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江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年高一下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.若向量，，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为( )
A. B. C. D.
5.在中，角所对的边分别为，已知，则角为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知复数为虚数单位，且，当取得最小值时，则在复平面内对应的点位于 ．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，复数，则( )
A. 的共轭复数为 B.
C. 为实数 D. 的虚部为
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是( )
A. 直线和直线 B. 直线和直线
C. 直线和直线 D. 直线和直线
11.一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是
A. 当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸
B. 当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为
C. 当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为
D. 当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则实数 ．
13.如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
14.记的面积为，的外接圆半径为，且，则为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求与垂直的单位向量的坐标；
若，求与的夹角的值．
16.本小题分
已知棱长为的正方体中，分别为的中点．
求证：四点共面；
若沿着平面将正方体截成两部分．
请判断几何体是否是台体不需说明理由；
求截得的两部分的体积之比．
17.本小题分
如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设．
计算的大小；
设、，若、、三点共线，求实数的值；
设，求的面积．
18.本小题分
已知分别为三个内角的对边，，．
求；
若的面积为．
求的周长；
如图，若为线段上不含端点的两个动点，，求的取值范围．
19.本小题分
某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下：
方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内如示意图，若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离若能，求出结果精确到；若不能，请说明理由．参考数据：
方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为．
假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离；
为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为若点是线段的中点，，试用表示．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设该单位向量为 ，显然 ，
由题意得 ， ，则 ，
解得 ， 或 ，，
则 的坐标是 或
，
， ，
，
，
与 的夹角的值为 ．

16.解：连接，由正方体的性质可知：，
四边形为平行四边形，，
又，分别是，的中点，，且，
，四点共面；
几何体是台体，理由如下：
由四点共面，且，
故可延长、使得，则、，
又平面、平面，
且平面平面，故，
故、、三线共点，
由，分别是，的中点，
则，且，
故与相似，
又由正方体性质可得平面平面，
故几何体是台体；
，
，，
则，
即两部分的体积比为．

17.解：由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得，
所以．
由题意可得，，
又因为，则，，
又、、三点共线，则存在实数使得，
即，
由平面向量基本定理得，解得，所以实数的值．
因为，则，
，
所以，
又，所以，
所以．

18.解：由正弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以，
因为在中，，所以，
所以，所以，
因为，所以；
因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
所以周长为；
由，得，代入，
可得：，
解得：或，
所以或
如图可知：，
所以，故，，
由正弦定理可得：，
所以，，
设，其中，
则，，
在中，由正弦定理可得，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为，则，
所以．

19.解：在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
由余弦定理得
．
如图，在 中，
， ，
在 中， ， ；
在 中，由余弦定理，
，
；
如图，
，
在 中， ，即 ，
由余弦定理， ，
，
．
图 图

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