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第19章 四边形 单元核心素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点B在线段BC的延长的，若∠DCE=130°，则∠A=（　　）
A．40° B．50° C．130° D．都不对
2．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B、C 两点不重合），过点 D作 DE∥AC，DF∥AB，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，下列说法正确的是（　　）
A．若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
B．若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形
C．若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
D．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形
3．如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，F是 的重心，连接AF并延长交BC于D，连接BF并延长交AC于 若 的面积是4，则四边形CDFE的面积是（　　）

A．2 B．5 C．3 D．4
5．如图，、在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．20
7．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，已知AB=200m，点 D为. AB 的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是 (　　)
A．
B．△ACD为等边三角形
C．
D．整个过程中下降的高度为 米
8．已知 △ABC(如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC.则BN：NQ：QM等于（　　）
A． 6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH= BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，ΔABC是等边三角形，AB＝4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为　 　.
12．如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=2，则AB=　 　。
13．等边 中，AB＝14.平面内有一点D，BD＝6，AD＝10， 则CD的长为　 　.
14．如图， ABCD的一个外角为38°，则∠A=　 　度.
15．把边长为 2 的正方形纸片 分割成如图的四块， 其中点 为正方形的中心， 点 分别为 的中点． 用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 (要求这四块纸片不重叠无缝隙)， 则四边形 的周长是　 　
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD上，且与BF交于点，若四边形OFCE的面积为3，则　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若 AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.
18．如图， 在 中， 为线段 的中点， 延长 交 的延长线于点 ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是矩形．
（2） 连结 ， 若 ， 求 的长．
19．（1）如图，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
（2）如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
20．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，平分，为的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
21．如图，在中，点D，E分别选BC、AC的点，延长BA至点，使得，连接DE，AD，EF，DF.
（1）求证：AD//EF.
（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求DF的长.
22．在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长.
23．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2.
（1）若CF=2，AE=3，求 BE的长.
（2）求证：
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第19章 四边形 单元核心素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点B在线段BC的延长的，若∠DCE=130°，则∠A=（　　）
A．40° B．50° C．130° D．都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据平行四边形的对角相等即可求解.
2．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B、C 两点不重合），过点 D作 DE∥AC，DF∥AB，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，下列说法正确的是（　　）
A．若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
B．若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形
C．若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
D．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形
【答案】A
【解析】【解答】解：A.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；符合题意；
B.若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；不符合题意；
C.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；不符合题意；
D.若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
3．如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：正方形对角线，
，
，
菱形中，记交于点，
，于点，，，且为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】先求出，于点，，，且为等边三角形，再利用勾股定理求出OD的长，最后利用菱形的性质求出BD的长即可.
4．如图，F是 的重心，连接AF并延长交BC于D，连接BF并延长交AC于 若 的面积是4，则四边形CDFE的面积是（　　）

A．2 B．5 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解： ，BE过 的重心F点，
，E点分别是BC，AC边的中点，
， ，
的底边BD上的高与 底边CD上的高相等， ，
，
的底边AE上的高与 底边CE上的高相等， ，
，
即 ，
，
即 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】本题考查的知识点是三角形的重心，三角形的中线性质，由三角形的重心知道D，E点分别是BC，AC边的中点是解题的关键，首先由重心知道D，E点分别是BC，AC边的中点，结合中线的性质可得到 ，从而推出 ，结合 的面积是4即可得到答案.
5．如图，、在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即．
故答案为：C．
【分析】设，由直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，由等边对等角可得， ，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可得，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠，然后根据可得关于x的方程，解方程即可求解．
6．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．20
【答案】A
【解析】【解答】解：通过尺规作图得：BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，AB=CD
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE
∵AE＝3
∴AB=CD=3，
∵CE⊥AD，DE=2，
∴CE=，
∵AD=AE+DE=5，
∴ ABCD的面积为AD CE=5．
故答案为：A．
【分析】
由尺规作图得BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得ADBC，利用平行线的性质得∠AEB=∠CBE，则AB=AE=3，由勾股定理得CE的长，利用平行四边形的面积公式可求得 ABCD的面积．
7．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，已知AB=200m，点 D为. AB 的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是 (　　)
A．
B．△ACD为等边三角形
C．
D．整个过程中下降的高度为 米
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴整个过程中下降的高度为，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意．
故答案为：D .
【分析】根据含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定方法，逐项进行判断即可．
8．已知 △ABC(如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】【解答】根据尺规作图可得直线垂直平分AC，再可得到AC，BD互相平分，
故答案为：B.
【分析】根据尺规作图可知AC，BD互相平分，即可判断.
9．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC.则BN：NQ：QM等于（　　）
A． 6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
【答案】C
【解析】【解答】解：连接MF和AE
∵M为AC的中点，EF=FC
∴MF为△CEA的中位线
∴AE=2MF，AE∥MF
∵NE∥MF
∴，
∴BN=NM，MF=2NF
设BN=a，NE=b，
∴可得NM=a，MF=2b，AE=4b
∴AN=3b
∵AN∥MF
∴
∴NQ=a，QM=a
∴BN：NQ：QM=a：a：a=5：3：2
故答案为：C。
【分析】连接MF和AE，根据题意可以证明MF为三角形CEA的中位线，根据中位线的性质得出AE=2MF，AE∥MF；继续根据NE∥MF即可得到，；可设BN=a，NE=b，即可表示NM，MF和AE，根据平行线的比例求出题中的比值即可。
10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH= BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=
BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=
BC，GH=
CF，
∵CE=CF，
∴GH=
CF=
CE
∵CE＜CG=
BC，
∴GH＜
BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=
BF；故③正确．
故答案为：C．
【分析】 ① 作EJ⊥BD于J，连接EF，由SAS判定△BCE≌△DCF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可求解；
② 根据OH是△DBF的中位线，得出GH= CF，由GH＜ BC，可得出结论；
③ 易证得△ODH是等腰三角形，进而证得OD= BF；
④ 根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，ΔABC是等边三角形，AB＝4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，故AE∥OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点O为CE中点，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC，可证得AE∥OD，利用等边三角形的性质可求出BC的长及BE的长；再利用勾股定理求出AE的长；利用点D的坐标可得到OD的长，同时可证得点O是CE的中点，可得到OE的长，即可得到点A的坐标.
12．如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=2，则AB=　 　。
【答案】1+
【解析】【解答】解： 过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，∠BAD=135°，∠EAG=75°，
∴∠BAE=∠DAG=30°，∠B=45°，
∵AE=2，
∴ME=1，AM=，
∴BM=ME=1，
∴AB=1+
故答案为：1+.
【分析】 利用菱形的性质，对角线平分每组对角得出∠BAE的度数，进而得出∠B的度数，即可得出BM，AM的长，进而得出答案即可．
13．等边 中，AB＝14.平面内有一点D，BD＝6，AD＝10， 则CD的长为　 　.
【答案】 或16
【解析】【解答】由题意，分以下两种情况：
（ 1 ）如图1，点D在 的内部
过点C作 于点E，过点D作 于点F，作 于点G
则四边形DFEG是矩形
是等边三角形，
设 ，则
在 中，
在 中，
则
解得
即
在 中，
（ 2 ）如图2，点D在 的外部
过点C作 于点E，过点D作 于点F，作 ，交CE延长线于点G
同理可得：
在 中，
综上，CD的长为 或16
故答案为： 或16.
【分析】分点D在 的内部和点D在 的外部两种情况，先利用等边三角形的性质可得 ，再根据勾股定理可得 ，从而可得DG、CG的长，然后在 中，利用勾股定理即可得.
14．如图， ABCD的一个外角为38°，则∠A=　 　度.
【答案】142
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵ ABCD的一个外角为38°，
∴∠BCD=142°，
∴∠A=142°
故答案为：142.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠BCD，由邻补角的性质可得∠BCD+38°=180°，据此计算.
15．把边长为 2 的正方形纸片 分割成如图的四块， 其中点 为正方形的中心， 点 分别为 的中点． 用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 (要求这四块纸片不重叠无缝隙)， 则四边形 的周长是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵点E，F是AB，AD的中点，
∴AE=AF=BE=DF=2，
EF=OB=OC=
图1的周长为
图2的周长为
图3的周长为
故四边形MNPQ的周长是或10或 ，
故答案为： 或10或8
【分析】先画出图形，再根据周长的定义即可求解.
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD上，且与BF交于点，若四边形OFCE的面积为3，则　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：正方形ABCD的边长为4，
，，
，
，
，
，，，
，，，
，，
四边形OFCE的面积为3，
，
，
，
，
∴OF-OE=2
故答案为：2.
【分析】先利用正方形的性质通过SAS判定，进而证出是直角三角形，通过全等三角形的性质求得的面积表示出AO、BO的平方和与乘积的值，然后由完全平方公式求得两边的差，利用全等三角形的性质可得OF-OE的长度.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若 AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.
【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴DC-DE=AB-BF即EC=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC
设AF=FC=x，则BF=6-x，
在Rt△BCF中，
FC2=BC2+BC2
∴x2=22+（6-x）2
解之：x=
答：菱形AFCE的边长为.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质易证DC∥AB，DC=AB，再证明DE=BF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论。
（2）利用菱形的性质可得到AF=FC，设AF=FC=x，则BF=6-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值。
18．如图， 在 中， 为线段 的中点， 延长 交 的延长线于点 ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是矩形．
（2） 连结 ， 若 ， 求 的长．
【答案】（1）证明： ∵O是线段 AD 的中点，
∴OA=OD．
四边形 是平行四边形，
即
，
四边形 是平行四边形．
，
，
平行四边形 是矩形
（2）如图，过点O作OF⊥DE，垂足为F，如图所示，
在矩形ABDE中，AB=DE=2，
，
，
，
，
∴OF 为 的中位线，
．
四边形 是平行四边形，
在 Rt 中， 由勾股定理得，
即 的长为
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质准备条件，根据ASA证明△AOB和△DOE全等，得AB=DE，再根据平行四边形的判定和矩形的判定证明即可；
（2）根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质求出OF的长，根据平行四边形的性质求出CF的长，根据勾股定理求出OC的长。
19．（1）如图，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
（2）如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
【答案】解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10，
∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8
（2）如图，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=12厘米，AC⊥BD，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∴在Rt△ABO中，BO= = =5（厘米），
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABC中，先利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长．
（2）如图，连接AC，BD交于点O，根据菱形的对角线互相垂直且平分求出AO的长，然后根据勾股定理求出BO的长，即可求出B、M两点的距离．
20．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，平分，为的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（）知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
【解析】【分析】(1) 先由、证得四边形ABCD是平行四边形，再利用角平分线性质和平行线性质推出，得到，根据菱形的判定定理得出四边形ABCD是菱形；
(2) 由菱形性质得，即为直角三角形，再根据直角三角形斜边中线性质得，利用等腰三角形性质求得。
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（）知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
21．如图，在中，点D，E分别选BC、AC的点，延长BA至点，使得，连接DE，AD，EF，DF.
（1）求证：AD//EF.
（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求DF的长.
【答案】（1）证明：∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE||AB，DE=AB
∵
∴DE||AF，DE=AF
∴ ADEF为平行四边形
∴ AD||EF
（2）(2)∵62+82=102，即AB2+AC2=BC2
∴AB⊥AC
∵DE||AB
∴DE⊥AE
∵DE=3，OE=2
∴OD=
∴DF=2OD=2
【解析】【分析】(1)由中位线定理可得DE||AB，DE=AB，而AF=AB，可得ADEF为平行四边形，即可得AD||EF；
(2)由勾股定理逆定理得AB⊥AC，可得DE⊥AC，结合平行四边形的性质得OE=2，可得OD=，即可得DF.
22．在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长.
【答案】（1）证明：为中点，，在中，，又四边形ABCD为平行四边形，四边形为矩形；
（2）解：解：连接，过点作，垂足为H，则EH=CD=4，
∵F为的中点，，
．
∵，BF=EF，
∴S△BEG=2S△BFG=10，
∵S△BEG=BG·EH=10，
∴BG=5，则，
由勾股定理：GH==3，
∴BH=BG+GH=8，
∴BE==，
∴BC=BE=，
【解析】【分析】（1）由F为BE中点及，可得AF=BF=EF，利用等边对等角可得，根据三角形内角和定理可推出∠BAF=90°，根据矩形的判定即证结论；
（2）连接，过点作，垂足为H，则EH=CD=4，由F为的中点，可得BG=GE，从而得出S△BEG=2S△BFG=10，利用三角形的面积可求BG=5，则，由勾股定理GH、BE的长，利用CG=BC-BG即可求解.
23．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2.
（1）若CF=2，AE=3，求 BE的长.
（2）求证：
【答案】（1）解：∵点F为CE的中点，
∴CE=CD=2CF=4.
又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=4.
在 Rt△ABE中，由勾股定理得
（2）证明：如图，延长AG，BC交于点 H.
∵CE=CD，∠2=∠1，∠ECG=∠DCF，
∴△CEG≌△CDF(AAS). ∴CG=CF.
∵点 F为CE 的中点，即
∵AD∥BC， ∴∠GAD=∠H，∠ADG=∠HCG.
∴△ADG≌△HCG(AAS). ∴AG=HG.
即
【解析】【分析】(1)求出CD=CE=2CF=4， 得到AB， 根据勾股定理求出BE即可；
(2)过G作GM⊥AE于M， 证△DCF≌△ECG， 推出CG=CF， 求出M为AE中点， 得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案.
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