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北京市第四中学顺义分校2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.数列满足且，则的值是( )
A. B. C. D.
3.袋中有红黑个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( )
A. B. C. D.
4.在二项式的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.某外商计划在个候选城市投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设若，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A. B. C. D.
7.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
8.国古代典籍周易又称易经，分为经部和传部，其中经部之原名就为周易，是用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
9.已知无穷等差数列前项和为，若，则“有最大值”是“公差”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石( )
A. 块 B. 块 C. 块 D. 块
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.等差数列，，，的前项和为 ．
12.已知数列满足，则 ，当 时，取得最小值．
13.已知，，随机变量的分布列如下：
若，则 ．
14.如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 以数字作答
15.记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是 ．
若为奇数，则
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是等差数列，，．
求的通项公式；
设的前项和，求的值．
17.本小题分
一个盒子中装有个红球，个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同
采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到个红球，个白球的概率；
采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取次，求至少有次取到红球的概率．
18.本小题分
已知数列的前项和为．
写出数列的前项：，，；
当取最小值时，求的值；
求出的通项公式．
19.本小题分
毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功，
求小萌同学制作一件作品成功的概率；
若小萌同学制作了件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为求的分布列及期望．
20.本小题分
设是等差数列的前项和，，________．
求数列的通项公式；
求数列的前项和的最值．
从中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
21.本小题分
年月日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收吨废纸可再造出吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场年月至月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量单位：吨的折线图如下图：
从年月至月中随机选取个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨的概率；
从年月至月中随机选取个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过吨的月份个数．求的分布列及数学期望；
假设年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．只需写出结论，不需证明
参考答案
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15.
16.解：设等差数列的公差为，
由题意得，
即，解得．
又．
故．
，
因为，故．
17.解：一个盒子中装有个红球，个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同，
采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，
恰好取到个红球，个白球的概率为：
．
采用放回抽样，每次取到红球的概率，
至少有次取到红球的概率为．
18.解：，，
．
，
故当或时，取最小值．
当时，，
故．

19.解：根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：．
根据题意知，的可能值为：，，，，显然，
则，，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望：．
20.解：选：
设等差数列的公差，
由题设知：，解之得：，，
；
因为，所以等差数列是单调递减数列．
令，，，所以前项和为的最大值．
最大为，
即前项和的最大值为，无最小值．
选：
设等差数列的公差，由题设知：，
，，
；
因为，所以等差数列是单调递减数列．
令，，，所以前项和为的最大值．
最大为，
即前项和的最大值为，无最小值．
选：
设等差数列的公差，由题设知：，解得，
，
；
因为，所以等差数列是单调递减数列．
令，，，所以前项和为的最大值．
最大为，
即前项和的最大值为，无最小值．
21.解：记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨”为事件
由题意，只有月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨
所以
因为回收利用吨废纸可再造出吨好纸
所以月至月回收的废纸可再造好纸超过吨的月份有：月、月、月，共个月．
的所有可能取值为，，．
，
，
所以的分布列为：
，当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小．
理由如下：由于年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量分别为，故其平均数为，
年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量方差为
，其中，，为年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量
由于为定值，所以只需要取最小即可，
根据二次函数的性质可知当，取最小，所以当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小．

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