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山东济宁市邹城市2025-2026学年第二学期期中教学质量检测
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
3.用，，，，这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
5.除以的余数是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则( )
A. B. C. D.
8.函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，且，的分布列如下：
若，则( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极大值点
C. 是函数的极小值点 D.
11.二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若随机变量的概率分布列为，则当时，的方差为
D. 若函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名男教师和名女教师中选派名教师下乡支教，要求选派的教师中男、女教师均至少有名，则不同的选派方法共有 种
13.已知，则在处的切线的斜率为 ．
14.已知袋中有个红球，个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求展开式中所有项的二项式系数之和；
求；
求．
16.本小题分
某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满元可抽奖一次抽奖箱中有个蓝球、个红球，每次随机抽取个球，记录结果后将球放回，返现规则如下：
抽中个红球：返现元；
抽中个蓝球：返现元；
抽中蓝红：返现元．
顾客甲恰好消费元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望；
顾客乙消费了元，若该店对购满元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠．
17.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求，的值；
若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围．
18.本小题分
某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答个问题，每题答对得分，答错得分，且初赛总得分不低于分方可晋级复赛；复赛分为轮，每轮设置个问题，每题答对得分，答错得分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛轮得分累加为复赛总得分．
已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第题答对的概率为，第题答对的概率为，且所有问题之间的回答结果互不影响．
求小张同学成功晋级复赛的概率；
已知小张同学已晋级复赛．
若，求小张同学复赛总得分为分的概率；
设小张同学在复赛轮中，恰有轮每轮得分不低于分的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
证明：当时，；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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14.
15.解：因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为．
因为，
令，可得，即，令，可得，即，用式减去式得：，即．
对两边求导，
可得，
令，可得，
即．

16.解：由题意可知随机变量的可能取值有，，，则有：
；；；
所以随机变量的分布列为
的数学期望．
若选择方案一：此时可以参与次抽奖，最终花费的期望为元；
若选择方案二：最终花费为元；
因为，所以选择方案一更优惠．

17.解：因为函数的定义域为，且，
由题意可得：，解得
则，，
令，解得或；令，解得；
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则函数在处取得极小值，即符合题意，
综上所述：．
对于方程，即为，可得，
令，原题意等价于与有且仅有个交点，
因为，
令，解得或；令，解得；
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
由图可知：或，所以实数的取值范围为．

18.解：设小张同学在初赛的得分为，则，
所以小张同学成功晋级复赛的概率．
设在复赛中每轮得分为，则有：
；
；
，
若，则，，，
因为小张同学复赛总得分为分，则轮分，轮分，
所以小张同学复赛总得分为分的概率；
由题意可知：，，
则，
令，解得；令，解得；
则在内单调递增，在内单调递减，
所以取到最大值．

19.解：由题意可知：的定义域为，且，
若，则，可知函数在定义域内单调递增；
若，令，解得；令，解得；
可知函数在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，函数在定义域内单调递增；
若，函数在内单调递增，在内单调递减．
当时，可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则，
令，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以当时，．
令，，
原题意等价于不等式对恒成立，
因为，且，
则，解得，
若，令，，则，
令，，则在内单调递增，
可得，可知在内单调递增，
则，即，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为．

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