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第二十一章 四边形 单元模拟全优测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是边的中点，连接，若，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（　　）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
4．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G分别是边AB，BC，AD上的动点，且AE＝BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B′EF，连结BB′，B′G，GC，则当BB′最大时，B′G+GC的最小值为（　　）
A． ﹣2 B．5.6 C．2 D．3
5．如图，锐角三角形ABC中，BC>AB>AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线 ，作过C点且与AC垂直的直线，交 于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（　　）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
6．在四边形ABCD中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
7．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列正多边形中，可以单独镶嵌平面的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．20 B．16 C．34 D．25
9．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：
①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN＝．
其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第二象限内，边AD与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，反比例函数y=﹣ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的边长为　 　．
12．如图，E是正方形ABCD内一点，若 ABE是等边三角形，那么∠BCE=　 　。
13．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝4，CE＝1，则DE＝　 　．
14．如图在平行四边形中，如果，，的平分线交于点，交的延长线于点，则　 　．
15． 如图，中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 　 　．
16．如图，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中．运动过程中点到点的最大距离是 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
18．如图，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求四边形的周长．
19．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
20． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点．
（1） 求证： 是等腰直角三角形．
（2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形 请说明理由．
21． 如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，G恰好是的中点，求的长．
22．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
23． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长．
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第二十一章 四边形 单元模拟全优测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=BC，故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；对角线平分对角的平行四边形为菱形，依此分别判断即可.
2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是边的中点，连接，若，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 ∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，
又∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴OE是△DAB的中位线，
∴OE=AB，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∵AB+CD=12cm，
∴AB=6cm，
∴OE=AB=3cm，
故选：B．
【分析】先根据平行四边形的性质求出AB的长和说明点O是AC中点，再根据E是AD中点，从而得到OE是△ABD的中位线，最后再利用中位线的性质求解
3．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（　　）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
【答案】D
【解析】【解答】解：A、根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故A正确．
B，由矩形的性质可得：AD∥BC
∴∠EAC=∠FCA
∵∠AOE=∠COF
由作图可知：OA=OC
∴(ASA)
由A可知：
∵⊥
故B正确．
C、由B可知：AE=AF
在中，
故C正确．
D、
在中，
故D错误．
故选：D．
【分析】A、根据作图过程可得，是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得出结论
B、根据垂直平分线和矩形的性质先证明，可得AE=CF，再根据，得出等腰三角形AEF，再根据等腰三角形三线合一，得出结论
C、由B可知：AF=AE=5，再根据勾股定理求出AB的长即可
D、先求出AB的长，再根据勾股定理：求出AC的长即可.
4．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G分别是边AB，BC，AD上的动点，且AE＝BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B′EF，连结BB′，B′G，GC，则当BB′最大时，B′G+GC的最小值为（　　）
A． ﹣2 B．5.6 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解，如图，当四边形B′EBF为正方形时，BB′最大，
∴BE=BF，
∵AE=BF，
∴AE=BE，
∴E，F分别是边AB，BC上的中点，
过点B′作B′H⊥CD于点H，
则AE=BE=BF=B′H=CH= BC=2，
作C关于AD的对称点C′，连接B′C′，GC′，
∴CG= GC′，
∴B′G+GC= B′G+ GC′ B′C′，即B′G+GC的最小值为B′C′，
在Rt△B′C′H中，B′H =2，HC′=CC′-CH=8-2=6，
由勾股定理得：B′C′= ，
∴B′G+GC的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】当四边形B′EBF为正方形时，BB′最大，可得到BE=BF，由此可证得EA=BE，过点B′作B′H⊥CD于点H，可求出CH的长；作C关于AD的对称点C′，连接B′C′，GC′，可得到CG= GC′，利用三角形的三边关系定理可知B′G+GC的最小值为B′C′，利用勾股定理求出B′C′的长，即可求解.
5．如图，锐角三角形ABC中，BC>AB>AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线 ，作过C点且与AC垂直的直线，交 于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（　　）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】D
【解析】【解答】解：甲：如图1
∵AC=AP
∴∠APC=∠ACP
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°
∴甲错误；
乙：如图2，
∵AB⊥PB，AC⊥PC
∴∠ABP=∠ACP=90°
∵∠ABP+∠ACP+∠BPC+∠A=360°
∴∠BPC+∠A=180°
∴乙正确，
故答案为：D
【分析】根据甲乙两人的作图的作法，画出图形，由图1，利用等腰三角形的性质及平角的定义，可证得∠BPC+∠ACP=180°，可对甲的作法作出判断；由图2，利用垂直的定义及四边形的内角和定理，可证得∠BPC+∠A=180°，可对乙的作法作出判断，就可得出答案。
6．在四边形ABCD中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
若添加，则该四边形是矩形．
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定和矩形的判定结合对选项分析即可求解。
7．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列正多边形中，可以单独镶嵌平面的是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A．正五边形不能进行平面镶嵌，因为正五边形的每个内角为，的整数倍不等于；
B．正六边形能进行平面镶嵌，因为正六边形的每个内角为，；
C．正七边形不能进行平面镶嵌，因为正七边形的每个内角为 ，的整数倍不等于360°；
D．正七边形不能进行平面镶嵌，因为正七边形的每个内角为，的整数倍不等于．
故答案为：B．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断。
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．20 B．16 C．34 D．25
【答案】C
【解析】【解答】解：作 轴于 ．
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
正方形 的面积 ，
故答案为：C．
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
9．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①：∵DF⊥CE，
∴∠DCE+∠CDF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DCE=∠ADF，
∵正方形ABCD中：CA=DA，∠CDE=∠DAF=90°，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
故①正确；
②：∵△ADF≌△DCE
∴DE=AF，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠EAN=∠FAN，AN=AN，
∴△EAN≌△FAN（SAS），
∴NF=NE，
∵CE⊥DF，即∠NME=90°，
∴EN=NF＞MN，
故②错误；
③④：延长DF交CB延长线于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠G，
由前面所证可知F为AB的中点，
∴AF=BF，
又∵∠DAF=∠GBF，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD=BC，
∴点B是CG的中点，
又∵∠CMG=90°，
∴MB=BC=BG，故④正确；
∴∠G=∠BMG，
∴∠ADF=∠BMF，故③正确；
综上可知：①③④正确；
故答案为：C．
【分析】
根据正方形的性质，利用等角的余角相等得到 ∠DCE=∠ADF ；利用ASA判断△ADF≌△DCE即可判断①；通过全等的性质得到DE=AF，利用SAS证明△EAN≌△FAN得到NF=NE，再由∠NME=90°，即可得到EN=NF＞MN，即可判断②；延长DF交CB延长线于G，利用AAS证明△DAF≌△GBF，得到BG=AD=BC，即可判断③④．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：
①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN＝．
其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBF＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，故①符合题意；
②∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE，
∵∠GEC＝∠DBC＝∠ADB＝45°，
∴∠BMF＝∠FCB+∠DBC＝∠FCB+45°，
∵∠GEC＝∠DBC，
∴EG∥DB，
∵DG∥BE，
∴四边形DGEB是平行四边形，
∴BE＝DG，
在△FBC和△GDC中，
，
∴△FBC≌△GDC（SAS），
∴∠BCF＝∠DCG，
∴∠BFM＝∠FCD＝∠DCG+∠FCG＝∠BCF+∠FCG，
∴当且仅当∠FCG＝45°时，∠BFM＝∠BMF，故②不符合题意；
③∵GE∥BD，
∴∠FMB＝∠GFC，
∵△FBC≌△GDC，
∴CF＝CG，
∴∠GFC＝∠CGF，
∴∠FMB＝∠CGF，
∴∠CGF﹣∠BAE＝∠FMB﹣∠BCM＝∠MBC＝45°，故③符合题意；
④当∠BAE＝15°时，∠BCM＝∠GCD＝∠BAE＝15°，
∴∠FCG＝90°﹣∠BCM﹣∠GCD＝60°，
∵BD∥EG，
∴∠GFC＝∠NMC，∠FGC＝∠MNC，
∵∠GFC＝∠FGC，
∴∠NMC＝∠MNC，
∴CM＝CN，∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，
作CH⊥BD于点H，如图，
∴CH＝BD＝＝2，
∴CM＝×2＝，
∴MN＝CM＝，故④不符合题意．
所以其中符合题意有①③，2个．
故答案为：B．
【分析】①证明△ABE≌△CBF（SAS），可得AE＝CF；②先证四边形DGEB是平行四边形，再证△FBC≌△GDC（SAS），可得∠BCF＝∠DCG，当且仅当∠FCG＝45°时，∠BFM＝∠BMF，据此判断即可；③结合①②可证∠FMB＝∠CGF，从而得出∠CGF﹣∠BAE＝∠FMB﹣∠BCM＝∠MBC＝45°，据此判断即可；④当∠BAE＝15°时，∠BCM＝∠GCD＝∠BAE＝15°，可证△CMN是等边三角形，作CH⊥BD于点H，根据正方形的边长，即可求出MN的值，继而判断.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第二象限内，边AD与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，反比例函数y=﹣ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的边长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A、B分别作x轴、y轴的平行线AM、BN相交于点E，交x轴，y轴于点M、N，
∵A，B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，反比例函数y=﹣ 的图象经过A，B两点，
∴A（﹣3，1），B（﹣1，3），
∴AM=3，BN=3，EM=EN=1，
∴AE=BE=3﹣1=2，
在Rt△ABE中， ．
故答案为：
【分析】先求出A（﹣3，1），B（﹣1，3），再利用勾股定理计算求解即可。
12．如图，E是正方形ABCD内一点，若 ABE是等边三角形，那么∠BCE=　 　。
【答案】75
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△ABE是等边三角形 ，
∴∠ABE=60°，BE=AB，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，BE=BC，
∴∠BCE=（180°-30°）75°.
故答案为：75.
【分析】利用正方形及等边三角形的性质可得∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，BE=BC，根据等腰三角形及三角形内角和定理即可求出结论.
13．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝4，CE＝1，则DE＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AE＝4，CE＝1，
∴AC=AB=AE+CE=4+1=5，
∵AD、BE是等腰三角形ABC的高线，
∴∠AEB=∠BEC=90°，BD=CD，
在Rt△ABE中
；
在Rt△BEC中
；
在Rt△BEC中，DE是中线，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知求出AC，AB的长，利用三角形的高的定义和等腰三角形的性质可证得∠AEB=∠BEC=90°，BD=CD；在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，在Rt△BEC中，利用勾股定理求出EC的长；然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DE的长.
14．如图在平行四边形中，如果，，的平分线交于点，交的延长线于点，则　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD=5，AD=BC=9，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABF=∠F，根据角平分线的概念可得∠ABF=∠CBF，则∩CBF=∠F，推出BC=CF=9，然后根据DF=CF-CD进行计算.
15． 如图，中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 　 　．
【答案】61°
【解析】【解答】解：∵ 是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADC+∠C=180°
∵ ∠ADC＝119°∴∠C=180°-119°=61°
∵BE⊥DC，DF⊥BC
∴∠BFH=∠BEC=90°
∴∠C+∠CBE=90°，∠BHF+∠CBE=90°
∴∠BHF=∠C=61°
故答案为：61°.
【分析】先利用平行四边形性质对边平行求出所有的内角角度，再利用直角三角形两锐角互余求出答案.
16．如图，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中．运动过程中点到点的最大距离是 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：取线段的中点，连接，
∵，点是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴当点，点，点共线时，的长度最大，
∴点到点的最大距离，
故答案为：．
【分析】取线段的中点，连接，先利用矩形的性质可得，利用勾股定理求出，再求出当点，点，点共线时，的长度最大，从而可得点到点的最大距离.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
18．如图，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴；
同理可得，
∵，
∴四边形的周长．
【解析】【分析】
（1）由三角形中位线定理证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）先利用勾股定理得到，再由三角形中位线定理得到，，由此根据四边形周长计算公式求解即可．
19．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
20． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点．
（1） 求证： 是等腰直角三角形．
（2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形 请说明理由．
【答案】（1）解：连接AD，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，
∵∠BDP＋∠ADP＝90°
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，
又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP＝AP＝AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
【解析】【分析】（1）连接AD，先利用“SAS”证出△BPD≌△AQD，可得PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，再利用角的运算和等量代换可得∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，即可证出△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，先证出△ABD是等腰直角三角形，再证出四边形APDQ为矩形，最后结合DP＝AP＝AB，即可证出矩形APDQ为正方形.
21． 如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，G恰好是的中点，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
；
（2）解：连接如图：
由(1)得∶，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
，
，
在中：，
，
．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质说明OB=OD，结合EF=BE，说明OE是中位线，可说明DE//AC；
（2）先利用AAS证明，再利用全等三角形的性质说明DF=CE，就可说明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质，得到AB=CD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形得四边形DECF是矩形，利用矩形的性质，求得，结合勾股定理求出EF，进而可得DF的长.
22．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）证明：．
．
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
（2）解：四边形是菱形．
理由是：为中点，
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，为中点，
，
平行四边形是菱形．
（3）解：当时，四边形是正方形．
理由是：，，
，
．
为中点，
，
，
四边形是菱形，
菱形是正方形，
即当时，四边形是正方形．
【解析】【分析】（1）根据垂直先求出∠DFB=90°，再根据平行线的判定方法求出CE//AD，最后根据平行四边形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据线段的中点求出AD=BD，再根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（3）根据题意先求出， 再求出 ， 最后根据正方形的判定方法证明求解即可。
23． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
（2）如图，

【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，依据ASA判定△OAM≌△OBN即可推出OM=ON；
（2）根据正方形的性质求出OH=HA=2，根据勾股定理可得OM，进而求得MN.
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