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山东临沂市兰山区2025-2026学年高一下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.下列关于空间几何体的论述，正确的是( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形
4.若斜二测画法的直观图是边长为的正三角形，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知点是的外心，，若，，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的高为，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.易经是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与圆锥母线，分别交于点，，且，则( )
A. 圆锥的表面积为
B. 圆台的高为
C. 圆锥的体积为
D. 从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为
10.若平面向量，其中，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为，则
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
11.在中，内角的对边分别为，已知，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ．
13.已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为 ．
14.已知的内角的对边分别是边上的中线，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，且，．
求与的值；
若，，求向量，的夹角的大小．
16.本小题分
设内角，，所对的边分别为，，，已知，，且．
求的面积
若为角的平分线，交于，求的长度．
17.本小题分
如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点．
以，为基底表示；
若，求，的值；
若，求的值．
18.本小题分
定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形如图，已知平面凸四边形中，，，．
若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且
求的长
若，求的值．
若，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
设两个非零向量，，，，逆时针旋转到所成的角为定义伪叉积：规定零向量与任意向量的伪叉积为零已知对任意的，，，，满足，
设，，计算和
设，，求证：
在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，，且，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.，；
．
16.解：由余弦定理：，
又，，，
故，
化简得，
则；
因为，
所以，
则，
又，
所以，
即角平分线的长度为．
17.解：在中，是边的中点，
，
因为，所以，所以
因为，，三点共线，所以
又因为是边的中点，所以，
所以，
因为，，三点共线，
所以
由可得，；
设，，则，
且
因为，不共线，所以，解得
所以，，
，
又，
所以，则，
则．

18.解：如图，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ， ，
即 ，所以 ，
又 ，得： ，
得 ，又因为凸四边形 ， ，故 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
所以 ．
如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
由知，，，，则．
设，则，
由，得，
，，
，，
．
在和中，由余弦定理分别得
，
，
，
即，
四边形面积为：，
即，
，
当且仅当，即，时，取最小值，
则，，，
所以四边形面积的最大值为．

19.解：如图：由平面向量数量积可得，
则为锐角，且，
结合图形可知，
，
．

不妨设射线、分别为角，的终边，
则，
设，，则，，
则
，
故．
，，
由知，
，
由余弦定理，，可得，
即，
由正弦定理得，，
，
代入化简得：，
即，
，，则，所以，即，
是锐角三角形，故，解得，
，
，，即，
的取值范围是
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