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山东肥城市2025-206学年下学期期中考试高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，，则下列向量的运算结果不一定成立的是
A. B.
C. D.
4.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个球与这个圆柱的体积之比为( )
A. B. C. D.
5.如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距海里的处，正在沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里小时的速度匀速行驶，经过小时后与轮船相遇则小艇的航行方向为( )
A. 沿正北方向 B. 北偏东方向 C. 北偏东方向 D. 北偏东方向
6.如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图图中，，则原图形是( )
A. 正方形 B. 等腰梯形
C. 非正方形的菱形 D. 既不是矩形也不是菱形的平行四边形
7.已知向量，，若与的夹角是钝角，则( )
A. B.
C. 且 D. 且
8.已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 如果的实部是，那么的虚部是
B. 当时，是实数
C. 当时，在复平面上对应的点位于第二象限
D. 的最小值是
10.如图，四边形是直角梯形，，，且，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．则
A. 该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的
B. 该几何体的体积是
C. 该几何体的侧面积是
D. 若，分别是边，的中点，从该几何体中将四边形旋转而成的几何体挖去，则减少的体积为
11.如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则
A. 的最大值为
B.
C.
D. 当取最大值时，、、三点共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，，则复数的代数形式为 ．
13.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，则剩余几何体的体积为 ．
14.如图，正方形中，，是的中点，、分别是线段、上的点，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，
若复数为纯虚数，求的值；
设，分别为的一个辐角，若，求的值．
16.本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
17.本小题分
如图，四边形中，，，，且有，．
求的长和的大小；
证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积．
18.本小题分
如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且．
证明：、、、四点共面；
设四面体的各棱长均为．
(ⅰ)当时，求四边形的周长；
(ⅱ)求四面体外接球与内切球的半径．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知向量，，．
求；
若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值；
若是锐角三角形，且，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：
，
为纯虚数，故，解得；
，，
则，，，
若，则，即

16.解：因为，所以，又因为，，
所以，解得，所以，
又因为，所以，
所以．
因为，且，，所以，
所以，所以，
所以向量在向量上的投影向量．

17.解：在中，，，，
由余弦定理得
，
所以，
由余弦定理得，而为三角形内角，
故．
，故，
，，，
故，，
故，所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得，
故，又，所以四边形是等腰梯形，
，
，
所以四边形的面积为

18.解：由题意得，在中，，
，
在中，，分别为，的中点，
，
由此得，故E，，，四点共面；
当时，由及对应线段比例得，，
在中，，，，
由余弦定理，得，
同理可得，
故四边形的周长为；
设四面体的外接球半径为，内切球半径为，
将棱长为的正四面体嵌入正方体中，其条棱恰为正方体的面对角线，
设正方体棱长为，由，解得，
正四面体的外接球即为该正方体的外接球，
故，得，
正四面体每个面的面积，
其表面积，
正四面体高，
其体积，
由等体积法得，即，
解得，
故四面体的外接球半径为，内切球半径为．
19.解：，，
由正弦定理得，
，，
得，所以，
又，故B；
由，得，
整理得，
所以，
即，化简得，
由基本不等式可得，即，
当且仅当时，等号成立，结合，解得，
，
，
故面积的最大值为；
由，及正弦定理得，
则，，
所以，
为锐角三角形，，解得，
，则，
故的取值范围是．
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