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第18章 矩形、菱形与正方形 单元真题汇编培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（　　）
A．120° B．130° C．150° D．160°
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC= .四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D，E，F在三角形的边上）.则此正方形的面积为（　　）
A．25. B． . C．5. D．10.
3．如图， ABCD中对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，则给出下列条件，错误的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
4．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：
①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
5．若菱形的周长是40，两邻边所夹的锐角为，则菱形的面积为（　　）
A．20 B．25 C．40 D．50
6．如图，在中，对角线，为的中点，为边上一动点，以的速度从点向点运动，设运动时间为，连接并延长交于点，连接，则下列结论不成立的是（　　）
A．四边形为平行四边形 B．若，则四边形为菱形
C．若，则四边形为矩形 D．若，则四边形为正方形
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则矩形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．16 C．12 D．8
8．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
9．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．如图，正方形，对角线相交于点O，过点D作的角平分线交于点G，过点C作，垂足为F，交于点E，则的比为（　　）
A． B． C．2∶1 D．5∶2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，用总长为8米的细木条在墙壁上钉出两个正方形框，若钉小正方形框用了细木条a米，其余用来钉大正方形框（不计损耗）．设两个正方形框的边缘间距为x米，则x=　 　（用含a的式子表示）．
12．如图，在边长均为1的正方形ABCD和ABEF中，顶点A，B在双曲线y1= （k1≠0）上，顶点E，F在双曲线y2= （k2≠0）上，顶点C，D分别在x轴和y轴上，则k1=　 　，k2=　 　．
13．已知一个菱形的周长为52 cm，一条对角线长为10 cm，则另一条对角线长为　 　cm.
14．如图，在正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 的长是　 　．
15．如图，湖边有三条公路，其中公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为　 　．
16．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，在平行四边形中，连接，点为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
18． 如图，矩形ABOD的两边 OB，OD 分别在 x轴，y轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y= 的图象分别相交于点 E，F，且 DE=2，过点 E 作 EH⊥x轴于点 H，过点 F 作 FG⊥EH 于点 G，回答下面的问题：
（1）该反比例函数的表达式是什么
（2）当四边形 AEGF 为正方形时，求点 F 的坐标.
19．正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝2，求EF的长．
20．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P.
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN.
22．如图所示，已知中，、是高线，是中点，连接、和．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，试判断的形状，并说明理由；
（3）若，且，求的面积．
23．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
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第18章 矩形、菱形与正方形 单元真题汇编培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（　　）
A．120° B．130° C．150° D．160°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵△DCE是等边三角形，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°．
故答案为：C．
【分析】根据正方形与等边三角形的性质，即可求解．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC= .四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D，E，F在三角形的边上）.则此正方形的面积为（　　）
A．25. B． . C．5. D．10.
【答案】A
【解析】【解答】因为四边形BDEF是正方形，所以BD=DE，
在Rt△ABC中，AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，故∠C=45°，
又因为ED⊥BC，所以△DEC是等腰直角三角形，则ED=DC，所以BD=DC，
在Rt△ABC中， ∠C=45°，所以AC= ，所以BC=AC=10，所以BD=5，则正方形BDEF的面积是25，
故答案为：A.
【分析】先根据正方形性质得出BD=DE，又由题意得Rt△ABC为等腰三角形，∠C=45°，进而推出BD=DC，因为AC= ，所以BC=10，从而BD=5，则面积=25.
3．如图， ABCD中对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，则给出下列条件，错误的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
【答案】C
【解析】【解答】解：A.根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定，故符合题意；
B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定，故符合题意；
C.不能判定平行四边形ABCD是菱形；
D.根据对角线平分一组对角的平行四边形是菱形进行判定，故符合题意；
【分析】根据菱形的判定分析各选项即可.
4．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：
①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【解析】【解答】解：
①若G为的中点，则四边形是正方形； 【正确】
证明如下：
∵ 四边形ABCD为正方形
∴ ∠C=90°，BC=DC
∵，
∴ 四边形GFCE为矩形
∴ GE∥BC
∵G为的中点
∴ GE为三角形BCD的中位线
∴ EC==GE=
∴四边形是正方形
②若G为上任意一点，则； 【正确】
证明如下：
连接GC
由（1）知：四边形GFCE为矩形
∴ GC=EF
∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AD=DC，∠ADG=∠CDG=45°
∵ GD为公共边
∴
∴ AG=GC
∴ AG=EF
③点G在运动过程中，的值为定值4； 【正确】
证明如下：由（1）知：四边形GFCE为矩形
∴ FG=CE
过G作HG垂直AB于H
∵ 四边形ABCD为正方形
∴ ∠HBG∠FBG=45°，
∵
∴ HG=FG=BF=HB
∴ GE+GF=GE+HG=4
④点G在运动过程中，线段的最小值为． 【正确】
证明如下：由（1）知：四边形GFCE为矩形
∴ GC=EF
线段的最小值是点C到BD的距离，即正方形对角线的一半
∵ 正方形的边长为4，
∴ BD=
∴ 线段的最小值为．
综上所述：①②③④都正确；
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的性质和判定，矩形的性质与判定，线段和的最小值。熟悉图形的性质和判定方法是关键。
5．若菱形的周长是40，两邻边所夹的锐角为，则菱形的面积为（　　）
A．20 B．25 C．40 D．50
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵菱形的周长是40，
∴AD＝AB＝10，
∵∠A＝30°，
∴DE＝5，
∴S菱形ABCD＝AB DE＝50．
故答案为：D．
【分析】先利用菱形的周长及性质求出其边长AD＝AB＝10，再利用含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，最后利用菱形的面积公式求解即可.
6．如图，在中，对角线，为的中点，为边上一动点，以的速度从点向点运动，设运动时间为，连接并延长交于点，连接，则下列结论不成立的是（　　）
A．四边形为平行四边形 B．若，则四边形为菱形
C．若，则四边形为矩形 D．若，则四边形为正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：证明：∵，为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
故A正确；
∵在中，对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故B正确；
当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
故C正确；
当时，，，
∵在中，对角线，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形不是菱形，
∴四边形不是正方形，
故D错误．
故答案为：D．
【分析】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定；B、根据菱形的判定求解；C、根据矩形的判定求解；D、根据正方形的判定求解．
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则矩形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．16 C．12 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AE，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，AD=BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴AE=CE，
∵BE=3，AF=5，
∴CE=5，
∴AE=5，BC=BE+CE=8，
∴AB==4，
∴矩形ABCD的周长为2（4+8）=24.
故答案为：A.
【分析】根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质得出有关线段和角相等，利用ASA证明△AOP≌△COE，得到AF=CE，从而求出BC长，再利用勾股定理求出AB的长，最后求矩形ABCD的周长即可.
8．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四 边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求 得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．
9．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两直角边分别为6和8，
∴斜边=
∴斜边上的中线=×10=5．
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
10．如图，正方形，对角线相交于点O，过点D作的角平分线交于点G，过点C作，垂足为F，交于点E，则的比为（　　）
A． B． C．2∶1 D．5∶2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，根据正方
∴ AD= DC，
∠ODC= ∠OCD=∠OAD= 45°，
∠DOC= ∠BＯC＝90° ，OD= OC
又∵ DF平分∠ODC
∴∠EDF=∠CDF = 22.5°
∵CF⊥DG，
在△DCF中，∠DCF=180°-∠CDF- 90°= 180°- 22.5°－90° = 67.5°
在△DEF中，∠DEF= 180°-∠EDF- 90°= 180°- 22.5° －90°= 67.5°
∴∠DCF =∠DEF= 67.5°，
∠OCE=∠DCF-∠OCD = 67.5°－45° = 22.5°
∴ ∠ ODG =∠OCE
∵OD =OC，∠DOC= ∠BOC＝90°
∴ △ODG =△OCE（ASA），OG =OE
设DＡ= DC＝2ａ
在正方形ABCD中，由勾股定理
，则OA=OB= BD=a
∵ DE= DC= 2a
∴
AG=OA+OG，OG=OE，
∵
，
故答案为：A.
【分析】本题先利用正方形的性质、角平分线的定义以及垂直的性质，证明三角形全等，得到线段相等关系。然后通过设未知数，用含未知数的式子分别表示出两个三角形的一条边，再根据三角形面积公式，将两个三角形面积比转化为对应边的比来求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，用总长为8米的细木条在墙壁上钉出两个正方形框，若钉小正方形框用了细木条a米，其余用来钉大正方形框（不计损耗）．设两个正方形框的边缘间距为x米，则x=　 　（用含a的式子表示）．
【答案】
【解析】【解答】解：∵钉小正方形框用了细木条a米，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴大正方形的边长为，
∴=，
解得：x=.
故答案为：．
【分析】由题意可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图形可得大正方形的边长为，据此联立求解即可.
12．如图，在边长均为1的正方形ABCD和ABEF中，顶点A，B在双曲线y1= （k1≠0）上，顶点E，F在双曲线y2= （k2≠0）上，顶点C，D分别在x轴和y轴上，则k1=　 　，k2=　 　．
【答案】1；3
【解析】【解答】解：
作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N，EH存在OC于H，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∵∠ODC+∠ADM=90°，
∴∠ODC=∠MAD，
在△AMD和△DOC中，
，
∴△AMD≌△DOC，
同理△CNB≌△DOC，
设OD=x，OC=y，
则AM=CN=OD=x，MD=BN=OC=y，
∵点A，B在双曲线y1= 上，
∴x（x+y）=y（x+y），
解得，x=y，
∵DC=1，
∴x=y= ，
∴k1= ×（ + ）=1，
∵BN∥EH，CB=BE，
∴CN=NH= ，
∴k2=（ + ）×（ + + ）=3，
故答案为：1；3．
【分析】作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N，EH存在OC于H，证明△AMD≌△DOC和△CNB≌△DOC，根据全等三角形的性质、比例函数的系数k的几何意义计算即可．
13．已知一个菱形的周长为52 cm，一条对角线长为10 cm，则另一条对角线长为　 　cm.
【答案】24
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的周长为52cm，AC =10cm，
∴AC⊥BD，AB = BC = CD = DA = 13cm，OA=5cm，OB=OD，
∴，
∴BD=2OB=24（cm），
即另一条对角线长为24cm，
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质求出AC⊥BD，AB = BC = CD = DA = 13cm，OA=5cm，OB=OD，再利用勾股定理求出OB=12cm，最后计算求解即可。
14．如图，在正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 的长是　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ 分别是 的中点，
∴BD=2EF=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=4；
故答案为：4．
【分析】连接BD，利用三角形中位线的性质求出BD的长，再根据正方形的对角线相等可以求出AC的长。
15．如图，湖边有三条公路，其中公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：公路的中点M与点C被湖隔开，测得的长为，
∴CM=0.6km，
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意即可求解。
16．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是　 　．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为：①③④．
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，在平行四边形中，连接，点为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点为边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是平行四边形，四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
四边形的面积是．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质，全等三角形判定定理及性质，矩形的判定定理即可求出答案；
（2）根据平行四边形性质及矩形性质即可求出答案。
18． 如图，矩形ABOD的两边 OB，OD 分别在 x轴，y轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y= 的图象分别相交于点 E，F，且 DE=2，过点 E 作 EH⊥x轴于点 H，过点 F 作 FG⊥EH 于点 G，回答下面的问题：
（1）该反比例函数的表达式是什么
（2）当四边形 AEGF 为正方形时，求点 F 的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD=3，DE=2，
∴E点坐标为(2，3)，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为(x>0)
（2）解：设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为(2+a，0)，A点坐标为(2+a，3)
∴F点坐标为(2+a，3-a)，
把F(2+a，3-a)代入得(2+a)(3-a)=6，
解得a1=1，a2=0(舍去)
∴F点坐标为(3，2)
【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质得到D(2，3)，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，从而得到反比例函数解析式；
(2)设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=6，根据坐标与图形的关系得到B(2+a，0)，A(2+a，3)，所以F点坐标为(2+a，3-a)，于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得(2+a)(3-a)=6，解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标.
19．正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△DEF≌△DMF；
（2）若AE＝2，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，BC＝5，
∴BM＝BC+CM＝5+2＝7，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x，
∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
则EF＝．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转性质准备条件，再利用SAS证明 △DEF≌△DMF 即可；
（2） 设EF＝MF＝x， 用含x的代数式表示BF的长， 在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。
20．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：点是的中点，，∴是的垂直平分线，
，，．
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：设，，
∴
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
∴．
在中，由勾股定理得，，
即，解得，，即．
，
在中，由勾股定理得，，
．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线推出和，再利用矩形的性质证明从而推出，即可证明四边形是菱形．
（2）根据勾股定理和已知条件求出的长度，利用设参数和勾股定理求出的长度，最后利用勾股定理和菱形的性质即可求出的长．
21．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P.
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
∴AP=4，
∴S△APC=AP CD=4×4=8
（2）证明：∵在△PDC和△FBC中，
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，连接BH ，
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质∠ACP=∠APC=67.5°，根据勾股定理求出AP=AC=，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）先根据ASA得到△PDC≌△FBC，即可得到CP=CF；在CN上截取NH=FN，连接BH，然后根据ASA得到△AMB≌△BHC，即可得到BM=HC，然后根据线段的和差解答即可.
22．如图所示，已知中，、是高线，是中点，连接、和．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，试判断的形状，并说明理由；
（3）若，且，求的面积．
【答案】（1）证明：∵、是高线，是中点，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
同理，，
∴
∴=90°，
，
∴是等腰三角形
（3）解：作于点，如图，
设，则，
同（2）可得∠DFE=180°-10x，
∴ 180°-10x=2x，解得，x=15°，即，
∴，
∵ DF=BC=2，
∴
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边上中线为斜边的一半可得EF=DF，根据等腰三角形的判定即可证明；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠EBF+∠DCF=135°，根据等边对等角可得∠FEB+∠FDC=135°，根据四边形的内角和为360°推出∠DFE=90°，即可证明；
（3）作于点，，同（2）可得∠DFE=180°-10x，列方程求得∠DFE=30°，根据30°的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式计算即可.
23．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
【答案】（1）解：如图，连结CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴.
，
∴AM=5.
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
.
∵N是AC的中点，
；
（3）解：∵AC=8，N是AC的中点，
.
【解析】【分析】（1）连结CM，由直角三角形斜边中线的性质可得AM=CM=BM=DM=BD，再利用勾股定理求出BD的长，继而得解；
（2）由（1）知AM=CM，根据等腰三角形扇形合一的性质即可求解；
（3）由线段的中点求出AN，由（2）知MN⊥AC，利用勾股定理求出MN即可．
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