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北京市第三十一中学2025-2026学年第二学期中校本检测
高一年级数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
8.已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列选项正确的是( )
A. 的虚部为 B. 为纯虚数
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.下列说法正确的是( )
A. 若非零向量满足，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与是异面直线 B. 平面
C. D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，若，则 ．
13.如图所示，在直三棱柱中，，则异面直线，所成角的大小是 ．
14.已知复数满足，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中．
若，求的值；
若是纯虚数，求的值；
若对应的点在第一象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量，，，．
当时，求实数的值；
当时，求向量与的夹角的余弦值．
17.本小题分
记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
若，求；
若，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点．
证明：平面；
在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且．
．
证明：；
求点到平面的距离；
是棱的中点，证明：平面
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或；
；
．
16.解：由题意可得，
因为，所以．
，
因为，所以，
所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为．

17.解：，为的中点，
，即，解得，则．
过点作于点，则在中，，，
在中，，．
在中，，
，
，即，
又，，
，
，，．
再将代入，即可解得．

18.证明过程见详解；
．
19.解：设与的交点为，则是的中点，
因为所以．
因为菱形，所以．
又
，平面，所以平面．
又平面，所以．
在菱形中，因为．
所以菱形的边长为，且，
所以，
在中，．
所以，
即由知平面．
因为平面所以又所以平面
所以．
设点到平面的距离为．
因为
所以即．
故点到平面的距离为．
证明：取的中点，连接，则
因为平面．
平面，所以平面
由，知是的中点，
因为是的中点，所以
因为平面，平面，
所以平面
又，平面
所以平面平面，
又平面
所以平面

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