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北京市第二十二中学2025-2026学年高二下学期期中调研数学试题
一、选择题：本大题共12小题，共60分。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知有件产品，其中件正品，件次品，每次从中随机取出件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为( )
A. B. C. D.
9.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看哪吒，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为( )
A. B. C. D.
10.下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为( )
A. B. C. D.
11.曲线上的点到直线的最短距离是( )
A. B. C. D.
12.关于函数，给出下列四个结论，其中正确的是( )
A. 的值域是；
B. 在区间上单调递增；
C. 是的一个极值点；
D. 曲线与轴有且仅有个交点．
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
13.计算 用数字作答
14.随机变量的分布列如下表所示：则 ， ．
15.用数字，组成四位数，且数字，至少都出现一次，这样的四位数共有 个．用数字作答
16.已知二项式，则 ．
17.设函数为常数，若在单调递增，写出一个可能的值 ．
18.若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有 ．
若是“数列”则为假命题
若是“数列”且是等差数列，则单调递增
若是“数列”且单调递减，则是等比数列
若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求函数在区间上的最大值和最小值；
若函数有三个零点，直接写出的取值范围．
20.在锐角中，，．
求的值；
若为边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的长．
条件：的周长为；
条件：
条件：的面积为；
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
22.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分单位：分情况统计如下：
场次
甲
乙
丙
从上述场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
在上述场比赛中，从甲得分不低于分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率甲、乙、丙三人接下来又将进行场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系．
23.已知函数．
求的单调区间；
已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点．
求证：点在轴的下方；
设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. 答案不唯一， 即可．
18.
19.因为，
所以；，，
所以曲线在处的切线方程为．
令，即，解得或，
在区间上，的单调递增区间为，递减区间为，
且，，；
所以当时，最大值为，
所以当时，最小值为．
的取值范围为．
因为函数有三个零点，所以方程有三个根．
对函数求导得．
当或时，；当时，．
所以函数在单调递增，在上单调递减，
当时，；；；当时，
画出图象为：
要使函数有三个零点，则的取值范围为．

20.解：由，得，
因为为锐角三角形，所以，所以，
由正弦定理，得，
由，得．
选择条件：即的周长为，
由知，的周长为，所以，由余弦定理，
在中，由余弦定理，所以，
此时在中，由余弦定理，所以为锐角，
又因为，有，所以也是锐角，符合为锐角三角形的条件；
选择条件：即，
由知，根据余弦定理，即，方程无解，不符合要求，所以不能选择条件；
选择条件：即的面积为，
由知，因为的面积，得，
因为为锐角三角形，所以，
在中，由余弦定理．所以，所以，
此时在中，由余弦定理，即，
所以，即为锐角，
又因为，有，所以也是锐角，符合为锐角三角形的条件．

21.解：由底面是平行四边形，可知，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，又因为，所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
如图所示，连接，因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
则，
又因为，，，所以平面，则，
故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴和轴，如图所示建立空间直角坐标系，
由于
则，，，，，，
所以，，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则有，即
令，则，得，
设为二面角的平面角，且为锐角，
则，
即二面角的余弦值为．

22.解：根据三人投篮得分统计数据，在场比赛中，甲共获胜场，分别是第场，第场，第场．
设表示“从场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则．
根据三人投篮得分统计数据，在场比赛中，甲得分不低于分的场次有场，
分别是第场，第场，第场，第场，第场，第场，其中乙得分大于丙得分的场次有场，
分别是第场、第场、第场、第场．
所以的所有可能取值为，，．
，，．
所以的分布列为
所以．
由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
，，，
故．

23.解：定义域为，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
对于：在点处，切线方程为，
令得，即，
令，则，
当时，，单调递减，所以；
当时，，单调递增，所以
故，即，点在轴下方．
对于：切线与轴交于点，令，得
即．
在处切线斜率为，切线方程为，
令，得，即，
因为，所以，所以
因为，
令，则，
令，则，
当时，，在单调递增，所以，
即，所以在单调递增，所以，即，
又时，，所以，即，所以．

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