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图形的平移与旋转 单元同步真题检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
2．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　）
A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD
3．如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为（　　）
A．20° B．40° C．70° D．50°
4．已知对应关系 ，其中，（x，y）、（x′，y′）分别表示△ABC、△A′B′C′的顶点坐标．若△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，则△A′B′C′的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转90°得到，点B的对应点B在边上（不与点A，C重合），则的度数为（　　）
A．α B． C． D．
6．如图，四边形ABD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
7．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，使得两张图案构成的图形是中心对称图形．那么它至少旋转（　　）

A．30° B．60° C．120° D．180°
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的两条对角线相等 B．若，则
C．正六边形的一个内角为 D．平行四边形不是中心对称图形
9．如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连结，以为边向外作等边，连结，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），把OA绕点O逆时针旋转90°，那么A点旋转后所到点的横坐标是　 　
12．如图，将 沿 边向右平移 得到 ， 交 于点G，已知 ， ， ，则图中阴影部分的面积为　 　 .
13．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　 　 ．
14．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫作图形的 变换 如图，等边 的边长为1，点A在第一象限，点B与原点0重合，点C在x轴的正半轴上 就是 经 变换后所得的图形，则点 的坐标是　 　.
15．将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 　 　
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D在BC边上，将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，连接DE，CE．当△DCE是等腰三角形时，BD的长为 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）纸上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为，从D到C记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中（______，______），（______，______），；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P处的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，
回答下列问题：
（1）请计算三角形的面积；
（2）将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到三角形，在坐标系中画出平移后的图形并直接写出各顶点的坐标．
19．如图，在直角三角形ABC中，，，沿AB方向平移至，若．
（1）求沿AB方向平移的距离；
（2）求四边形AEFC的周长．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
（3）写出点A1，B1，C1的坐标
21．将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．
（1）如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②，求证：△CMF≌△CMN；
（2）将△CED绕点C旋转，则：
①当点M，N在AB上(不与点A，B重合)时，线段AM，MN，NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M在AB上，点N在AB的延长线上(如图③)时，①中的关系式是否仍然成立？
22．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．
（1）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第　 　s时，边恰好与射线平行；第　 　时，直线恰好平分锐角；
23．如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
（1）直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ▲ ．
（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．
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图形的平移与旋转 单元同步真题检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
【答案】D
【解析】【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，A不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，C不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
2．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　）
A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，
∴旋转角为∠BAD或∠CAE，
故答案为：A．
【分析】根据旋转的性质求解即可。
3．如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为（　　）
A．20° B．40° C．70° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝90° ∠A＝90° 20°＝70°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，
∴BC＝CD，
∴∠B＝∠BDC＝70°，
在△BCD中，∠BCD＝180° 2×70°＝40°，
∴旋转角是40°．
故答案为：B．
【分析】根据旋转的性质可得∠B＝∠BDC＝70°，再利用三角形的内角和可得∠BCD＝180° 2×70°＝40°。
4．已知对应关系 ，其中，（x，y）、（x′，y′）分别表示△ABC、△A′B′C′的顶点坐标．若△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，则△A′B′C′的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】【解答】由对应关系可知：△ABC向左平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′，因为△ABC的面积与△A′B′C′面积相等，所以△A′B′C′的面积=△ABC的面积= ×6×2=6.
故答案为：B．
【分析】由已知条件中的对应关系可知：△ABC向左平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′，根据平移的性质可得△ABC的面积=△A′B′C′面积，所以△A′B′C′的面积=△ABC的面积= ×6×2=6.
5．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转90°得到，点B的对应点B在边上（不与点A，C重合），则的度数为（　　）
A．α B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：，，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，据此加以计算即可求解。
6．如图，四边形ABD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接HC和DE交于O1，
故选A．
【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心．
7．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，使得两张图案构成的图形是中心对称图形．那么它至少旋转（　　）

A．30° B．60° C．120° D．180°
【答案】B
【解析】【解答】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是60°，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它至少旋转60°．
故选：B．
【分析】首先根据图示，可得原来的图案构成一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形至少是正六边形；最后根据正六边形的中心角是60°，可得它至少旋转60°，据此解答即可．
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的两条对角线相等 B．若，则
C．正六边形的一个内角为 D．平行四边形不是中心对称图形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、菱形的两条对角线不相等，原命题不正确，本选项不符合题意；
B、若，则，正确，本选项符合题意；
C、正六边形的一个内角为，原命题不正确，本选项不符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，原命题不正确，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、菱形的对角线互相垂直平分；
B、不等式的性质；
C、正六边形的每一个内角都是；
D、平行四边形都是中心对称图形．
9．如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正确；
∴，
即四边形的面积等于四边形DFCG的面积，②正确；
∴四边形的周长为6+6+10+10+6+8=36，③错误；
在△ABC中，，
∴∠BAC=90°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠EGC=90°，④正确，
∴正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】先根据平移的性质再结合题意即可判断①②③，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根据平行线的性质即可判断④，进而即可求解。
10．如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连结，以为边向外作等边，连结，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连结，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，
作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为1，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使，连结，，先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，先求出，再求出，从而可得CE的最小值为1，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），把OA绕点O逆时针旋转90°，那么A点旋转后所到点的横坐标是　 　
【答案】-3
【解析】【解答】解：如图，作AB⊥y轴于点B，如图，
∵点A的坐标为（2，3），
∴AB=2，OB=3，
把△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，
∴∠BOB′=90°，∠ABO=∠A′B′O=90°，OB′=OB=3，
∴A点旋转后所到点的横坐标为﹣3．
故答案为﹣3．
【分析】如图，作AB⊥y轴于点B，如图，易得AB=2，OB=3，则把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△OA′B′，根据旋转的性质得∠BOB′=90°，∠ABO=∠A′B′O=90°，OB′=OB=3，即点B′落在x轴的负半轴上，于是得到A点旋转后所到点的横坐标为﹣3．
12．如图，将 沿 边向右平移 得到 ， 交 于点G，已知 ， ， ，则图中阴影部分的面积为　 　 .
【答案】11
【解析】【解答】解：∵ 将 沿 边向右平移 得到 ，
S△ABC=S△DEF，BE=CF=2；
∴S阴影部分=S△ABC-S△BFG，
S四边形BGDE=S△DEF-S△BFG，
∴S阴影部分=S四边形BGDE=.
故答案为：11.
【分析】利用平移的性质，结合已知条件可得S△ABC=S△DEF，BE=CF=2；再证明S阴影部分=S四边形BGDE，然后利用梯形的面积公式可求解。
13．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　 　 ．
【答案】　（4n+1，）　
【解析】【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
故答案为：（4n+1，）．
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
14．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫作图形的 变换 如图，等边 的边长为1，点A在第一象限，点B与原点0重合，点C在x轴的正半轴上 就是 经 变换后所得的图形，则点 的坐标是　 　.
【答案】
【解析】【解答】如图所示，过点A作 轴于点D，
是等边三角形，且 ，
， ，
点A坐标为 ，
则向右平移1个单位后对应点的坐标为 ，
经 变换后所得的 的顶点 的坐标为 ，
故答案为：
【分析】如图所示，过点A作 轴于点D，利用等边三角形的性质及直角三角形的性质可求出BD、AD的长，从而得出点A的坐标，然后求出向右平移1个单位后平的坐标，根据Y（1，180°）变换后的图形即是关于原点对称，据此求出A1即可.
15．将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 　 　
【答案】
【解析】【解答】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，
∴，即：；
∵Q与B关于原点对称，
∴点B的坐标是
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）和关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）分析求解即可.
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D在BC边上，将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，连接DE，CE．当△DCE是等腰三角形时，BD的长为 　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：设，则，
①当时，作于点，
由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
在中，，
由勾股定理得：，即，
，
解得：，（舍去）
，
②当时，
根据题意得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】设，则，分类讨论：①当时，作于点，证明出，由全等三角形的性质得，，在中，由勾股定理得，可得，②当时，在中，由勾股定理得：，解得，即可得解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）纸上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为，从D到C记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中（______，______），（______，______），；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P处的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程．
【答案】（1），
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：，
答：该甲虫走过的路程是10．
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据平移规律（ 向上向右走为正，向下向左走为负）求解即可；
（2）根据要求作出点P即可；
（3）根据行走路线列出算式，根据有理数的加法运算法则求解即可．
（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：，
答：该甲虫走过的路程是10．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，
回答下列问题：
（1）请计算三角形的面积；
（2）将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到三角形，在坐标系中画出平移后的图形并直接写出各顶点的坐标．
【答案】（1）解：三角形AOB的面积．
（2）三角形如图所示：
，，．
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算和图形的平移变换，割补法是计算不规则三角形面积的常用方法，点的平移规律是图形平移的基础。
(1)计算的面积采用割补法，将三角形置于一个长为6、宽为4的长方形中，用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到的面积；
(2)平面直角坐标系中，点的平移规律为：向上平移个单位，纵坐标加，向右平移个单位，横坐标加，据此分别计算点、、平移后的横、纵坐标，得到对应点、、的坐标，再顺次连接各点即可画出平移后的三角形。

（1）三角形AOB的面积．
（2）三角形如图所示：
，，．
19．如图，在直角三角形ABC中，，，沿AB方向平移至，若．
（1）求沿AB方向平移的距离；
（2）求四边形AEFC的周长．
【答案】（1）解：沿AB方向向右平移得到，
，
，
，
即沿AB方向平移的距离是.
（2）解：四边形AEFC的周长．
【解析】【分析】（1）根据平移规律得到AD=BE=CF，再根据AE和BD的长即可求得平移距离AD.
（2）分别得到四边形AEFC的各边长，再相加即可得四边形AEFC的周长.
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
（3）写出点A1，B1，C1的坐标
【答案】（1）解：如图所示：△ABC的面积：3×5﹣﹣﹣=6
（2）解：如图所示

（3）解：A1（2，5），B1（1，0），C1（4，3）．
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可；
（2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据坐标系写出各点坐标即可．
21．将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．
（1）如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②，求证：△CMF≌△CMN；
（2）将△CED绕点C旋转，则：
①当点M，N在AB上(不与点A，B重合)时，线段AM，MN，NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M在AB上，点N在AB的延长线上(如图③)时，①中的关系式是否仍然成立？
【答案】（1）解：∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，
，
∴△CMF≌△CMN（SAS）
（2）解：①∵△CMF≌△CMN，
∴FM=MN，
又∵∠CAF=∠B=45°，
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AM2+AF2=FM2，
∴AM2+BN2=MN2；
②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
则AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，
，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴FM=MN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAF=∠CBN=135°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，
∴AM2+AF2=FM2，
∴AM2+BN2=MN2．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知 CF=CN，∠ACF=∠BCN ，再求出 ∠ACM+∠BCN=45° ，从而求出 ∠MCF=45° ，然后利用“边角边”即可证出 △CMF与△CMN 全等；
（2）①根据全等三角形的性质能得出 FM=MN ，再通过旋转的性质可判断出 ∠CAF=∠B=45°，∠FAM =90° ，AF=BN，再利用勾股定理即可列式求解；
②由△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF可知AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，继而可求出∠MCF=∠MCN，然后利用“边角边”证出△CMF≌△CMN，从而得出FM=FN，再通过勾股定理即可。
22．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．
（1）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第　 　s时，边恰好与射线平行；第　 　时，直线恰好平分锐角；
【答案】（1）解：，
，
又，
，
（2）9或27，；12或30
【解析】【解答】解：（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或；
【分析】本题以三角板绕点O旋转为背景，考查了邻补角、角平分线的定义、平行线的性质以及旋转角度的计算。
（1）先由∠AOC＝60°得∠BOC＝120°，根据OM平分∠BOC求出∠COM＝60°，再由∠MON＝90°得∠CON＝∠COM＋90°＝150°；
（2）需分情况讨论：当MN∥OC时，旋转角为90°或270°，除以速度得时间；当ON平分∠AOC时，旋转角为120°或300°，同样求得时间。
23．如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
（1）直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ▲ ．
（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）由题意得，
过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，
；
当点Q在线段上时，
；
综上，；
（2）当时，；当时，；
∴是一条过的线段，
当时，，
作图如下：
；
函数图象的一条性质：当时，y随t的增大而增大；
（3）令，即，解得
由图得，当时，．
【解析】【分析】（1）由题意得，过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，进而即可得到，根据旋转的性质得到，进而结合题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到，再分类讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，从而根据三角形的面积即可求解；
（2）根据题意画出函数图象，进而即可求解；
（3）根据题意求出函数的交点坐标，进而观察函数图象即可求解。
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