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第3章 整式的乘除 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．计算a2 a3的结果是（　　）
A．5a B．a5 C．a6 D．a8
3．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若，，则的结果是（　　）
A．10 B．18 C．20 D．25
6．已知 ，其中☆代表一个常数，则☆的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列计算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列各式可以用平方差公式分解因式的是（　　）
A．-m2n2+1； B．-m2n2-1； C．m2n2+1； D．(mn+1)2；
9．若 ， ，则 的值是（　　）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
10．已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知实数a、b满足a-b=3，ab=2，则a +b 的值为 　 　。
12．已知10x＝7，10y＝21，则10x-y＝　 　．
13．计算： ＝　 　．
14．若 ， ，则 　 　.
15．一个氧原子的质量为2.657×10﹣26kg，请用小数表示出来　 　 kg．
16．已知 ，则分式 　 　。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：
（1），其中，．
（2），其中，．
18．计算：
（1）（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+（﹣2）2
（2）a a3 （﹣a2）3．
19．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
20．根据已知条件求值.
（1）已知，，求的值.
（2）已知，求的值.
21．已知nx2，且A-2B的值与x的取值无关．
（1）求m，n的值．
（2）求式子(3m+n)-(2m-n)的值．
22．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
（1）当时，大长方形的面积为__________；
（2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：__________；阴影A的面积：__________；阴影B的周长__________；
（3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关．
23．如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）
（1）写出并计算两个长方形的面积，，并比较，的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值
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第3章 整式的乘除 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(a+2)(a-2)=a2-4，故此选项计算正确，符合题意；
C、(-3a2b)2=9a4b2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项：把多项式中得同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
B、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
C、积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
D、完全平方公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍.
熟记相关运算法则是解题的关键
2．计算a2 a3的结果是（　　）
A．5a B．a5 C．a6 D．a8
【答案】B
【解析】【解答】解：a2 a3=a5．
故选B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am an=am+n．
3．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
【答案】A
【解析】【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、x4和x2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、原计算错误，故该选项不符合题意；
C、正确，故该选项符合题意；
D、原计算错误，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方逐项判断即可。
5．若，，则的结果是（　　）
A．10 B．18 C．20 D．25
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2023m=10，2023n=5，
∴20232m-n=20232m÷2023n=（2023m）2÷2023n=102÷5=100÷5=20.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂相除的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知当指数相减时，我们也可以把它们写成同底数幂相减的形式，即20232m-n=20232m÷2023n，然后把20232m根据幂的乘方的逆运算，把20232m写成（2023m）2的形式，最后把2023m=10，2023n=5直接代入，计算出结果即可.
6．已知 ，其中☆代表一个常数，则☆的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：设☆为y
∵
∴x2+xy-5x-5y=x2-2x-15
∴-5y=-15
解之：y=3，
∴☆的值为3.
故答案为：C.
【分析】设☆为y，利用多项式乘以多项式的法则，将方程左边展开，再根据对应项相等，可得到关于y的方程，解方程求出y的值.
7．下列计算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、立方根和平方根的性质逐项判断即可。
8．下列各式可以用平方差公式分解因式的是（　　）
A．-m2n2+1； B．-m2n2-1； C．m2n2+1； D．(mn+1)2；
【答案】A
【解析】【解答】解：A.-m2n2+1，有两项平方项，符号相反，故可用平方差公式进行因式分解，符合题意；
B.-m2n2-1，有两项平方项，符号相同，故不可用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
C.m2n2+1，有两项平方项，符号相同，故不可用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
D.(mn+1)2，为完全平方式，故错误，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】如果一个二项式满足：每一项都能写成一个整式的完全平方，且它们的符号相反，那么这个二项式就能利用平方差公式进行因式分解，从而一一判断得出答案。
9．若 ， ，则 的值是（　　）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式分解因式进而求解即可．
10．已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，符合题意；
②当时，，
解得：，符合题意；
③当x=-1时，，
解得：，不符合题意
∴k的值为0，1，
综上所述，正确的说法有②③，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知实数a、b满足a-b=3，ab=2，则a +b 的值为 　 　。
【答案】13
【解析】【解答】解：∵ a-b=3，∴（a-b）2=9，∴ a -2ab+b =9,又∵ ab=2 ∴ a +b =13.
故答案为：13.
【分析】根据等式的性质，将等式的两边同时平方后再根据利用完全平方公式展开即可解决问题.
12．已知10x＝7，10y＝21，则10x-y＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：10x-y=10x÷10y==；
故答案为：.
【分析】根据题意，利用同底数幂的除法运算求解。
13．计算： ＝　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：原式＝
＝10﹣1
＝9．
故答案为：9．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
14．若 ， ，则 　 　.
【答案】20
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为：20.
【分析】根据同底数幂除法、幂的乘方的性质的逆用，将代数式变形后整体代入即可得到答案.
15．一个氧原子的质量为2.657×10﹣26kg，请用小数表示出来　 　 kg．
【答案】0.00000000000000000000000002657
【解析】【解答】解：一个氧原子的质量为2.657×10﹣26kg，请用小数表示出来0.00000000000000000000000002657kg，
故答案为：0.00000000000000000000000002657kg．
【分析】根据科学记数法还原成原数，n是﹣几，小数点向左移动几位，可得答案．
16．已知 ，则分式 　 　。
【答案】7
【解析】【解答】 = =7．故答案为：7．
【分析】完全平方公式：=+2ab+，可变形为+=-2ab，于是有： +=-2，再整体代换即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：
（1），其中，．
（2），其中，．
【答案】（1）解：原式
，
将，代入得：
原式
=29．
（2）解：原式
将，代入得：
原式
=-33．
【解析】【分析】（1）根据整式的乘法进行去括号，然后合并同类项计算化简，再将值代入计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，再将值代入计算即可．
18．计算：
（1）（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+（﹣2）2
（2）a a3 （﹣a2）3．
【答案】解：（1）（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+（﹣2）2
=4+1+4
=9；
（2）a a3 （﹣a2）3
=a a3 （﹣a6）
=﹣a10．
【解析】【分析】（1）一个数的负整数指数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数；任何不等于0的数的0次幂都等于1；
（2）根据同底数幂的乘法计算．
19．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【答案】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝b(2b-a)=2b2-ab；
（2）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
【解析】【分析】（1）由S1=边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积并结合正方形面积公式列式表示即可；由S2=长为b、宽为2b-a的长方形面积并结合长方形面积公式列式表示即可；
（2）先根据整式加法法则求出S1+S2 =a2+b2﹣ab ，再利用完全平方公式变形为（a+b）2﹣3ab，从而整体代入计算可得答案；
（3）先根据S3= 边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积-直角边为b、a+b的直角三角形面积-直角边a的等腰直角三角形的面积列式表示出S3，再整体代入计算可得答案.
20．根据已知条件求值.
（1）已知，，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，计算求解即可；
（2）根据幂的乘方与同底数幂乘法运算法则，计算求解即可．
21．已知nx2，且A-2B的值与x的取值无关．
（1）求m，n的值．
（2）求式子(3m+n)-(2m-n)的值．
【答案】（1）解：因为所以
因为A-2B的值与x的取值无关，
所以4+2n=0，m-6=0，
所以n=-2，m=6．
（2）解：(3m+n)-(2m-n)
=3m+n-2m+n
=m+2n，
因为n=-2，m=6，
所以原式=6+2×(-2)=2．
【解析】【分析】（1）先将A=4x2mx+2，B=3x-2y+1-nx2代入A -2B中，再根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后根据A-2B的值与x的取值无关 即可求解；
（2）先将3m+n)-(2m-n)根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将（1）中的m、n的值代入即可求解.
22．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
（1）当时，大长方形的面积为__________；
（2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：__________；阴影A的面积：__________；阴影B的周长__________；
（3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关．
【答案】（1）130；
（2）；；；
（3）解：阴影A的周长为：，
∴和为，
∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关．
【解析】【解答】（1）解：∵m=5，n=2，
∴大长方形的长为m+4n=5+4×2=13，
大长方形的面积，10×13=130，
故答案为：；
（2）大长方形的长为：，
阴影A的面积为：，
阴影B的周长：，
故答案为：，，；
【分析】（1）结合图形可得大长方形的长为：m+4n，然后代入m、n的值算出大长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可；
（2）结合图形可得大长方形的长为：m+4n，阴影A的长为m，宽为：10-3n，阴影B的长为4n，宽为：10-m，根据长方形面积公式得出阴影A的面积，长方形的周长公式阴影B的周长；
（3）求出阴影A的周长，再根据整式加法法则求出阴影A和阴影B的周长和即可得出结论．
（1）解：大长方形的面积为，
故答案为：；
（2）大长方形的长为，
阴影A的面积为，
阴影B的周长，
故答案为：，，；
（3）解：阴影A的周长为，
∴和为，
∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关．
23．如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）
（1）写出并计算两个长方形的面积，，并比较，的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值
【答案】（1）解：∵，
，
∴，
∴；
（2）解：该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数，理由如下：
∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，
∴正方形的边长为m＋8，
∴正方形的面积，
∴
＝25，
∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；
（3）解：由（1）得，，
∴当19＜4m＋4≤20时，
∴，
∵m为正整数，
m＝4.
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，计算可得 S1，S2 ，再利用作差法比大小，即可得解；
（2）由题意得，正方形的边长为m＋8，根据正方形面积公式计算，最后求出两个图形的面积差可得答案；
（3）由（1）得，，由题意得19＜4m＋4≤20，计算求解即可．
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