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分式 单元同步真题检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算 的结果为（　　）
A．1 B．3 C． D．
2．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2或-1 B．0 C．2 D．-1
3．分式方程 的解是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．-2
4．已知x=2是分式方程 的解，那么实数k的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
5．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于y轴的对称点在第四象限内，且a为整数，则关于x的分式方程 + =2的解是（　　）
A．3 B．1 C．5 D．不能确定
6．若，其中，则下列分式的值一定比的值大的是（　　）
A． B． C． D．
7．如M={1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x，1，2}，我们说M=N.已知集合A={1，0，a}，集合B=若A=B，则b-a的值是(　　).
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．已知关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．－1
9．若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（　　）
A．2 B．3 C． D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．化简：（1　 　．
12．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号 表示a、b中较大的数，如： ，按照这个规定：方程 的解为　 　．
13．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足的条件是　 　 ．
14．，和的最简公分母是　 　.
15．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，铺设后，为加快工期，后来每天的工效比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．如果设原计划每天铺设管道，那么可列方程为　 　．
16．若 ，则 的值为　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．化简： .
18． 已知.
（1）若与互为相反数，求的值.
（2）若与的值相等，求的值.
19．某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案．
20．定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2．
（1）已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”；
（2）已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2．
①求所代表的整式；
②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值．
21． 某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元．
（1）求机器狗和无人机的采购单价．
（2）满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量．
（3）若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高．
22．一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min到达目的地，设第一小时行驶的速度为 x(km/h).
（1）直接用含 x的代数式表示提速后走完剩余路程的时间为　 　h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以m(km/h) 的 速 度 行 驶，另 一 半 路 程以n(km/h)的速度行驶(m≠n)，而朋友提醒他说一半时间以m(km/h)的速度行驶，另一半时间以 n(km/h)的速度行驶更快，你觉得司机的朋友说的对吗 请说明理由.
23．探索规律：
（1）尝试直接写出计算结果：
=　 　。
（2）由(1)的计算过程知， 可变形为　 　。
运用规律：
（3）解方程：
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分式 单元同步真题检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算 的结果为（　　）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】原式= .
故答案为：C．
【分析】根据同分母分式的减法法则，分母不变，把分子相减，分子再合并同类项即可得出最简结果。
2．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2或-1 B．0 C．2 D．-1
【答案】C
【解析】【解答】解：要使分式的值为0 ，
则满足x-2=0且x+1≠0，
解得x=2.
故答案为：C.
【分析】分式的值为0，则分子等于0且分母不为0，据此列出混合组，求解即可.
3．分式方程 的解是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．-2
【答案】B
【解析】【解答】解：去分母得： ，
移项、合并得： 2x=4 ，
解得： x=2 ，
经检验 x=2 是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】各项乘以 去分母，然后移项合并，即可求出方程的解.
4．已知x=2是分式方程 的解，那么实数k的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【解析】【解答】解 ：∵x=2是分式方程的解，∴ ，解得：k=2
故答案为：A
【分析】根据方程解得定义，将x=2代入原方程，从而将原方程，转化为关于k的一元一次方程，求解即可得出k的值。
5．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于y轴的对称点在第四象限内，且a为整数，则关于x的分式方程 + =2的解是（　　）
A．3 B．1 C．5 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于y轴的对称点在第四象限内，且a为整数，
∴ ，即 ＜a＜2，
∴a=1，
代入分式方程得： + =2，
去分母得：x+1=2x﹣2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故选A
【分析】根据P点在第四象限及a为整数，确定出a的值，代入分式方程计算即可求出解．
6．若，其中，则下列分式的值一定比的值大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再逐项判断即可。
7．如M={1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x，1，2}，我们说M=N.已知集合A={1，0，a}，集合B=若A=B，则b-a的值是(　　).
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ A=B，
∴两个集合内的元素相同，
∵a≠0，
∴都不可能等于0，
∴，
∴b=0，
当时：a=1，，不符合题意，
∴，=1，且
解得：a=-1，
∴b-a=0-（-1）=1.
故答案为：C。
【分析】首先根据A=B，可得出b=0，进而根据集合元素的互异性，可得出a=-1，进一步即可得出b-a=0-（-1）=1.
8．已知关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．－1
【答案】A
【解析】【解答】解：方程两边同乘x-2，得3x-x+2=m+3，
∴x=，
∵原分式方程有增根，
∴=2，
∴m=3.
故答案为：A.
【分析】解分式方程得出x=，根据原分式方程有增根，得出=2，即可得出m的值.
9．若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，，，，
联立，
得，
∴原式
．
故答案为：A．
【分析】由已知条件得出，，，，然后计算得到，再代入计算解题．
10．若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（　　）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．化简：（1　 　．
【答案】．
【解析】【解答】解：(1+)÷
=
=
=，
故答案为：.
【分析】先将括号中两项通分相加，同时利用除法法则变形，再对分子分母因式分解，最后约分即可得到结果．
12．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号 表示a、b中较大的数，如： ，按照这个规定：方程 的解为　 　．
【答案】 或
【解析】【解答】当 ，即 时，方程变形为 ，
去分母得： ，
解得： ，
此时 ，
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 ，方程变形为 ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
综上，x的值为 或 ，
故答案为 或
【分析】根据题干提供的信息，分当 ，即 时与当 ，即 ，两种情况，列出方程，解分式方程，再检验即可得出答案.
13．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足的条件是　 　 ．
【答案】n≤
【解析】【解答】解：设进价为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
解得：n≤；
故答案为：n≤．
【分析】设进价为a元，根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．
14．，和的最简公分母是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6，
三个分式的最简公分母为.
故答案为：.
【分析】最简公分母：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
15．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，铺设后，为加快工期，后来每天的工效比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．如果设原计划每天铺设管道，那么可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵设原计划每天铺设xm管道，则后来每天铺设（1+20％）xm管道，
∴可列方程为
故答案为：.
【分析】根据工作总量除以工作效率等于工作时间，由前120米的铺设天数+后180米的铺设天数=30列出方程即可.
16．若 ，则 的值为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
将 代入 中，
∴原式
故答案为： .
【分析】将已知条件变形成代入到 中，逐步降低x的次数，最后同时除以公因式约分，即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．化简： .
【答案】解：原式
.
【解析】【分析】先通分计算括号内的分式加法，再将分式的除法转变为乘法，约分即可得出答案.
18． 已知.
（1）若与互为相反数，求的值.
（2）若与的值相等，求的值.
【答案】（1）解：由题意，得，
解得，经检验是分式方程的解，即的值是
（2）解：由题意，得，解得，
经检验是原方程的解，即的值是3
【解析】【分析】（1）由互为相反数的和为0建立方程并解之即可；
（2）由A=B建立方程并解之即可.
19．某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案．
【答案】（1）解：设篮球的单价为a元，则足球的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元
（2）解：由题意得，，
∵足球的数量不能多于篮球数量的，
∴，
∴，
∵两种球都要购买，
∴，且x为整数
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为a元，可表示出足球的单价，再根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同，可得到关于a的方程，解方程即可.
（2）利用已知条件可得到y关于x的函数解析式，根据足球的数量不能多于篮球数量的，可得到x的不等式，根据题意求出x的取值范围，再利用一次函数的性质可求出结果.
20．定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2．
（1）已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”；
（2）已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2．
①求所代表的整式；
②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值．
【答案】（1）解：
，
根据题目中对于“差常分式”的定义，
，且为正数，
是的“差常分式”，且关于的“差常值”是；
（2）是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2，，即，
等式两边同时乘以得：，
移项，整理得：；
所代表的整式为：．
②，，
【解析】【解答】（2），
为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，
或或，
解得：或或，
满足条件的的值为：，，．
故答案为：，，.
【分析】
（1）理解题中“差常分式”的定义，化简计算的值，看计算结果是否是常数且为正数，即可判断；
（2）①根据“差常分式”的定义，列出等式，将等式去分母，移项化简即可求出所代表的整式 ；②把①中求得代入的式子中得：，则因为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，故有：或或，即可得解．
（1）
，
根据题目中对于“差常分式”的定义，
，且为正数，
是的“差常分式”，且关于的“差常值”是；
（2）是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2，
，即，
等式两边同时乘以得：，
移项，整理得：；
所代表的整式为：．
，
为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，
或或，
解得：或或，
满足条件的的值为：，，．
21． 某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元．
（1）求机器狗和无人机的采购单价．
（2）满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量．
（3）若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高．
【答案】（1）解：设机器狗的采购单价是x万元，无人机的采购单价是y万元，
根据题意得，，解得．
答：机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元
（2）解：设无人机的单次最高载货量为m kg，则机器狗的单次最高载货量为（m+25）kg，
根据题意得，，
解得：m=15，
经检验，m=15是原方程的解，且符合题意，
∴m+25=15+25=40（kg）．
答：机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg
（3）解：设采购a只机器狗，b台无人机，由题意可得，12a+10b=160，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴共有2种采购方案，
方案1：采购5只机器狗，10台无人机，单次载货总量为40×5+15×10=350（kg）；
方案2：采购10只机器狗，4台无人机，单次载货总量为40×10+15×4=460（kg）．
∵350＜460，
∴方案2的单次载货总量最高．
答：共有2种采购方案，方案1：采购5只机器狗，10台无人机；方案2：采购10只机器狗，4台无人机，方案2的单次载货总量最高．
【解析】【分析】（1）设机器狗的采购单价是x万元，无人机的采购单价是y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）设无人机的单次最高载货量为m kg，则机器狗的单次最高载货量为（m+25）kg，根据运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同，可列出关于m的分式方程，解方程检验后可得出m的值（即无人机的单次最高载货量），将其代入（m+25）中，即可求出机器狗的单次最高载货量；
（3）设采购a只机器狗，b台无人机，根据题意可得到关于a，b的二元一次方程，考虑到a，b均为正整数，分析可得出各采购方案，通过计算比较各方案的单次载货总量，即可得出结论．
22．一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min到达目的地，设第一小时行驶的速度为 x(km/h).
（1）直接用含 x的代数式表示提速后走完剩余路程的时间为　 　h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以m(km/h) 的 速 度 行 驶，另 一 半 路 程以n(km/h)的速度行驶(m≠n)，而朋友提醒他说一半时间以m(km/h)的速度行驶，另一半时间以 n(km/h)的速度行驶更快，你觉得司机的朋友说的对吗 请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：由题意得，
解得x=60，
经经验x=60是原方程的根，且符合题意，
∴ 汽车实际走完全程所花的时间为：(h)；
（3）解：司机的朋友说的对，理由如下：
按照司机的方案所需时间为(h)；
按照司机朋友的方案所需时间为(h)；
∵m、n都是正数，且m≠n，
∴(m-n)2＞0，mn(m+n)＞0，
∴，
∴司机朋友的方案更快.
【解析】【解答】解：（1） 提速后走完剩余路程的时间为(h)；
故答案为：；
【分析】（1）根据时间=路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；
（2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入()中即可求出结论；
（3）利用时间=路程÷速度，分别找出按照司机及朋友的方案所需时间，比较(做差)后即可得结论.
23．探索规律：
（1）尝试直接写出计算结果：
=　 　。
（2）由(1)的计算过程知， 可变形为　 　。
运用规律：
（3）解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）解： .
→.
→
→
方程两边同时乘以，有
去括号，得.
合并同类项，x系数化为1，解得.
检验：观察原方程分母特点可知，将，分母均为正数.
故是原方程的解
【解析】【分析】（1）观察通项，故 .中间项抵消后，结果为；
（2）若尝试将拆分成与之差，可发现实际结果为，那么需要再乘以，才可以使结果变为；
（3）结合前两小问的思路，先化简方程左边，然后运用去分母法解分式方程并检验即可.
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