资源简介

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二元一次方程组 单元综合强化训练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 是方程 的解，那么 的值是（　　）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
2．古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
3．方程组，的解满足的关系是（　　）
A． B． C． D．
4．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x-y=（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图1，长方形ABCD的周长为11（其中），如图2所示，以AD为边向上作正方形，再以AB为边向右作正方形．若图2中空白图形的面积和为，则原长方形ABCD的面积为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
6．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（　　）
A．x+y=1 B．x+y=-1 C．x+y=9 D．x-y=-9
7．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　）
A． B．
C． D． =
8．《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百，恶田七亩，价五百.今并买一顷价钱一万.问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱.今共买好，坏田1顷(1顷＝100亩)，价钱10000钱.问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根意可列方程组为（　　） ”
A． B．
C． D．
9．去年夏季学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”去年5月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元，去年6月“绿豆冰糕”的销售量与去年5月一样，去年6月“奶油冰糕”销量与5月相比减少一半，去年6月“红枣冰糕”的销量是去年5月的3倍，但三种冰糕的总销售量去年6月比去年5月多100支，“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现去年5月“绿豆冰糕”的销售额占去年5月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”去年5、6月总利润是“绿豆冰糕”去年5、6月总利润的，那么，在去年5月的销售中52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多（　　）元.
A．216 B．432 C．211 D．422
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（　　）
A．-50 B． C．50 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己
的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为　 　．
12． 沙滩上有一群小朋友在玩沙子， 女孩戴着红色小帽， 男孩戴着黄色小帽， 每位男孩看到的红色小帽比黄色小帽多 6 个， 而每位女孩看到的红色小帽比黄色小帽多两倍， 设女孩有 人，男孩有 人， 根据题意可列出二元一次方程组：　 　
13． 和 都是方程 的解，则 　 　．
14．我国古代数学家梅縠成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数.四军才分布一疋，请问官军多少数.其大意为：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋，请问官兵各几人 若设官x人，兵y人，依题意可列方程组为　 　.
15．如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每个小长方形的长为x cm，宽为y cm．根据题意可列方程组：　 　
16．今年春节某超市组装了甲、乙两种礼品盆，他们都是由 三种零食组成，其中甲礼品盒装有3千克 零食，1千克 零食，1千克 零食，乙礼品盒装有2千克 零食，2千克 零食，2千克 零食，甲、乙两种礼品盒的成本均为盆中 三种零食的成本之和.已知每千克 的成本为10元，乙种礼品盒的售价为60元，每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲、乙两种礼盒的销售利润率为 时，该商场销售甲、乙两种礼盒的数量之比是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程组：
（1）
（2）
18．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
19．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表．
类型 载客量（人） 租金（元／辆）
型客车 45 250
型客车 60 320
（1）本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？
（2）若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？
20．某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等．
（1）求足球的单价．
（2）该训练营需要购买30套队服和y（y＞10）个足球，甲乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：
商家 优惠方案
甲 每购买10套队服，送1个足球
乙 购买队服超过20套，则购买足球打8折
①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．
②请比较到哪个商家购买比较合算？
21．规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程的“共轭二元一次方程”为_____________；
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”．
22． 根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
23．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
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二元一次方程组 单元综合强化训练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 是方程 的解，那么 的值是（　　）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
【答案】D
【解析】【解答】将 代入方程 ，得
2k-1=3，
解得：k=2，
故答案为：D.
【分析】将 代入方程可得关于k的方程，解方程即可得.
2．古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故选：C．
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组的能力，关键在于正确理解题意，找到等量关系，并准确建立方程组模型。根据题目描述的条件"三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树"，可以建立关于x和y的二元一次方程组。
3．方程组，的解满足的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】
②-①得：（2x+y）-（x-y）=7-5
整理得：
故答案为：B
【分析】利用加减消元法可得。
4．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x-y=（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】依题意，得
解得
∴x-y=8-2=6
【分析】根据图中各行、各列上的三个数之和都相等，建立关于x，y的二元一次方程组求解，最后代值计算即可.
5．如图1，长方形ABCD的周长为11（其中），如图2所示，以AD为边向上作正方形，再以AB为边向右作正方形．若图2中空白图形的面积和为，则原长方形ABCD的面积为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】C
【解析】【解答】解：设AB=x，AD=y，
则根据题图可列方程组为，
整理得：，
则有，
则xy=7，
故原长方形ABCD的面积为AB·AD=xy=7；
故答案为：C.
【分析】设AB=x，AD=y，根据题图可列出关于x，y的方程组，变形解出即可得出答案.
6．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（　　）
A．x+y=1 B．x+y=-1 C．x+y=9 D．x-y=-9
【答案】C
【解析】【解答】解：
①+②得：x+y+m-5=4+m，
即x+y=9，
故答案为：C.
【分析】方程组中的两个方程相加得出x+y+m-5=4+m，整理后即可得出答案.
7．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　）
A． B．
C． D． =
【答案】A
【解析】【解答】解：设有x人，物品的价格为y元，
根据题意，可列方程： ，
故答案为：A．
【分析】设有x人，物品的价格为y元，由于整个过程中出钱的人数即商品的价格没有变化，故根据每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．列出方程组即可。
8．《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百，恶田七亩，价五百.今并买一顷价钱一万.问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱.今共买好，坏田1顷(1顷＝100亩)，价钱10000钱.问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根意可列方程组为（　　） ”
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】1顷＝100亩，
设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意有： .
故答案为：B.
【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据等量关系：共买好，坏田1顷（1顷＝100亩），价线10000钱，列出方程组.
9．去年夏季学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”去年5月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元，去年6月“绿豆冰糕”的销售量与去年5月一样，去年6月“奶油冰糕”销量与5月相比减少一半，去年6月“红枣冰糕”的销量是去年5月的3倍，但三种冰糕的总销售量去年6月比去年5月多100支，“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现去年5月“绿豆冰糕”的销售额占去年5月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”去年5、6月总利润是“绿豆冰糕”去年5、6月总利润的，那么，在去年5月的销售中52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多（　　）元.
A．216 B．432 C．211 D．422
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意设绿豆冰糕的成本为t元， ，解得t=4.
∴奶油冰糕的成本为4-1=3.
由题意可设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，
则 解得b=200，c=100.
∴绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.
又∵ 由②得a=200x-600③，
将③代入到②式化简得26x-5n=108，
∴ 52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多108×2=216元.
故答案为： A.
【分析】设绿豆冰糕的成本为t元，根据利润求出t的值，即可得到.奶油冰糕的成本为4-1=3.再设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，则b+ 求出b和c的值.因此绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.奶油冰糕的利润为 ②.将上述①、②式子进行化简可以得到26x-5n的值解答即可.
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（　　）
A．-50 B． C．50 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，
整理得：
，
故答案为：B．
【分析】观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，由此可推出d-c=-10，然后代入计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己
的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：
．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，本题得以解决．
12． 沙滩上有一群小朋友在玩沙子， 女孩戴着红色小帽， 男孩戴着黄色小帽， 每位男孩看到的红色小帽比黄色小帽多 6 个， 而每位女孩看到的红色小帽比黄色小帽多两倍， 设女孩有 人，男孩有 人， 根据题意可列出二元一次方程组：　 　
【答案】
【解析】【解答】解：根据条件“ 每位男孩看到的红色小帽比黄色小帽多 6 个 ”，可得y-1=x-6；根据条件“ 每位女孩看到的红色小帽比黄色小帽多两倍 ”，可得x-1=3y。
联立方程得.
故答案为：.
【分析】列方程时要注意，每位男孩或女孩是看不到自己所带帽子的颜色，所以方程组会出现x-1、y-1.
13． 和 都是方程 的解，则 　 　．
【答案】-8
【解析】【解答】解：∵ 和 都是方程 ax+b=y 的解，则有
∴ ，
解得 ，
∴5a-b=5×（-）-（）=-8，
故答案为： -8.
【分析】方程的解满足方程（即使方程左右相等），本题将 和 分别代入方程ax+b=y ，即可得到一个关于a和b的方程组，求解即可得出a、b的值，最后代入5a-b中计算即可.
14．我国古代数学家梅縠成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数.四军才分布一疋，请问官军多少数.其大意为：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋，请问官兵各几人 若设官x人，兵y人，依题意可列方程组为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵有1000官兵
∵有 1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋
故可列出方程组：
故答案为：
【分析】依据今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋可以分别列出两个二元一次方程，，再将这两个二元一次方程组成二元一次方程组即可得出答案.
15．如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每个小长方形的长为x cm，宽为y cm．根据题意可列方程组：　 　
【答案】
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，再求解即可。
16．今年春节某超市组装了甲、乙两种礼品盆，他们都是由 三种零食组成，其中甲礼品盒装有3千克 零食，1千克 零食，1千克 零食，乙礼品盒装有2千克 零食，2千克 零食，2千克 零食，甲、乙两种礼品盒的成本均为盆中 三种零食的成本之和.已知每千克 的成本为10元，乙种礼品盒的售价为60元，每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲、乙两种礼盒的销售利润率为 时，该商场销售甲、乙两种礼盒的数量之比是　 　.
【答案】6：11
【解析】【解答】设销售甲种礼盒数量为x盒，乙种礼盒的数量为y盒，
乙种礼盒的成本为60÷（1+25%）=48元，
∴2a+2b+2c=48，
∵a=10，∴b+c=14，
∴甲种礼盒的成本为3a+b+c=3×10+14=44元，
∴甲种礼盒的售价为44×（1+50%）=66元，
∴（66-44）x+(60-48)y=（44x+48y），
解得x：y=6：11.
【分析】设销售甲种礼盒数量为x盒，乙种礼盒的数量为y盒，先求出乙种礼盒的成本为48元，可得2a+2b+2c=48，据此求出b+c的值，从而求出甲种礼盒的成本为3a+b+c=44元，即得得出甲礼盒的售价，根据甲礼盒的利润+乙礼盒的利润=利润率×成本，列出方程，从而求出x与y的比值即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
将①代入②，得：.
解得：
将代入①，得：
原方程组的解为；
（2）解：，
解：，得：，
解得
将代入①，得：，
解得.
原方程组的解为．
【解析】【分析】（1）把①代入②即可消去y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值解二元一次方程即可；
（2）根据消去m，求出n的值，然后把n的值代入①求出m的值解方程即可．
18．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
【答案】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意可列方程组，
解得，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米.
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意可列方程组，，
解得，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨.
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意列方程，，
解得 ，
答：卖出的食品每吨售价是元.
【解析】【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据题意列出方程组，解方程组即可求得 该食品厂到地，地的距离 ；
（2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，根据题意列出方程组，解方程组即可求得该食品厂买进原料及卖出食品的吨数 ；
（3）设卖出的食品每吨售价为元，根据题意列出方程，解方程即可求得卖出的食品每吨售价 ．
（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米．
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨．
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：卖出的食品每吨售价是元．
19．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表．
类型 载客量（人） 租金（元／辆）
型客车 45 250
型客车 60 320
（1）本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？
（2）若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？
【答案】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得：
，解得：；
答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆
（2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得：，
解得：，
∵均为正整数，
∴或或；
共3种租车方案：
方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）；
方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）；
方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）；
∵，
∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算．
【解析】【分析】本题主要考察二元一次方程组和方程的应用，解题要点包括：根据题意准确建立等量关系，正确列出方程组和方程。
(1) 设原计划租用型客车辆，学生总数为人。根据题意，当租用型客车时，有15名学生无座位；若改租型客车，可减少2辆车且仍有15个空座。结合两种客车的载客量，建立二元一次方程组求解；
(2) 设实际租用型客车辆，型客车辆。要求两种客车混租时座位恰好坐满，建立二元一次方程求解，再根据两种客车的租金方案比较最优选择。
（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得：
，解得：；
答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆；
（2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得：
，
解得：，
∵均为正整数，
∴或或；
共3种租车方案：
方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）；
方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）；
方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）；
∵，
∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算．
20．某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等．
（1）求足球的单价．
（2）该训练营需要购买30套队服和y（y＞10）个足球，甲乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：
商家 优惠方案
甲 每购买10套队服，送1个足球
乙 购买队服超过20套，则购买足球打8折
①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．
②请比较到哪个商家购买比较合算？
【答案】（1）设每个足球x元，每套队服y元，依题意得：
，
解得：
∴足球的单价为90元.
（2）解：①到甲商家购买装备所需费用：150×30+90（y﹣3）＝4230+90y，到乙商家购买装备所需费用：150×30+90×80%y＝4500+72y；
②当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，
当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，
当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．
【解析】【分析】（1）设每个足球x元，每套队服y元，由已知每套队服比每个足球多60元和三套队服与五个足球的费用相等．列两个方程，组成方程组，解出方程组即可得到答案.
（2）①先按照甲、乙两家的优惠方案算出各自的费用表达式.
②先根据两家所需费用相等时，列出方程，解方程。求出足球的个数。再根据比足球个数比15多和比15少两种情况实验即可得到需要购买多少个足球时到哪家购买比较合算.
21．规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程的“共轭二元一次方程”为_____________；
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得，整理可得，
，得，
，得，解得，
把代入，得，解得，
，，
∴“共轭方程组”的“共轭系数”为．
【解析】【解答】解：（1）∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程的共轭二元一次方程为，
故答案为：；
【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义写出即可；
（2）根据共轭二元一次方程的定义列出二元一次方程组，进而利用加减消元法求出a，b，再代入原方程组求解即可．
（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程的共辄二元一次方程为，
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
整理，得，
，得，
，得，解得，
把代入，得，解得，
，，
故此“共轭方程组”的“共轭系数”为．
22． 根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【答案】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则
，
解得：，
∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子．
（2）解：①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则
，
∴，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，
当时，费用为（元），
当时，费用为（元），
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，
此时费用为，
设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，
∴，
解得：，
∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：1张A卡纸作的小棋子数+1张B卡纸做的小旗子数=8；2张A卡纸作的小棋子数+3张B卡纸做的小旗子数=19；设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，列方程求解即可.
（2）①根据题意：A卡纸作的小棋子数+B卡纸作的小棋子数=60.设买x张A卡纸，y张B卡纸，根据题意赠送x张B卡纸，可得关于x，y的二元一次方程；再根据x和y为整数，计算出符合条件的解，再针对符合条件的解求出对应的采购并比较即可.
（2）②根据采购费用以及买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可知多买A，当买A卡纸16张时，花费64元，同时赠送16张B卡纸.设A卡纸张有张做小旗子，B卡纸张有张做小旗子，建立关于m，n的二元一次方程组，求得m和n的值，再计算对应作小灯笼和小旗子的数量即可.
23．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
【答案】（1）解：或
（2）解：若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：
解得：
把代入2x-2y+my+8=0中得：m=-4.
∴m的值为-4.
（3）解：关于x、y的二元一次方程组可整理为
①-②得：（3-m）y=14，
∴当m=3时，方程组无解
（4）解：∵2x-2y+my+8=2x+（m-2）y+8=0，
∴当y=0时，x=-4，
∴无论实数m取何值，方程总有一个固定的解为
【解析】【解答】解：（1）由方程2x+y-6=0得：2x=6-y.由题意得，x、y都是正整数，
∴y为偶数且6-y>0.
∴当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；
∴方程2x+y-6=0的正整数解为：
或
【分析】（1）先把由方程2x+y-6=0变形得：2x=6-y.再由题意得，x、y都是正整数，所以y为偶数且6-y>0.再逐步讨论：当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；即为所求.
（2）若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：解出方程组：再把代入2x-2y+my+8=0中即求出m的值.
（3）可整理为，①-②得：（3-m）y=14，所以只有当m=3时，方程组无解.（4）2x-2y+my+8=0可变形为2x+（m-2）y+8=0，所以只有当y=0时，x=-4时无论实数m取何值，方程才总有一个固定的解，这个固定的解为.
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