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第9章 因式分解 单元全真模拟培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（　　）
A．a（4﹣y2）=4a﹣ay2 B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣（2x﹣3y）2
C．x2+3x﹣1=x（x+3）﹣1 D．x2+y2=（x+y）2﹣2xy
3．已知a，b，c为△ABC三边，且满足，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
4．下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（　　）
A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1
5．设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（　　）
A．121 B．210 C．335 D．505
6．下面分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列各式由左到右变形中，是因式分解的是（　　）
A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4
C．10x2-5x=5x(2x-1) D．x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
8．课堂练习中，王莉同学做了如下4道因式分解题，你认为王莉做得不够完整的一道是(　　)
A． B．
C． D．
9．已知，，，则代数式的值为（　　）
A．4 B．10 C．8 D．6
10．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法：
① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式4x2－(y－2)2＝　 　.
12．如果，，那么　 　.
13．已知是的一个因式，则　 　．
14．如果是的一个因式，则的值是　 　.
15．分解因式：x2﹣2x﹣15=　 　
16．分解因式　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．利用因式分解计算：
（1）21×3.14+62×3.14+17×3.14；
（2）7582-2582．
18．分解因式：
（1）
（2）
19．已知(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)可因式分解成(ax+b)(11x+c)，其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值.
20．设．
（1）当n=1时，求A的值；
（2）当n为整数时，求证：A是8的倍数．
21．已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
22．分解因式（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
23．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（ 1 ）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得 ，解得 ，∴
解法二：设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取 ，
2× ＝0，故 ．
（ 2 ）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
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第9章 因式分解 单元全真模拟培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，A不符合题意；
B、 ，B不符合题意；
C、 ，C不符合题意；
D、 无法因式分解，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义对各选项进行判断即可得到结果.
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（　　）
A．a（4﹣y2）=4a﹣ay2 B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣（2x﹣3y）2
C．x2+3x﹣1=x（x+3）﹣1 D．x2+y2=（x+y）2﹣2xy
【答案】B
【解析】【解答】解：A、属于整式乘法运算，不属于因式分解；
B、﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣（2x﹣3y）2，属于因式分解；
C、右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；
D、右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”一一判断可得答案.
3．已知a，b，c为△ABC三边，且满足，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴（a-b）b=c（a-b），
∴（b-c）（a-b）=0，
∴b-c=0或a-b=0，
∴b=c或a=b，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法将原式变形为（b-c）（a-b）=0，可得b=c或a=b，从而可证出△ABC是等腰三角形.
4．下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（　　）
A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a﹣1不能分解，不符合题意；
B、原式=（a+1）（a﹣1），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选B
【分析】利用因式分解的方法判断即可．
5．设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（　　）
A．121 B．210 C．335 D．505
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：原式：
为三个连续的正整数的积，
可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
是一个偶数. 而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵
故答案为：B.
【分析】代数式 因式分解可得 ，则代数式表示三个连续正整数的积.据此分析即可.
6．下面分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可判断A、C、D；根据平方差公式可判断B.
7．下列各式由左到右变形中，是因式分解的是（　　）
A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4
C．10x2-5x=5x(2x-1) D．x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
【答案】C
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，故A不符合题意；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B不符合题意；
C、提公因式法，故C符合题意；
D、右边不是积的形式，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】因式分解是把多项式分解成几个因式的乘积的形式，可排除A、B、D，即可得出正确的选项。
8．课堂练习中，王莉同学做了如下4道因式分解题，你认为王莉做得不够完整的一道是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵，分解不彻底还可以继续分解，∴A符合题意；
B、∵，正确，∴B不符合题意；
C、∵，正确，∴C不符合题意；
D、∵，正确，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）分析求解即可.
9．已知，，，则代数式的值为（　　）
A．4 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用整式的加减法先算出a-b，a-c及b-c的值，进而将待求式子前三项拆项后分为三组，每组利用完全平方公式分解因式，然后整体代入计算即可.
10．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法：
① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是2的最佳分解，
∴ ，即①正确；
∵ ， ， ， ， ，
∴ 是48的最佳分解，
∴ ，即②错误；
∵ ，
∴ ，即③正确；
若 是一个完全平方数，则设 （ 是正整数），
∴ ，即④正确；
综上所述，①③④正确，共三个，
故答案为：B.
【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式4x2－(y－2)2＝　 　.
【答案】(2x＋y－2)(2x－y＋2)
【解析】【解答】解：原式=（2x+y-2）（2x-y+2）。
故答案是：（2x+y-2）（2x-y+2）。
【分析】利用平方差公式直接分解因式即可。
12．如果，，那么　 　.
【答案】-900
【解析】【解答】解：原式=
∵，
∴原式=
故答案为：-900.
【分析】首先将待求式子利用平方差公式分解因式，然后括号内分别合并同类项，进而整体代入按有理数的乘法法则算出答案.
13．已知是的一个因式，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：kx2+x+12=（x+3）（kx+4），得
kx2+x+12=kx2+（3k+4）x+12
3k+4=1
k= 1
故答案为： 1．
【分析】根据整式的乘法与整式除法的关系，可得另一个因式，根据两个因式的常数项的乘积等于多项式的常数项，可得答案．
14．如果是的一个因式，则的值是　 　.
【答案】-1
【解析】【解答】解：由题意可得：
当x=2时，=4a-2b+2=0
解得：2a-b=-1
故答案为：-1
【分析】由题意可得x=2是=0的一个解，代入方程化简即可求出答案.
15．分解因式：x2﹣2x﹣15=　 　
【答案】（x﹣5）（x+3）
【解析】【解答】解：原式=（x﹣5）（x+3）．
故答案为：（x﹣5）（x+3）．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
16．分解因式　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：．
【分析】利用分组分解和十字相乘法因式分解解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．利用因式分解计算：
（1）21×3.14+62×3.14+17×3.14；
（2）7582-2582．
【答案】（1）解：原式=3.14×（21+62+17）=3.14×100=314
（2）解：原式=（758+258）（758-258）=508000
【解析】【分析】（1）观察可知，每一项都含有公因数3.14，利用提取公因数，再进行计算可求出结果.
（2）利用平方差公式先分解因数，再进行计算.
18．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
=
= ．
【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算求解即可。
19．已知(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)可因式分解成(ax+b)(11x+c)，其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值.
【答案】解：∵ (10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)
= (10x-11)(11x-7)+3x(11x-7)
=(13x-11)(11x-7)
= (ax+b)(11x+c) ，
∴a=13，b=-11，c=-7，
∴ a+b+c=13-11-7=-5.
【解析】【分析】由于(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x) =(13x-11)(11x-7)= (ax+b)(11x+c) ，根据对应系数相等可求出a、b、c的值，然后代入计算即可.
20．设．
（1）当n=1时，求A的值；
（2）当n为整数时，求证：A是8的倍数．
【答案】（1）解：当n=1时，
（2）解：
=8n
∵n为整数，
∴8n是8的倍数，
因此A是8的倍数．
【解析】【分析】（1）将n＝1代入原式中计算即可；
（2）将原式利用完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项，判断是否是8的倍数即可．
21．已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
22．分解因式（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）；
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【答案】解：（1）原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）=（x﹣y）（a+b）．（2）原式=（a2+b2）2﹣（2ab）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）=（a+b）2（a﹣b）2．
【解析】【分析】（1）提取公因式（x﹣y）后整理即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
23．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（ 1 ）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得 ，解得 ，∴
解法二：设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取 ，
2× ＝0，故 ．
（ 2 ）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①，
取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②，
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
【解析】【分析】（1）根据因式分解的定义，设 2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 根据多项式的乘法法则，将等式的右边展开再合并同类项，按三次项，二次项，一次项，常数项依次排列，再与等式的左边进行比较即可得出答案； 设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式） 根据恒等式的性质，又为了方便计算，采用取特殊值的方法代入计算即可得出答案；
（2） 设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 仿照（1）中的第二种解法，分别取特殊值x=1，与x=2代入代数式即可得出两个关于m，n的方程，求解即可得出答案。
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