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第17章 平行四边形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．60° C．80° D．160°
2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，点D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
3．如图， 是等边三角形，点P是三角形内的任意一点， ， ， ，若 的周长为36，则 （　　）
A．12 B．8 C．4 D．3
4．如图，四边形中，点E，F，G，H分别是线段，，，的中点，对于四边形的周长，下列说法正确的是（　　）
A．只与线段，的长有关 B．只与线段，的长有关
C．只与线段，的长有关 D．与四边形各边的长都有关
5．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列判断正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
9．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图3，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝　 　。
12．如图，在△ABD中，AB=4cm，AD=6cm，AF平分∠BAD，点C在AD上，BC⊥AF于点F．若点E是BD的中点，则EF=　 　．
13．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则　 　．
14．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有　 　 ．
①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）
15．如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对.
16．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
18．如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得，，， ， ， ，已知.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求椅子最高点到地面的距离.
19．如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，点是中点，求四边形的面积．
20．如图，将 ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连结AD、BC．
（1）从线段CA1上找出两对相等的线段
（2）求证：△A1AD1≌△CC1B．
21．如图，是等腰三角形，于点，当，时，
（1）求AD的长度；
（2）求证：AD是BC的垂直平分线；
（3）作AB的中点，并连接FD，求DF的长度.(要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
22． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
23．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点，
（1）求证：．
（2）记面积为，四边形面积为，
①求与的关系式．
②连结，若为直角三角形时，求的值．
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第17章 平行四边形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．60° C．80° D．160°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∠A+∠C=240°，
∴∠A=120°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=60°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等和对边平行可得∠A=∠C，AD∥BC，进而求出∠A=120°，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求解.
2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，点D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是BC、CA的中点，
∴DE＝ AB＝4，CE＝ AC＝5，DC＝ BC＝6，
∴△DEC的周长＝DE+EC+CD＝15。
故答案为：A。
【分析】根据三角形中位线的性质得出DE＝ AB＝4，根据中点的定义得出CE＝ AC＝5，DC＝ BC＝6，从而根据三角形周长的计算方法算出答案。
3．如图， 是等边三角形，点P是三角形内的任意一点， ， ， ，若 的周长为36，则 （　　）
A．12 B．8 C．4 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，延长EP、FP分别交AB、BC于G、H．
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形PGBD和四边形EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC．
又∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，∴△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH．
又∵△ABC的周长为36，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC 36=12．
故答案为：A．
【分析】可过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可求解答此题．
4．如图，四边形中，点E，F，G，H分别是线段，，，的中点，对于四边形的周长，下列说法正确的是（　　）
A．只与线段，的长有关 B．只与线段，的长有关
C．只与线段，的长有关 D．与四边形各边的长都有关
【答案】B
【解析】【解答】解： 点E，F，G，H分别是线段，，，的中点，
，
，
四边形的周长只与线段，的长有关.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理得到，进而得到四边形的周长为AD+BC，据此即可得到答案.
5．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列判断正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD+∠ABC=180°，故A不符合题意；
AC≠BD，故B不符合题意；
AB=CD≠BC，故C不符合题意；
AB∥CD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得对边平行且相等，邻角互补，即可求得.
6．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
由，，不能证明与全等，
不能确定与是否相等，
不能证明与平行，
不能证明四边形是平行四边形，
故B符合题意；
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】设交于点，根据对角线互相平分得到四边形是平行四边形判断A选项；不能证明与全等，即证明与平行，判断B选项；先证明，则，得到是平行四边形判断C选项；先证明，即可得到，证明四边形是平行四边形，判断D选项解题．
7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
在Rt△ABC中，
，
∵点E、F分别为AC和AB的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】先运用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理即可求解.
8．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
C、4+6=10，不能构成三角形，故此选项错误；
D、10+10＞15，能够成三角形，故此选项正确；
故选：D．
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
9．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1 ，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2//CE且P1P2=2CE.
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP .
中位线定理可知∶P1P//CE且P1P=CF .
∴点P的运动轨迹是线段P1P2 ，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值﹒
当C和F重合时，P点是CD的中点，此时∠BP1P2=90°
故答案为：D.
【分析】由P点的运动轨迹可知，P点始终在DE和CD中点的连线上，则PB最小值是点P到连线的距离，即以CD中点和点B为端点的线段长，在直角三角形中利用勾股定理求解即可。
10．如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，
∴符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个点.
故答案为：C.
【分析】由于到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，它们有4个交点，即为所求.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图3，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝　 　。
【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，CD=AB=5，
∠CED=∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∠ADE=∠CDE，
∠CDE=∠CED，
CE=CD=5，
BE=BC-CE=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】首先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，然后结合角平分线的定义，得到△CDE为等腰三角形，进而得到CE的长，然后用BC-CE即可得到BE的长.
12．如图，在△ABD中，AB=4cm，AD=6cm，AF平分∠BAD，点C在AD上，BC⊥AF于点F．若点E是BD的中点，则EF=　 　．
【答案】1cm
【解析】【解答】解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠CAF，
∵BC⊥AF，
∴∠AFB=∠AFC，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF，
∴BF=CF，AC=AB，
∵AB=4cm，
∴AC=4cm，
∵AD=6cm，
∴CD=2cm，
∵点E是BD的中点，
∴EF= CD=1cm，
故答案为：1cm．
【分析】先根据ASA证出△ABF≌△ACF，得出BF=CF，AC=AB，求出CD的长，再根据中位线定理得出EF= CD，从而得出答案．
13．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则　 　．
【答案】10
【解析】【解答】∵是的中点，
∴AE=DE，
∵，
∴∠FAE=∠CDE
∵∠AEF=∠DEC，
∴△ADE≌△DCE(ASA)，
∴AF=CD．
∵D是BC的中点，
∴AD是斜边BC上的中线，
∴BD=CD=AD，，
∴AF=BD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∴AD=BF，
∵AB=AB，AF=BD，
∴△ABF≌△ABD(SSS)，
∴．
∴，
即，
∴，
∴AC=10．
故答案为：10．
【分析】先利用“ASA”证出△ADE≌△DCE，可得AF=CD，再证出四边形ADBF是平行四边形，可得AD=BF，利用“SSS”证出△ABF≌△ABD，可得，再结合，即，最后求出AC的长即可。
14．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有　 　 ．
①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）
【答案】　①③　
【解析】【解答】解：延长AE交BC的延长线与点M．
∵CE⊥AE，CE平分∠ACB，
∴△ACM是等腰三角形，
∴AE=EM，AC═CM=b，
同理，AB=BF=c，AD=DF，AE=EM．
∴DE=FM，
∵CF=c﹣a，
∴FM=b﹣（c﹣a）=a+b﹣c．
∴DE=（a+b﹣c）．
故①③正确．
故答案是：①③．
【分析】延长AE交BC的延长线与点M，则△ACM是等腰三角形，即可证明E是AM的中点，则DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理求解．
15．如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对.
【答案】4
【解析】【解答】解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对.
故答案为：4
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得平行四边形是中心对称图形，进而即可得出答案.
16．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：点C在直线y＝x上，
①如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝x时，CD最小，
易知直线AB为y＝ x﹣2，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣1），
∵CF⊥直线y＝x，
设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，
∴直线CF为y＝﹣x+1，
由 ，解得： ，
∴点C坐标 .
∴CD＝2CF＝2× .
②如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝ ＞3 ，
∴CD的最小值为3 .
故答案为：3 .
【分析】讨论两种情形：①CD是对角线，②CD是边；CD是对角线时CF⊥直线y＝x时，CD最小.CD是边时，CD＝AB＝2 ，通过比较即可得出结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
【答案】解：∵D、E分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得
，DE//BC，再结合CF//BE，可证明四边形BCFE为平行四边形，可得，最后利用DF=DE+EF计算即可。
18．如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得，，， ， ， ，已知.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求椅子最高点到地面的距离.
【答案】（1）证明：， ， ，
， .
..
四边形是平行四边形.
（2）解： 四边形是平行四边形，
.
延长交于点，
由（1）可知，.又，
四边形是平行四边形.
，，
则，.
，，
即椅子最高点到地面的距离为.
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠ACE=∠ABD=127°，∠DEC=∠GFE=53°，进而得∠ACE+∠DEC=180°，可知BC//DE，即可证明结论；
(2)由平行四边形的性质得CE=BD=20cm，延长AC交GF于H，由(1)可知，CH//EF，CE//HF，可知四边形CHFE是平行四边形，得CH=EF=50cm，HF=CE=20cm，求得AH=AC+CH=100cm，GH=GF-HF=60cm，证明∠AGF=90°，再由勾股定理即可求解.
19．如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，点是中点，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：点是边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：点是中点，点是边的中点，
是的中位线，
，，
，；
，
，
又，
，，
．
【解析】【分析】（1）利用ASA得到，即可得到，然后根据，得到结论即可；
（2）根据中位线的性质得到，然后利用勾股定理求出AC长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
（1）证明：点是边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：点是中点，点是边的中点，
是的中位线，
，，
，；
，
，
又，
，，
．
20．如图，将 ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连结AD、BC．
（1）从线段CA1上找出两对相等的线段
（2）求证：△A1AD1≌△CC1B．
【答案】（1）解：相等的线段有：AA1=CC1，A1C1=AC
（2）证明：由题意可得：A1D1∥BC，
则∠D1A1A=∠BCC1，
在△A1AD1和△CC1B中
∵，
∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）．
【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出相等线段即可；
（2）利用平移的性质以及平行线的性质和全等三角形的判定方法SAS得出即可．
21．如图，是等腰三角形，于点，当，时，
（1）求AD的长度；
（2）求证：AD是BC的垂直平分线；
（3）作AB的中点，并连接FD，求DF的长度.(要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
【答案】（1）解：于点.
在中，
（2）证明：在Rt中，
是直角三角形，即.
又是的中线
是BC的垂直平分线.
（3）解：如图所示，FD为所求图形.
是BC的垂直平分线，在中，点是边AB的中点
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出AE的长为8，再利用勾股定理求出AD即可；
（2）先由DE、EC的长求出CD2，再加上AD2，由即可证出，再结合是等腰三角形， 即可证明；
（3）先作AB的垂直平分线，与AB的交点即为F，再根据中位线定理可知DF为AC的一半.
22． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴
∴∠BMA=90°，
∴AE⊥BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5，
∴CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴DE=DA=3，
同理可得，BC=CF=AD=3，
∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2，
∴EF=CF-CE=3-2=1
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论.
23．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点，
（1）求证：．
（2）记面积为，四边形面积为，
①求与的关系式．
②连结，若为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①延长交于点M，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，为等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴
，
∴．
②根据勾股定理得：
，
∵，
∴，
，
根据勾股定理得：
，
，
当时，，
∴，
解得：或（舍去），
，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
此时，不符合题意舍去；
综上分析可知：或3．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，从而进行线段的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）①延长交于点M，根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，，再根据等腰直角三角形的性质得到，，，，从而结合平行四边形的面积求出BM，进而得到MH和MG，再根据化简即可求解；
②先根据勾股定理表示出，进而得到，，再根据勾股定即可得到，从而分类讨论：当时，当时，当时，根据勾股定理即可求解。
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