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第18章 勾股定理及其逆定理 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（　　）
A．3 B．6 C．5 D．
2．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（　　）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
3． 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（　　）
A． B．-1 C．1 D．-1
6．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
7．如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
8．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（　　）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
9．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一 一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答：d＝1.6，丙答： ，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
10．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，∠C=90°，c=25cm，a：b=3：4，则S△ABC=　 　．
12．如图，在 中， ， ，点 在边 上，将 绕点 顺时针旋转能与 重合，若 ， ，则 的长是　 　.
13．如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝　 　．
15．如图，已知 ，数轴上点A对应的数是　 　
16．如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去…若点的坐标是，则点的横坐标为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，AB=AC，AB=17，BC=16，求：
（1）BC边上的中线AD的长；
（2）△ABC的面积.
18．如图，一艘轮船从小岛 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从 处返回 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）
19．如图，一根直立于水中的芦苇 高出水面 1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到 的距离 米，求芦苇 的长度为多少米？
20．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
（1）是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路少多少千米．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）在第一象限内，点 B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°．
（1）求点A的坐标．
（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
22．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=2，BC＝CD＝1，．
（1）求AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．
23．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．
已知顶点坐标为，，．
（1）如图1，若点．
①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________；
②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围：
（2）若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________．
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第18章 勾股定理及其逆定理 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（　　）
A．3 B．6 C．5 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵32+42=52，∴长度为3、4、5的三条线段能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵62+82=102，∴长度为6、8、10的三条线段能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+122=132，∴长度为5、12、13的三条线段能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴长度为、、的三条线段不能组成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一 一判断得出答案.
2．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（　　）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：连接CD，
根据题意得：AD=BD，AC=BC，
∴AB⊥CD，
则在Rt△ACD中，AC= AB=8cm，CD=6cm；
根据勾股定理，得： ；
所以 ；
即橡皮筋被拉长了 ；
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出CD⊥AB，根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离.
3． 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ，，
，，
，
，
，
.
故答案为：A．
【分析】先判断，是等腰直角三角形，再由三角形面积公式表示出，根据勾股定理可求得的值.
4．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ
∵DJ=BC，DJ∥BC
∴四边形DJBC是平行四边形
∴CD∥BJ
∴∠AMD=∠ABJ
∵
∴
∴∠A=90°
∴
故答案为：C
【分析】取格点J，连接AJ，BJ，根据平行四边形判定定理可得四边形DJBC是平行四边形，则CD∥BJ，根据直线平行性质可得∠AMD=∠ABJ，再根据勾股定理可得AB，AJ，BJ，再根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（　　）
A． B．-1 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD，
∴BA，
∴a＝-1，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出BA=BD，再求出a＝-1，即可得到答案。
6．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
【答案】C
【解析】【解答】解：A、因为22+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
B、因为12+12≠2，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
C、因为62+82=102，所以该三角形是直角三角形，故符合题意；
D、因为2+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
7．如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2=（15-3）2+（20-4）2=122+162=400，
所以BC=20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是通过补全图形构造直角三角形。由于直接求剪去的直角三角形斜边长难度较大，可采用补形法：延长和，使其相交于点F，此时即为剪去的直角三角形（因为长方形的角是直角，延长后形成的角仍为直角）。接下来计算直角边的长度：长方形的宽为15cm，，所以；长方形的长为20cm，，所以。最后根据勾股定理，斜边长。
8．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（　　）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
【答案】B
【解析】【解答】解：梯脚与墙角距离： ＝0.7（米）．
故梯脚应向前移动1.5-0.7=0.8（米）
故答案为：B．
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
9．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一 一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答：d＝1.6，丙答： ，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作 于 ，在 上取
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在 点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时 ，即丙的答案；
点A在 射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于 对称的AC不存在），此时 ，即甲的答案，
点A在 线段（不包括 点和 点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于 对称）；
故答案为：B
【分析】由题意可知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可。
10．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，∠C=90°，c=25cm，a：b=3：4，则S△ABC=　 　．
【答案】150cm2
【解析】【解答】解：设a=3xcm，则b=4xcm，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
即（3x）2+（4x）2=252，
解得：x=±5（负值舍去），
∴x=5，
∴a=3×5=15（cm），b=4×5=20（cm），
∴S△ABC= ab= ×15×20=150（cm2）；
故答案为：150cm2．
【分析】设a=3xcm，则b=4xcm，由勾股定理得出方程，解方程求出a、b，S△ABC= ab，即可得出结果．
12．如图，在 中， ， ，点 在边 上，将 绕点 顺时针旋转能与 重合，若 ， ，则 的长是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作BF⊥AC，设BF=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AF=BF=x，
故DF=x-1，
在Rt△DBF，BD =DF2+BF2，
即5=（x-1）2+x2，
解得x=2（-1舍去），
即AF=BF=2，
所以AB= = .
故答案为：.
【分析】如图，作BF⊥AC，设BF=x，根据等腰直角三角形的性质得出AF=BF=x，进而根据线段的和差得出DF=x-1，在Rt△DBF，利用勾股定理建立方程，求解算出x的值，从而得出AF=BF=2，最后根据勾股定理即可算出AB的长。
13．如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：在直角三角形中，
，，
，
，，
，
在中
，
故答案为：8．
【分析】利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由作法得CD=CB=2，AE=AD，
∠ABC＝90°， AB=4，BC=2，
故答案为：.
【分析】根据作法得CD=CB=2，AE=AD，利用勾股定理求得进一步求得AD的值，AE的值，再计算出BE的值，进而求解.
15．如图，已知 ，数轴上点A对应的数是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：由勾股定理得
∵
∴
∴数轴上点 对应的数是
故答案为：
【分析】先利用勾股定理求出OB的长度，再根据OA=OB即可得到OA的长度，从而得到A对应的数.
16．如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去…若点的坐标是，则点的横坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：观察图象可知，在直线上，且
由条件可知OB=1
当y=1时，，解得：
∴
取AO中点D，连接BD，
∴AD=OD=BD=1
∴OB=OD=BD
∴∠DOB=60°
∴∠OAB=30°
观察图象可知，
解得：
∴OO10的纵坐标
∴
∴的横坐标为
故答案为：
【分析】观察图象可知，在直线上，且，由条件可知OB=1，当y=1时，，则，根据勾股定理可得AO，取AO中点D，连接BD，则AD=OD=BD=1，根据等边三角形性质可得∠DOB=60°，则∠OAB=30°，观察图象可知，，则，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，AB=AC，AB=17，BC=16，求：
（1）BC边上的中线AD的长；
（2）△ABC的面积.
【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高线，AB＝17，BC＝16，
∴BD＝BC＝×16＝8，
∴AD＝＝＝15．
（2）由面积计算公式得
∴
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中底边上的高线，顶角的角平分线和底边上的中线重合，得到：求出BD的长度，最后在中根据勾股定理，即可求出AD的长；
（2）根据三角形面积公式得到：，结合（1）将BC和AD的值代入计算即可.
18．如图，一艘轮船从小岛 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从 处返回 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）
【答案】解： （海里），
（海里），
再Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得： （海里），
∴返回所用时间为： 小时，
出去所用时间为： 小时，
∴则返回时比出去时节省的时间为： 小时.
答：返回时比出去时节省了1小时.
【解析】【分析】利用已知条件，可求出AB，BC的长；再利用勾股定理求出AC的长；然后求出返回所用时间和出去所用时间，求差即可.
19．如图，一根直立于水中的芦苇 高出水面 1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到 的距离 米，求芦苇 的长度为多少米？
【答案】解：设 米，则 米
米， ，
，
，
米
答：芦苇 的长度为5米．
【解析】【分析】 设 米，则 米 ，利用勾股定理求出x的值，再计算即可。
20．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
（1）是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路少多少千米．
【答案】（1）解：是，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是为从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，则，，
在中，根据勾股定理有，
，即，
解得：，
∴，
∴，
∴新路比原路少千米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据垂线段最短即可求出答案.
（2）设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：是，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是为从村庄到河边的最近路；
（2）设，则，，
在中，根据勾股定理有，
，即，
解得：，
∴，
∴，
∴新路比原路少千米．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）在第一象限内，点 B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°．
（1）求点A的坐标．
（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴于点D，
∴∠ADO=90°，
∵∠AOB=60°，OA=2，
∴∠OAD=90°-60°=30°，
∴OD=OA=1，
∴，
∴点A（1，） .
（2）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b
解之：
∴直线AB的解析式为，
当y=0时
∴点C，
∴.
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，利用三角形的内角和定理可得到∠OAD=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长，利用勾股定理求出AD的长，可得到点A的坐标.
（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，由此可得到函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△AOC的面积.
22．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=2，BC＝CD＝1，．
（1）求AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中， ∠B＝90°，AB=2，BC＝1，
；
（2）解：在△ACD中，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°
∴.
【解析】【分析】（1）∠B＝90°，根据勾股定理可计算出AC；
（2）AC、CD、AD都已经知道长度，用勾股定理逆定理可判断出∠ACD是直角，再根据直角三角形的面积公式计算出△ABC和△ACD的面积，再计算出它们的和即可.
23．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．
已知顶点坐标为，，．
（1）如图1，若点．
①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________；
②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围：
（2）若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________．
【答案】（1）①，；
②解：由上述可得点关于的“对应点”为，
点关于的“对应点”为．
线段与的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图①，线段在上方，
此时只需，在轴上方，
即，解得；
第二种情况：如图②，线段在内部，此时只需在轴下方，
在点C上方
即，
解得；
第三种情况：如图③，线段在点下方，
此时只需在点下方，
即，解得；
综上所述，的取值范围是，，．
（2）
【解析】【解答】（1）①将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为，
将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为，
故答案为：，；
（2）根据题意得，，
∵，
则要使恰与全等，
有两种情况，如下：
当时，
设为，则，，
解得和，
∴为和，
则由新定义可得M为和；
当时，
设为，则，，
解得和，
则由新定义可得M为和；
∴所有满足条件的点M的坐标：．
故答案为：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中的新定义“对应点”，涉及点的对称性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及线段与三角形的位置关系。
(1)①根据点关于直线对称的性质，先求出点关于的对称点，再求出该点关于的对称点，即为所求“对应点”；②先根据新定义求出和的坐标，分析线段的位置特征，分线段在上方、内部、点下方三种情况，结合的顶点坐标确定的取值范围；
(2)先利用勾股定理求出的各边长，再根据全等三角形的对应边相等，分两种情况确定的坐标，最后根据“对应点”的定义逆向推出点的坐标。
（1）①将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为，
将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为，
故答案为：，；
②解：由上述可得点关于的“对应点”为，
点关于的“对应点”为．
线段与的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图①，线段在上方，
此时只需，在轴上方，
即，解得；
第二种情况：如图②，线段在内部，此时只需在轴下方，
在点C上方
即，
解得；
第三种情况：如图③，线段在点下方，
此时只需在点下方，
即，解得；
综上所述，的取值范围是，，．
（2）根据题意得，，
∵，
则要使恰与全等，
有两种情况，如下：
当时，
设为，则，，
解得和，
∴为和，
则由新定义可得M为和；
当时，
设为，则，，
解得和，
则由新定义可得M为和；
∴所有满足条件的点M的坐标：．
故答案为：．
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