别在曲线上，关于轴上的点对称，且，则点的横坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知指数函数的图象对数函数的图象分别经过点．
求的解析式；
若函数，求不等式的解集．
16.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的单调递增区间；
若在区间上的值域为，求的取值范围．
17.本小题分
若是关于的方程的一个根，求；
若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根．
18.本小题分
如图，在梯形中，，分别是边上不与端点重合的点，且．
用表示；
若与交于点，求；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知的内角的对边分别为，且．
求．
已知为边上的一点，且．
求；
若是线段上不与重合的一个动点，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：设，且，且由，得．
由，得，
所以．
由得，
可得在定义域上单调递增．
因为，
所以由，得，得．
故不等式的解集为．

16.解：因为函数的最小正周期为，可得，解得，
所以，令，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
因为，可得．
又因为在上的值域为，且，
所以，解得，即的取值范围为．

17.解：由题意知，是关于的方程的一个根，可得方程的另一个根为，
由韦达定理得，解得．
设该方程的纯虚数根为，且，
可得，整理得，
所以，因为该方程对任意都成立，所以，解得，
经验证：适合方程，所以该方程的纯虚数根为．

18.解：在梯形中，因为且，
可得，
根据向量的运算法则，可得．
由，可得，
设，则，
因为三点共线，所以，解得，
所以．
设，则，
可得，由可得；
则
，
当时，取得最小值，且最小值为．

19.解：由正弦定理得，
得
则由，得，
所以，则．
因为，所以．
在中，由正弦定理得，；
在中，由正弦定理得，
因为，所以．
故．
由余弦定理，得
结合，得．
如图，作点在的下方，，垂足为，过点作，垂足为．
，
则．
故的最小值为．

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