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分式 单元全真模拟培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（　　）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
2．下列各式中不是分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．不改变分式的值，使分式 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（　　）
A．10 B．9 C．45 D．90
4．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．分式的值为，则的值是（　　）
A． B． C． D．或
6．如果方程有增根，那么k的值（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．7
7．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．初三学生周末去距离学校120 的某地游玩．一部分学生乘慢车先行1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度．设慢车的速度是 ，根据题意列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
9．已知，，，，…，， 则y2021=（　　）
A． B．2-x C． D．1
10．已知公式 （ ），则表示 的公式是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．A地到B地的铁路长为1500千米．原来火车的平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了60千米/时，由A地到B地的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为　 　.
12．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是　 　
13．观察分析下列方程：① ，② ，③ ；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程 （n为正整数）的根，你的答案是：　 　．
14．分式 有意义时 的取值范围是　 　.
15．化简： =　 　．
16．已知 ，则式子 的值等于　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．化简：
18．近年来我国非常重视中学生的身体素质，体育成了中考的必考项目.如图是杭州某校一次体育训练中小强与小明两人的对话，请根据对话，求出小明这次训练中跑步的平均速度.
19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批进了多少盒盒装花．
20．已知分式，x取哪些值时：
（1）分式无意义；
（2）分式的值是零；
（3）分式的值可以为吗？
21．一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的，且这项工程若先由乙队做45 天，剩下的再由甲、乙两队一起做，则还要54天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为 0.82万元，乙队每天的施工费用为0.68万元，工程预算的施工费用为 100万元.拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？ 若够用，请说明理由；若不够用，需追加预算多少万元？
22．嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　 　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　 　；
（2）淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．
23．已知：P=x+2，Q=
（1）当x>0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由．
（2）设，若x，y均为非零整数，求xy的值．
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分式 单元全真模拟培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（　　）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
【答案】B
【解析】【解答】解：顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
顾客乙购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
∵﹣＝＝＞0，
∴乙划算，
故答案为：B．
【分析】先求出甲、乙两人的平均单价，再作差比较即可。
2．下列各式中不是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、C、D是分式，B是整式．
故答案为：B．
【分析】形如（A、B是整式且B中含有字母）的式子叫做分式，据此逐一判断即可.
3．不改变分式的值，使分式 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（　　）
A．10 B．9 C．45 D．90
【答案】D
【解析】【解答】解：因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90．
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，据此即可解答。
4．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】【解答】解：原方程：；
先将右边变形：；
方程两边同乘 去分母：
；
展开并整理：
解得：，即 ；
因为解为正数： ，得 ，故 ；
分母不为零： ，得 ，得 ，得 ；
自然数m满足 且 ，则m可取 0， 1， 3，共3个值。
故答案为：A。
【分析】先解分式方程得到x的表达式，再根据“解为正数”和“分母不为零”的条件列出不等式，最后确定符合条件的自然数m的个数。
5．分式的值为，则的值是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|-4=0且x-4≠0，
解得x=-4．
故答案为：B．
【分析】分式的值为0必须满足两个条件：（1）分式的分子为0；（2）分母不为0.
6．如果方程有增根，那么k的值（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵方程的最简公分母为x-7，
∴此方程的增根为x=7.
方程整理得：48+k=7x，
将x=7代入，得48+k=49，则k=1，
选项A正确.
【分析】 本题考查了分式方程的增根问题。增根是分式方程中一个重要的概念，它是指方程两边同乘以最简公分母后，所得到的整式方程的解中，使原方程分母为零的解.所以本题中有增根，那么最简公分母x-7=0，所以增根是x=7，再把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
7．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴＝＝.
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为-1，然后将已知条件代入进行计算.
8．初三学生周末去距离学校120 的某地游玩．一部分学生乘慢车先行1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度．设慢车的速度是 ，根据题意列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间-快车所用时间=1小时．可列方程为 .
故选：B.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
9．已知，，，，…，， 则y2021=（　　）
A． B．2-x C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
10．已知公式 （ ），则表示 的公式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴，∴，∴，∴∴，∵ ，∴；
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．A地到B地的铁路长为1500千米．原来火车的平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了60千米/时，由A地到B地的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：设 原来火车的平均速度为x千米/时 ，则提速后平均速度为：（x+60）千米/时，依题意有：.
【分析】根据 “由A地到B地的行驶时间缩短了3小时”即可列出方程解答.
12．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：原式=﹣÷=﹣ =．
故答案为：．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．
13．观察分析下列方程：① ，② ，③ ；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程 （n为正整数）的根，你的答案是：　 　．
【答案】x=n+3或x=n+4
【解析】【解答】解：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，
由②得，方程的根为：x=2或x=3，
由③得，方程的根为：x=3或x=4，
∴方程x+ =a+b的根为：x=a或x=b，
∴x+ =2n+4可化为（x﹣3）+ =n+（n+1），
∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，
即x=n+3或x=n+4．
故答案为：x=n+3或x=n+4．
【分析】首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+ =a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+ =2n+4化为（x﹣3）+ =n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．
14．分式 有意义时 的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】【解答】依题意得x+3≠0，故
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可得到x≠3.
15．化简： =　 　．
【答案】x+y
【解析】【解答】解： = =x+y
【分析】同分母的分式相加减，分母不变分子相加减，把分子因式分解，化为最简分式.
16．已知 ，则式子 的值等于　 　
【答案】1
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：1
【分析】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．化简：
【答案】解：
【解析】【分析】将第二个分式的分母利用平方差公式进行分解，将除法化为乘法，然后结合分式的乘法法则以及同分母分式加法法则进行计算.
18．近年来我国非常重视中学生的身体素质，体育成了中考的必考项目.如图是杭州某校一次体育训练中小强与小明两人的对话，请根据对话，求出小明这次训练中跑步的平均速度.
【答案】解：设小明的平均速度为 米/秒，则小强的平均速度为1.2x
根据题意，得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解.
答：小明这次训练中跑步的平均速度为 米/秒.
【解析】【分析】此题的等量关系为：小强的平均速度=1.2×小明的平均速度；1000÷小明的平均速度-1000÷小强的平均速度=40，设未知数，列方程，然后求出方程的解.
19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批进了多少盒盒装花．
【答案】解：设第一批进了x盒盒装花，则第二批进了2x盒盒装花，
根据题意得： = +5，
解得：x=100．
经检验，x=100是原分式方程的根．
答：第一批进了100盒盒装花
【解析】【分析】了x盒盒装花，则第二批进了2x盒盒装花，根据第二批每盒花的进价比第一批的进价少5元即可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
20．已知分式，x取哪些值时：
（1）分式无意义；
（2）分式的值是零；
（3）分式的值可以为吗？
【答案】解：（1）令2﹣3x=0，解得：；（2）令x﹣1=0，解得：x=1；（3）令=﹣，可知此时方程无解，故分式的值不可以为．
【解析】【分析】（1）分式无意义的条件是分母为0；
（2）当分子为0时，分式的值为0；
（3）令分式=，然后进行判断即可．
21．一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的，且这项工程若先由乙队做45 天，剩下的再由甲、乙两队一起做，则还要54天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为 0.82万元，乙队每天的施工费用为0.68万元，工程预算的施工费用为 100万元.拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？ 若够用，请说明理由；若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成所需天数为x天，则甲队单独完成所需天数为天，根据题意得，
，
解得，x=180，
经检验，x=180是分式方程的解，
=120，
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120 天和180天；
（2）解：不够用，理由如下：
设甲乙合作m天，则，
解得，m=72，
施工费用=（0.82+0.68）×72=108（万元）
108-100=8（万元）.
答：不够用，需追加预算8万元.
【解析】【分析】（1）设乙队单独完成所需天数为x天，则甲队单独完成所学天数为天，根据工作量=工作效率×工作时间，总工作量看做1，列出分式方程，解方程后，检验即可求得；
（2）设甲乙合作m天，甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据总工作量为1列出方程，即可求得m的值，再根据每天的施工费用×天数=总施工费用，可求得施工费用，再与预算的施工费用100万作差即可.
22．嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　 　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　 　；
（2）淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．
【答案】（1）；
（2）解：同意淇淇的说法，
理由：∵
当x是大于3的正整数时，，∵，
∴，所以淇淇说的对．
【解析】【解答】解：（1）∵x+1＜x+2＜x+3，
∴ 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是；
∵x-3＜x-2＜x-1，
∴ 淇淇组成的分式中值最大的分式是；
故答案为：，.
（2） 同意淇淇的说法，
理由：∵，
当x是大于3的正整数时，，
∵，
∴，所以淇淇说的对．
【分析】（1）三个式子中组成的分式中，分子最大，分母最小时分式就最大，据此解答即可；
（2）比较与的大小即可判断.
23．已知：P=x+2，Q=
（1）当x>0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由．
（2）设，若x，y均为非零整数，求xy的值．
【答案】（1）解：当 时， ． 理由如下：
∴ 当 时，
（2）解：
∵x，y 均为非零整数，
时， ，；
当 时， ；
当 时， ，．
综上所述， 的值为 18 或 12 ．
【解析】【分析】
（1）先求两式的差，再根据差的正负判断P，Q的大小。
（2）把P，Q所代表的代数式代入 中进行化简，根据x，y都是非0整数，得出x的取值，并求出相应的y值，从而得出xy的值。
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