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整式乘法与因式分解 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列从左到右的变形是分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
4．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（　　）
董天宇：秘锦航：
夏渤骅：武帅：
A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．计算， 结果是（　　）
A． B． C． D．
8．若，则a，b的值分别为（　　）
A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9
9．若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
10．已知，且，则的值为（　　）
A． B．2024 C． D．4048
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，那么　 　．
12．因式分解： 　 　.
13．（﹣0.125）100×8100=　 　．
14．已知（a+b）2=10，（a﹣b）2=6，则ab=　 　．
15．分解因式 　 　.
16．已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解：
（1）；
（2）．
18． 计算下列各式，并用幂的形式表示结果.
（1）
（2）
19．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
20．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式 ……………………第一步；
……………………第二步；
……………………第三步．
（1）小刚的解答过程是从第______步开始出错的；
（2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值．
21．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边
长分别为m+2，m+4．(其中m为正整数)
（1）图①中长方形的面积 =　 　
图②中长方形的面积 =　 　
比较： 　 　 (填“＜”、“＝”或“＞”)
（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则
①求正方形的边长(用含m的代数式表示)；
②试探究：该正方形面积 与图①中长方形面积 的差(即 - )是一个常数，求出这个常数．
（3）在(1)的条件下，若某个图形的面积介于 、 之间(不包括 、 )并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．
22．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
（1）由图2可以得到：　 　
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
23． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是　 　
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
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整式乘法与因式分解 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故A选项不符合题意；
B、根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故D选项符合题意．
故选： D．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘法运算法则逐项进行判断即可求出答案.
2．下列从左到右的变形是分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，这是整式乘法，不是因式分解，故不能选；
B. ，右边不是整式的积的形式，故不能选；
C. ，左边不是多项式，故不能选；
D. ，符合因式分解的定义，故符合题意.
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
3．如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，长方形的面积为：
[（a＋5）＋（a＋2）][（a＋5） （a＋2）]
＝3（2a＋7）
＝6a＋21，
故答案为：D．
【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的边长和，宽为两正方形的边长差，根据长方形的面积公式求解即可.
4．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、
，不是正方形的面积，故此选项符合题意；
B、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
C、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
D、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积和等于四个部分的面积之和可判断B；根据图形可得正方形ABCD的边长为(x+a)，结合正方形的面积公式可判断C；对D中的式子变形可得(x+a)(x+a)，据此判断D.
5．数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（　　）
董天宇：秘锦航：
夏渤骅：武帅：
A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅
【答案】C
【解析】【解答】解：A：董天宇的结果是整式的乘法运算，故A选项错误；
B：秘锦航的结果不是几个整式的积的形式，故B选项错误；
C：夏渤骅的结果是几个整式的积的形式，故C选项正确；
D：武帅的结果不是几个整式的积的形式，故D选项错误。
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案。
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. ，故错误；
B. 不能计算，故错误；
C. ，正确；
D. ，故错误；
故答案为：C.
【分析】①同底数幂相乘：底数不变，指数相加；②单项式×单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式；③幂的乘方：积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘。
7．计算， 结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵（-2n）3=（-2）3·n3=-8n3，
故正确答案选：C.
【分析】根据积的乘方的法则：把积的每个因式分别乘方，再把所得的积相乘。计算出结果即可.
8．若，则a，b的值分别为（　　）
A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9
【答案】D
【解析】【解答】解：
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据完全平方差公式计算即可.
9．若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
10．已知，且，则的值为（　　）
A． B．2024 C． D．4048
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理，得，
则，
即，
∵，
∴，
即，
由，得，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据因式分解对所给等式进行整理变形，再结合题中条件作答即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，那么　 　．
【答案】32
【解析】【解答】解：，
，即，
．
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式计算即可求出答案.
12．因式分解： 　 　.
【答案】x（x-5）
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】观察已知多项式两项都含有公因式x，因此提取公因式即可。
13．（﹣0.125）100×8100=　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：原式=（﹣0.125×8）100=1．
故答案为：1．
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．
14．已知（a+b）2=10，（a﹣b）2=6，则ab=　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2=10，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=6，
两式相减可得4ab=4，
∴ab=1．
故答案为：1．
【分析】根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2=10，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=6，再把它们相减可得4ab=4，即可求出ab的值．
15．分解因式 　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解.
16．已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为　 　．
【答案】1297
【解析】【解答】解：设b+c=(n-1)2，则a+c=n2，a+b=(n+1)2，n为正整数，且n＞1.
∴2（a+b+c）=(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2，
∴n为偶数，且a+b+c=，
∴a=，b=，c=，
∴n≥6，当n增大时，a2+b2+c2的值也增大，
而n=6时，a=30，b=19，c=6符合题意，
∴a2+b2+c2的最小值为：302+192+62=1297.
故答案为：1297.
【分析】根据题意“b+c、a+c、a+b是三个连续正整数的平方”可设b+c=(n-1)2，则a+c=n2，a+b=(n+1)2，n为正整数，且n＞1；把这三个等式相加可判断n为偶数，于是可将a、b、c用含n的代数式表示出来，且n≥6，当n增大时，a2+b2+c2的值也增大，于是取n=6分别计算可求出a、b、c的值，再求a2+b2+c2即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【解析】【分析】（1）直接提取作为公因式进行因式分解即可；
（2）先提取，接着将变成完全平方公式的形式即可．
（1）解：
（2）
．
18． 计算下列各式，并用幂的形式表示结果.
（1）
（2）
【答案】（1）解：（-3）2×（-33）4=32×（-312）=-32＋12=314.
（2）解：-（x3）4+3×(x2)·x4=-x12+3x6.
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”和同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可求解；
（2）根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”和同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可求解.
19．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：由已知得，
（2）解：．
．
【解析】【分析】（1）将展开可得x-y=3，再将提公因式后利用完全平方公式进行因式分解可得6（x-y）2，进而代入求值即可；
（2）由可得，将中2a分开整理后即可求解.
20．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式 ……………………第一步；
……………………第二步；
……………………第三步．
（1）小刚的解答过程是从第______步开始出错的；
（2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值．
【答案】（1）二
（2）解：
，
当时，原式。
【解析】【解答】（1）解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的，
故答案为：二。
【分析】（1）小刚在第二步去括号时，将错误地变为，忽略了括号前的负号应使变为，因此从第二步开始出错；
（2）正确化简时，先运用完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式展开，再去括号、合并同类项得到，代入后计算得。
（1）解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的，
故答案为：二
（2）解：
，
当时，原式
21．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边
长分别为m+2，m+4．(其中m为正整数)
（1）图①中长方形的面积 =　 　
图②中长方形的面积 =　 　
比较： 　 　 (填“＜”、“＝”或“＞”)
（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则
①求正方形的边长(用含m的代数式表示)；
②试探究：该正方形面积 与图①中长方形面积 的差(即 - )是一个常数，求出这个常数．
（3）在(1)的条件下，若某个图形的面积介于 、 之间(不包括 、 )并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．
【答案】（1）m2+8m+7；m2+6m+8；>
（2）解：①2（m+1+m+7）÷4=m+4；
②S-S1=（m+4）2-（m2+8m+7）=（m2+8m+16）-（m2+8m+7）=16-7=9.
（3）解：由（1）S1-S2=2m-1，
当10<2m-1<11时，
因为m为正整数，
所以m=6.
【解析】【解答】(1)S1=（m+1）（m+8）=m2+8m+7，
S2=（m+2）（m+4）=m2+6m+8，
S1-S2=m2+8m+7-（m2+6m+8）=2m-1，
因为m是正整数，最小为1，
所以S1-S2=2m-1≥1，
则S1>S2
【分析】(1)运用长方形面积=长×宽计算面积；
（2）运用多项式乘多项式的运算法则化简；
（3）因为1≤S1-S2，所以1022．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
（1）由图2可以得到：　 　
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：①由图2得，
∵，，
∴；
②∵，∴，∴，∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）由图2知，大正方形的面积等于，也可表示成
∴
故答案为：．
【分析】（1）通过大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题．
（2）①根据完全平方公式变形进行计算即可求解；
②先将用幂的形式表示出来，再结合①的方法即可求解．
23． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是　 　
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
【答案】（1）12
（2）解：设k是自然数， 由于 ．
因为k是自然数， 所以k+1是正整数，
∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”．
【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：.
故答案为：12；
【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结；
（2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论.
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