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江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.如图所示，四面体所有棱长均为，则( )
A. B. C. D.
7.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.今天是星期三，再过天是星期几( )
A. 星期三 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期日
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则是钝角
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
10.下列说法正确的是( )
A. 将封信投入个邮筒，不同的投法共有种
B. 本不同的书，分给甲、乙每人各本，分给丙、丁每人各本，有种分法
C. 从男女中选人参加比赛，若人中必须有男有女，则共有种选法
D. 将个不同的小球放入个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为
11.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则( )
A. 与不互斥 B. 与相互独立
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则角的大小为
13.已知的展开式中，二项式系数的和为，则展开式的各项系数和为 结果用数字作答
14.已知，，则在方向上的投影数量为 ，在方向上的投影向量为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从包含甲、乙人的人中选人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？结果用数字作答
甲、乙人都被选中且必须跑中间两棒；
甲、乙人都被选中且必须跑相邻两棒；
甲、乙人都被选中且不能相邻两棒；
甲、乙人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
16.本小题分
如图，在边长为的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点．
证明：；
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．
17.本小题分
某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了人，调查结果如表：
年龄段
类型
单次购物金额满元
单次购物金额不满元
为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满元的每位顾客赠送个环保购物袋的活动若活动当日该超市预计有人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
在上面抽取的人中，随机依次抽取人，已知第次抽到的顾客单次购物金额不满元，求第次抽到的顾客单次购物金额满元的概率．
18.本小题分
已知
若展开式中只有第项的二项式系数最大，求的值；
当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值；
当，时，求二项式的展开式中系数最大的项．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，．
证明：平面；
已知，点满足平面．
求；
求平面与平面的夹角．
参考答案
1.
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14.
15.解：甲乙两人在中间两棒，则有种排法，
从剩下人选出人排列到两边，有种排法，
所以共有种排法．
将甲乙绑定到一起，内部有种排法，从剩下人选出人，有种选法，
全排列个元素有种排法，所以共有种排法．
先从剩下人选出人先排列，有种排法，
将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，
所以共有种排法．
若甲在第四棒，乙在第一棒，则有种选法；
若甲在第四棒，乙不在第一棒，则有种选法；
若甲不在第四棒，乙在第一棒，则有种选法；
若甲不在第四棒，乙不在第一棒，则有种选法；
综上，共有种排法．

16.解：连接，由正方体可知，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
设的长为，则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，故可得；
设直线与平面所成角为，
则，解得，
，故的长度为；
，点到平面的距离．

17.解：由表可知，单次购物金额满元的有：人，
所以单次购物金额满元频率为：，
所以人中，单次购物金额满元大约人，
故需准备个环保购物袋；
记事件为“第次抽到的顾客单次购物金额不满元”，
记事件为“第次抽到的顾客单次购物金额满元”，
所以，，
所以，
故第次抽到的顾客单次购物金额满元的概率为．
18.解：若展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，故．
当时，二项式为，
展开式的通项为，
令，则，所以，
令，则，所以，
又，所以，整理得，
解得舍去或或．
所以或．
当，时，二项式为．
展开式的通项为，
设第项系数最大，则，即
整理得，解得，又，所以．
所以二项式的展开式中系数最大的项为．

19.解：因为为菱形，所以，
设，交于点，则，
又因为，所以，
因为，，平面，
所以平面；
取中点，则且，由知，
所以，即四点共面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因此是平行四边形，故，即；
由可知，平面，因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以在平面内作垂直于，如图，
以为原点，建立空间直角坐标系，
由题意可知，，，，
因为，且，所以，，
因此，，，
，，
由此可知，设平面的一个法向量，
则，也即
令，得，
设平面的一个法向量，
则，也即
令，得，
所以，
所以平面与平面的夹角为．
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