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江苏连云港市灌南县2025-2026学年第二学期期中调研考试
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则( )
A. B. C. D.
2.已知点，若向量，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的详解九章算法一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”现在简称为“杨辉三角”下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断与的值分别是( )
A. B. C. D.
4.某人组成兴趣小组，其中有名团员．从这人中任选人参加某项活动，用表示人中的团员人数，则等于( )
A. B. C. D.
5.可以表示为 ．
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为
A. B. C. D.
7.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是( )
A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直
8.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从个红球和个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从个无区别的红球、个无区别的蓝球、个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的说法中正确的有( )
A. 若向量、共线，则向量、所在的直线平行
B. 若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线
C. 若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面
D. 若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数每一位上数字只能是或，例如出现“”，其中的各位数中出现的概率为，出现的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 的数学期望
D. 随机变量的方差
11.已知，则下列说法正确的有( )
A. 展开式的各二项式系数的和为
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，且，则 ．
13.在的展开式中，有理项的个数共有 个．
14.如图，在体积为的三棱锥的侧棱，，上分别取点，，，使，．
记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，以正四棱锥的底面中心为坐标原点建立直角坐标系，其中，，为的中点，正四棱锥的底面边长为，高为．
求；
当是二面角的平面角时，求．
16.本小题分
甲、乙、丙等名同学利用周末到社区进行志愿服务．
进行合影留念时，名同学站成一排．甲、乙两名同学之间恰有人的不同排列方案有多少种？
名同学分成三组每组至少有一人，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？
17.本小题分
现有编号为，，的三个口袋，其中号口袋内装有两个号球，一个号球和一个号球；号口袋内装有两个号球，一个号球；号口袋内装有三个号球，两个号球；第一次先从号口袋内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
在第一次抽到号球的条件下，求第二次抽到号球的概率；
求第二次取到号球的概率：
18.本小题分
如图，等边三角形的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
求线段的长度；
求直线与平面所成角的余弦值；
棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，表示第一次排序时被排在，，，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
当时，若，，等可能地为，，的各种排列，求的所有可能的取值集合；
取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为，，，的各种排列，且各轮测试相互独立．
求的分布列与数学期望；
若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，计算出现这种现象的概率；出现这种现象，能否认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意知，，，
由此得：，
由向量的数量积公式有：
，
若是二面角的平面角，则
，
由，可得
又，
解得：
，
所以

16.解：从除甲、乙以外的人中任取人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下个人全排列，
则有种排列方案；
由题可得学生的分配方案可以有：；；；
名学生按分为三个组有种方法，
则人分配到三所学校共有种分配方法；
名学生按分为三个组有种分法，
则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法；
名学生平均分配到三项不同的社区有种方法；
所以人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有种方法．

17.解：记事件，分别表示第一次、第二次取到号球，，，，
则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率；
依题意，， 两两互斥，其和为，并且，，，
由全概率公式可得，．
18.解：连接，则，由题知平面平面，
且平面平面，又平面，
所以平面，
取边的中点记为，则，
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
易知，
所以，
由题知，
记平面的一个法向量，
易知，，
则，所以，
不妨取，得，
即，
记直线与平面的所成角为，
则，
则
所以，直线与平面的所成角的余弦值为；
设，其中，
，，
，，，
记平面的一个法向量为，
则，则，
不妨取，解得，
即，
则点到平面的距离，
整理得：即，
解得或舍去，
所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．
19.解： 当时，，，的各种排列方式如下表：
的可能取值集合为，
由知当时，
考虑到在，，，中奇数和偶数各有两个，
所以，中的奇数个数等于，中的偶数个数，
那么与的奇偶性相同，
所以对于必为偶数，
而，且易知，
的可能取值为、、、、，
，，
，
，
，
的分布列为
从而的数学期望．
记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，
“在某轮测试中有”为事件，
则，
又各轮测试相互独立，
，
表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而，该可能性非常小，
根据概率的实际推断原理，这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生，
从而我们认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能，而非靠随机猜测．
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