资源简介

2025-2026学年高三第四次月考数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一．单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1． （ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
2．已知集合 A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，则满足 B A的非空集合 B的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．样本 a1，a2，…a10的平均数为 ，样本 b1，b2，…，b10的平均数为 ，那么样本 a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10
，b10的平均数是（ ）
A． B． （ ） C．2（ ） D． （ ）
4．日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 1吨水净化到纯
净度为 x%时所需费用（单位：元）为 ，若 1吨饮用水的售价为 528.4元，要使净化的
饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（ ）
A．89% B．90% C．91% D．99%
5．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为 2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是 1：2，圆锥的侧
面积是 ，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且关于点 对
称，则φ的值为（ ）
A． B． C． D．
7．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点 Q，
称△QMN为“阿基米德三角形”．已知抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，过 F的直线 l交抛物线 C于 A，B两点，且|
AF|＝3|BF|，抛物线 C在 A，B处的切线交于点 P，则△PAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列{an}满足 nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），且{an}中小于 0的项有 10项，则 a1的取值范围是（ ）
A．[﹣22，﹣20） B．（﹣22，﹣20] C．[﹣20，﹣18） D．（﹣20，﹣18]
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．已知双曲线 的离心率为 ，则（ ）
A．m＝3
B．双曲线的焦点坐标为 和
C．点 在双曲线上
D．若 F为双曲线的右焦点，P为双曲线右支上任意一点，则
10．已知 ，且 ，tanα＝5tanβ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x）＝2f（x﹣1），且当 x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1），则下列说法正确
的是（ ）
A．f（x）有最大值，无最小值
B．存在负数 x0，使得
C．当 x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x
D．当 x∈（1，2]时，f（x）＝4（x﹣2）（x﹣1）
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．已知数列{an}中， ，则 S10＝ ．
13．若函数 恰有两个零点，则实数λ的取值范围是 ．
14． 在 △ ABC中 ， ， ， ， ， 且 AB与 DE交 于 点 F， 则
（用 表示），若 AB⊥DE，则∠ACB的最大值为 ．
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，四棱锥 P﹣ABCD的底面是边长为 4的菱形， ，PA⊥PD，PA＝2，PC＝4，M是 AD的中点．
（1）证明：PA⊥CM；
（2）若点 N为线段 AP上动点，是否存在这样的点 N，使得直线 CN与平面 PBC所成角的正弦值为 ？若存在，
求出点 N的位置；若不存在，请说明理由．
16．△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 sinA＝2sinC，b＝6， ．
（1）求 c；
（2）求 sin2A和 的值．
17．某超市每天以 4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以 7元/千克出售．若每天下午 6点以前所购进的有机蔬菜没有全
部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以 2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完
毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按 60天计算）每天下午 6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：
千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，s，t∈N*）
每天下午 6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 s t 5
（1）求 1天下午 6点前的销售量不少于 350千克的概率；
（2）在接下来的 2天中，设 X为下午 6点前的销售量不少于 350千克的天数，求 X的分布列和数学期望．
18．已知函数 f（x）＝a（ex+a）﹣x．
（1）若 a＝2，求函数在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）证明：当 a＞0时， ．
19．已知椭圆 C： ．
（1）若 C的焦距为 2，求 C的方程；
（2）设 C的右顶点为 A，点 M（0，m）在 y轴正半轴上．
（i）若 a＝3，且 C上存在一点 T，满足 ，求 m的值；
（ii）设线段 AM的垂直平分线 l的斜率为 3，且 l与椭圆 C交于 P，Q两点．若∠PMQ为钝角，求 a的取值范围．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B B C B B C
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
三．填空题
12．195．
13．（2，3]∪（6，+∞）．
14． ； ．
四．解答题
15．（1）证明：连接 AC，
因为四边形 ABCD是边长为 4的菱形，且 ，
所以△ACD是边长为 4的等边三角形，
又 M是 AD的中点，
所以 ，CM⊥AD，
因为 PA⊥PD，
所以 ，∠PAD ，
又 PC＝4，所以 PM2+CM2＝PC2，即 CM⊥PM，
又 AD∩PM＝M，AD，PM 平面 PAD，
所以 CM⊥平面 PAD，
而 PA 平面 PAD，
所以 PA⊥CM．
（2）解：不存在，理由如下：
以 M为原点，MA，MC所在直线分别为 x，y轴，作 Mz⊥平面 ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A（2，0，0）， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 PBC的法向量为 ，则 ，
令 y＝1，则 x＝0，z＝2，所以 ，
设 ，
则 ，
因为直线 CN与平面 PBC所成角的正弦值为 ，
所以|cos ， | ，
整理得 ，解得 t＝﹣3 [0，1]，
所以线段 AP上不存在满足条件的点 N．
16．解：（1）由 sinA＝2sinC，根据正弦定理可知 a＝2c，
结合余弦定理，可得 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即 4c2＝36+c2﹣12c×（ ），解得 c＝4（c＝﹣3不符合题意，舍去）；
（2）根据 ，可知 A为钝角，sinA ．
所以 sin2A＝2sinAcosA＝2 （ ） ，cos2A＝cos2A﹣sin2A ．
可得 sin2Acos cos2Asin ．
17．解：（1）由表格中的数据，可得 1天下午 6点前的销售量不小于 350千克的概率为 ．
（2）依题意，1天下午 6点前的销售量不少于 350千克的概率 ，
随机变量 X的可能值为 0，1，2，
可得： ，
，
，
所以随机变量 X的分布为：
X 0 1 2
P
所以 X的数学期望 ．
18．解：（1）当 a＝2时，f（x）＝2ex﹣x+4，所以 f'（x）＝2ex﹣1，
得 f（1）＝2e+3，点（1，f（1））处的切线斜率为 f'（1）＝2e﹣1，
所以函数在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（2e+3）＝（2e﹣1）（x﹣1），
即 y＝（2e﹣1）x+4；
（2）由 f（x）＝a（ex+a）﹣x，得 f'（x）＝aex﹣1，
当 a≤0时，f'（x）＜0恒成立，则 f（x）在 R上单调递减；
当 a＞0时，令 f′（x）＝0，得 ，
当 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，当 a≤0时，f（x）在 R上单调递减；
当 a＞0时，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增．
（3）证明：由（2）可知，当 a＞0时，f（x）的最小值 ，
要证 ，只需证 ，
只需证 ，
设 （a＞0），
则 ，
令 g'（a）＝0，得 ，
当 时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；
当 时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，
所以 ，
所以 得证，
即 得证．
19．解：（1）根据题可得，b＝1，c＝1，因此 a2＝b2+c2＝2，
故 C的方程为 ．
（2）（i）如图，作出符合题意的图形，
若 a＝3，那么 C的方程为 ，
由于 ，所以 ，且 m＞0，
将 代入 ，解得 ．
（ii）如图，作出符合题意的图形，
由于 AM⊥l，那么 ，即 ．
设线段 AM的中点为 B，那么 ，
可得直线 l为 ，即 ．
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），联立 ，
那么可得 ，
根据韦达定理可得 ， ．
又因为 ， ，
因此
，
又 a＞1，所以解得 ．

展开更多......

收起↑