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不等式与不等式组 单元真题汇编培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a﹣b＜0 C．ab D．﹣4a＜﹣4b
2．若，则，那么a一定为（　　）
A． B． C． D．
3．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km，每增加1km加收2.4元（不足1km按1km计）．某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程为（　　）
A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km
4．不等式组 的整数解的和为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若不等式组 有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
7．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
8．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知整数k使得关于x、y的二元一次方程组 的解为正整数，且关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，则所有满足条件的k的和为（　　）
A．4 B．9 C．10 D．12
10．不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．不等式4x-3≤2x+1的非负整数解的和是 　 　．
12．临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽和肉粽共200袋，其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个.为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售，每袋 A 套装有小枣粽4个，豆沙粽2个；每袋B套装有小枣粽2个，肉粽2个.设购进的小枣粽有x袋，豆沙粽有y袋.
（1）购进的肉粽的个数为　 　个；(用含x，y的代数式表示)
（2）若购进肉粽的袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进　 　袋.
13．已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为　 　．
14．“x的 与x的和不大于5”可以用不等式表示为　 　．
15．不等式组 的整数解的和是　 　．
16．关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解不等式（组）：
（1）；
（2）．
18．已知关于x，y的方程组．
（1）用含m的代数式表示x，y；
（2）若方程组的解也满足方程2x＋3y＝1，求m的值；
（3）当a，b满足什么条件时，无论m取何值，ax＋by＋4－6a都是一个定值？并求出这个定值．
2a－3×(－4a)＋4＝4.
19．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
20．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
21． 在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，广西梧州某药店出售一批口罩.已知3包儿童口罩和2包成人口罩共有26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共有40个.
（1）求每包儿童口罩和每包成人口罩各有多少个
（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使所购口罩的总数量不低于26个，且不超过34个，
①有哪几种购买方案
②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，则哪种方案的总费用更少
22．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A、B联众型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）若，求的值；
（2）若x，y均为非负数，求的取值范围；
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不等式与不等式组 单元真题汇编培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a﹣b＜0 C．ab D．﹣4a＜﹣4b
【答案】B
【解析】【解答】A、不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向，则，此项不符合题意；
B、不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向，则，即，此项符合题意；
C、不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向，则，此项不符合题意；
D、不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，则，此项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
2．若，则，那么a一定为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴（不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式的符号改），
故选：D．
【分析】
根据不等式的性质之一不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式的符号改变，进行判断即可．
3．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km，每增加1km加收2.4元（不足1km按1km计）．某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程为（　　）
A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km
【答案】B
【解析】【解答】可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，
根据题意可知：（x-3）×2.4+7=19，
解得：x=8．
即此人从甲地到乙地经过的路程最多为8km．
故答案为：B
【分析】可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，由题意可得相等关系：起步价+超过3km的部分2.4=共支付的车费19元，根据不等关系列不等式即可求解。
4．不等式组 的整数解的和为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解析】【解答】 ，
∵解不等式①得：x＞0，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集是0＜x≤1，
∴不等式组的整数解是1，
故答案为：A.
【分析】先解不等式组求出此不等式组的解集，再从中找出整数解即可求出答案.
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解析】解：不等式组的解集为，
把解集在数轴上表示如下：
故答案为：．
【分析】根据不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）找到不等式组的解集，再根据解集在数轴上的表示方法求解即可．
6．若不等式组 有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，
由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，
∵不等式组：不等式组 有解，
∴a＞﹣2，
故选D．
【分析】先解不等式组，然后根据题意可得a＞﹣2，由此求得a的取值．
7．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点P（1-x，x-3）在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得1＜x＜3，
在数轴上表示为：
.
故答案为：D.
【分析】根据第三象限内的点，横坐标与纵坐标都是负数可列出不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
8．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式2x≤6，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
故选：C．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
9．已知整数k使得关于x、y的二元一次方程组 的解为正整数，且关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，则所有满足条件的k的和为（　　）
A．4 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：解方程组 得 ，
∵方程组的解为正整数，且k为整数，k-3为9的正因数，
∴ ，
∴k＝4，6；
解不等式组 得， ，
∵不等式组 有且仅有四个整数解，
∴ ，
∴3＜k≤6，
∴k＝4，5，6，
∴所有满足条件的k的和＝4+6＝10，
故答案为：C.
【分析】把k作为常数，解出方程组，根据方程组的解为正整数，且k为整数，故k-3为9的正因数，进而列出关于k的不等式组，求解得出其正整数解；然后将k作为常数，解出不等式组的解集，根据不等式组有且仅有四个整数解 ，即可列出关于k的不等式组，求出其正整数解即可，然后取出同时满足所有条件的k的正整数解，再算出其和即可。
10．不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．不等式4x-3≤2x+1的非负整数解的和是 　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：4x-3≤2x+1
移项，得：4x-2x≤1+3，
合并同类项，得：2x≤4，
系数化为1，得：x≤2，
∴不等式的非负整数解为0、1、2，
∴不等式的非负整数解的和为0+1+2＝3，
故答案为：3．
【分析】先求出不等式的解集，再求出其非负整数解，然后相加即可.
12．临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽和肉粽共200袋，其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个.为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售，每袋 A 套装有小枣粽4个，豆沙粽2个；每袋B套装有小枣粽2个，肉粽2个.设购进的小枣粽有x袋，豆沙粽有y袋.
（1）购进的肉粽的个数为　 　个；(用含x，y的代数式表示)
（2）若购进肉粽的袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进　 　袋.
【答案】（1）(400-2x-2y)
（2）40
【解析】【解答】解：(1) 由已知得， 购进的肉粽(200-x-y)袋， 肉粽每袋2个，
∴购进的肉粽2(200-x-y) = (400-2x-2y)个；
故答案为： (400-2x-2y)；
(2)设购进的小枣粽m袋，豆沙粽n袋，则购进的肉粽(200﹣m﹣n)袋，
∵小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个，
∴购进的小枣粽6m个，豆沙粽4n个，购进的肉粽2(200﹣m﹣n)个，
∵ A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个，
∴A套装包装了44n÷2=2n(套)，A套装需2n×4=8n(个)小枣粽，
∵ B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个，
∴ B套装包装了2(200-m-n)÷2=
(200-m-n)套， B套装需2(200-m-n)=(400-2m-2n)个小枣粽，
变形整理得：
∵肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的
解得n≤40，
∴豆沙粽最多购进40袋，
故答案为：40.
【分析】(1)由已知购进的肉粽((200-x-y)袋，故购进的肉粽为2(200-x-y)=(400-2x-2y)个；
(2)设购进的小枣粽m袋，豆沙粽n袋，则购进的肉粽(200-m-n)袋，则购进的小枣粽6m个，豆沙粽4n个，购进的肉粽2(200-m-n)个，根据A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个，B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个，可得8n+(400-2m-2n)=6m，即 又肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的 列不等式求出不等式的最大整数解解答即可.
13．已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∵关于的不等式有三个负整数解，
∴这三个负整数解是，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，先求出不等式的解集，再根据有三个负整数解可得关于的不等式，解不等式即可求解.
14．“x的 与x的和不大于5”可以用不等式表示为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
故答案为： ．
【分析】直接根据题意表示出 加x小于等于5，进而得出答案．
15．不等式组 的整数解的和是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解： ，
解①得x≤2，
解②得x＞﹣1，
则不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
则整数解是0，1，2．
整数解的和是3．
故答案是：3．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的公共部分就是不等式组的解集，确定解集中的整数解，然后求和即可．
16．关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：
解①得x≤a，
解②得x＞- a.
则不等式组的解集是- a＜x≤a.
∵不等式至少有5个整数解，则a+ a≥5，
解得a≥2.
a的最小值是2.
故答案为：2.
【分析】将a作为常数，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组的 解集中至少有5个整数解 ，从而根据大小小大中间找得出不等式组的解集，进而即可列出关于a的不等式，求解即可得出答案。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解不等式（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得，
∴不等式的解解集为；
（2）解：
解①得：
解②得：
∴不等式组得解集为．
【解析】【分析】（1）根据解不等式的解法：去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（2）先解得每个不等式的解集，再求得两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
18．已知关于x，y的方程组．
（1）用含m的代数式表示x，y；
（2）若方程组的解也满足方程2x＋3y＝1，求m的值；
（3）当a，b满足什么条件时，无论m取何值，ax＋by＋4－6a都是一个定值？并求出这个定值．
2a－3×(－4a)＋4＝4.
【答案】（1）解：
①＋②，得3x＝6m－18，解得x＝2m－6，
把x＝2m－6代入①，得2m－6－2y＝m，
解得y＝.
（2）解：由(1)得方程组的解为
因为方程组的解也满足方程2x＋3y＝1，
所以，
解得m＝4.
（3）解：将代入ax＋by＋4－6a中，得
，
因为无论m取何值，ax＋by＋4－6a都是一个定值，
所以，即b＝－4a，
此时定值为－12a－3×(－4a)＋4＝4.
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)将x、y的值代入方程2x+3y=1，即可求出m的值；
(3)将x、y的值代入ax+by+4-6a，令m的系数为0，即可求出a、b之间的关系及定值.
19．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】（1）解：设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得，
解得，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）解：设A型垃圾桶a个，
由题意可得∶，
解得：，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
【解析】【分析】 （1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
20．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】（1）解：设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）解：设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，
由题意得，
解得：．
为整数，
或25，
共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【解析】【分析】（1）设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，根据总价除以单价等于数量及“ 用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同 ”列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶(3y-5)件，根据“ 购进两种牛奶的总数不超过95件”列出不等式3y-5+y≤95；根据每件牛奶的利润×销售数量等于总利润及销售y件乙种牛奶的利润+销售(3y-5)件甲种牛奶的利润超过371元列出不等式(49-45)(3y-5)+(55-50)y＞371，联立两不等式，求出的整数解即可得出结论．
21． 在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，广西梧州某药店出售一批口罩.已知3包儿童口罩和2包成人口罩共有26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共有40个.
（1）求每包儿童口罩和每包成人口罩各有多少个
（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使所购口罩的总数量不低于26个，且不超过34个，
①有哪几种购买方案
②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，则哪种方案的总费用更少
【答案】（1）解：设每包儿童口罩有x个，每包成人口罩有y.
根据题意，得
解得 .
答：每包儿童口罩有2个，每包成人口罩有10个.
（2）解：①设购买儿童口罩m包，则购买成人口罩(5-m)包.
根据题意，得
解得2≤m≤3
∵m为整数，
∴ m=2或m=3
∴ 共有两种购买方案：
方案一：购买儿童口罩2包，购买成人口罩3包；
方案二：购买儿童口罩3包，购买成人口罩2包.
②方案一的总费用为：2×8+3×25=91(元)；
方案二的总费用为：3×8+2×25=74(元)
∵91 > 74，
∴ 方案二的总费用更少.
【解析】【分析】（1）根据儿童口罩+成人口罩=总口罩，列出二元一次方程组，解出即可；
（2）①设购买儿童口罩m包，则购买成人口罩(5-m)包列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，再求出整数解即可解决此题；
②算出每一种购买方案的费用，再比较大小即可.
22．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A、B联众型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400，解得：a=20，∵a≤10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
23．已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）若，求的值；
（2）若x，y均为非负数，求的取值范围；
【答案】（1）解：，
①+②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得：，
∵，均为非负数，
∴，，
即，
解得：．

【解析】【分析】
（1）通过联立方程组，消去变量x和y，直接建立关于m的方程求解；（2）先解方程组得到关于x和y的表达式，再根据x，y均为非负数建立不等式组，求出m的范围即可.
（1）解：，
①+②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得：，
∵，均为非负数，
∴，，
即，
解得：．
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