资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
因式分解 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．多项式 中，各项的公因式是（　　）
A． B． C． D．
2．因式分解x3﹣2x2+x正确的是（　　）
A．（x﹣1）2 B．x （x﹣1）2
C．x（ x2﹣2x+1） D．x （x+1）2
3．多项式x2﹣mxy+9y2能用完全平方因式分解，则m的值是（　　）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
4．若多项式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k值是（　　）
A．10 B．±10 C．5 D．±5
5．下列各因式分解正确的是（　　）
A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+2x-1=（x-1）2
C．4x2-4x+1=（2x-1）2 D．x2-4x=2（x+2）（x-2）
6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列变形，属于因式分解的有（　　）
①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
10．已知 ，则有（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：　 　．
12．多项式 恰好是另一个多项式的平方，则 　 　.
13．分解因式3a2-3b2=　 　．
14．分解因式： =　 　．
15．已知关于x的代数式 是完全平方式，则 　 　
16．设a，b，c，d都是自然数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可以表示成两个自然数的平方和：mn＝　 　（用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022，请你写出值为10413的另外一种两个自然数的平方和的形式：10413＝　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：；
（2）化简：；
（3）分解因式：．
18．分解因式
（1）a3b﹣9ab
（2）4ab2﹣4ab+a
19．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差，变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
图1 图2 图3
（1）已知，，比较M和N的大小关系，并说明理由；
（2）图1是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为；直接写出和的值， ▲ ； ▲ ；试比较与的大小关系，并说明理由．
20．已知：a+b=﹣1，ab=﹣6，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2
（2）a2+b2．
21．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题：
（1）把看成一个整体，则将合并的结果为_____
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y2+8y+16　（第二步）
=（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
23．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
因式分解 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．多项式 中，各项的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为 ，字母b的公因式为b， 字母c无公因式，
所以各项的公因式是 .
故答案为：C.
【分析】公因式的确定方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此解答.
2．因式分解x3﹣2x2+x正确的是（　　）
A．（x﹣1）2 B．x （x﹣1）2
C．x（ x2﹣2x+1） D．x （x+1）2
【答案】B
【解析】【解答】解：原式=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2，
故选B
【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
3．多项式x2﹣mxy+9y2能用完全平方因式分解，则m的值是（　　）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2﹣mxy+9y2能用完全平方因式分解，
∴m=±6，
故选D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
4．若多项式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k值是（　　）
A．10 B．±10 C．5 D．±5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 多项式x2＋kx＋25是一个完全平方式，
∴k=±2×5=±10.
故答案为：B。
【分析】根据完全平方式的定义，即可得出K的值。
5．下列各因式分解正确的是（　　）
A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+2x-1=（x-1）2
C．4x2-4x+1=（2x-1）2 D．x2-4x=2（x+2）（x-2）
【答案】C
【解析】【解答】解：A、-x2+4x=-x(x-4)，故不符合题意；
B、x2+2x-1不能分解，故不符合题意；
C、4x2-4x+1=(2x-1)2，故符合题意；
D、x2-4x=x(x-4)，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解.
6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、a2-1=(a+1)(a-1)，故不符合题意；
B、=a(a+1)， 故不符合题意；
C、=(a-1)2， 故符合题意；
D、= (a+1)2，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将各项中多项式进行因式分解，再判断即可.
7．下列变形，属于因式分解的有（　　）
①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①x2﹣16=（x+4）（x﹣4），是因式分解；
②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16，不是因式分解；
③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16，是整式乘法；
④，不是因式分解．
故选：A．
【分析】直接利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而得出答案．
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、2ax2-4ax=2ax（x-2），故A不符合题意；
B、-ax2+4ax-4a=-a（x2-4x+4）=-a（x-2）2，故B符合题意；
C、x2+2xy+4y2不能分解因式，故C不符合题意；
D、-m2+n2=（n-m）（n+m），故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】分解因式的步骤：先看已知多项式（三项）是否有公因式，若有公因式，先提取公因式，再看能否用公式法或继续分解因式；若已知多项式有两项，若有公因式，先提取公因式，再考虑能否用平方差公式分解因式，必须分解到不能再分解为止；然后对各选项逐一判断，可得答案.
9．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：①、已无法进一步分解，排除；②、可用公式法分解成(2x-y)(2x+y)；③、已无法进一步分解，排除；④、可用公式法分解成；⑤、可用公式法分解成(mn-2)(mn-2).
故答案为：C.
【分析】①跟③极具迷惑性，前者乍一看以为能用平方差公式法分解，后者会以为能用完全平方公式法分解，实际上形式有出入，因此要求我们用公式法的时候一定是基于对公式的“模型”非常熟悉.
10．已知 ，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴b= ，
∴b= ，
∴b2= ，
∴b2≥2+2ac=4ac，
故答案为：B.
【分析】把已知式变形，使b用含a和c的代数式表示，然后两边同时平方再化简，运用a2+c2≥2ac即可得到b2≥4ac.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：12x2-12xy+3y2=3（4x2-4xy+y2）=3（2x-y）2，
故答案为：3（2x-y）2.
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式分解因式．
12．多项式 恰好是另一个多项式的平方，则 　 　.
【答案】±10
【解析】【解答】解：∵多项式 恰好是另一个多项式的平方，
∴m=±2×1×5=±10.
故答案为：±10.
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”可求解.
13．分解因式3a2-3b2=　 　．
【答案】3(a+b)(a-b)
【解析】【解答】解：原式
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
14．分解因式： =　 　．
【答案】
【解析】【解答】 ．
故填： .
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式 后继续应用完全平方公式分解即可：
15．已知关于x的代数式 是完全平方式，则 　 　
【答案】5或-7
【解析】【解答】解： =
∴-（a+1）x=2×（±3）x
解得a=5或a=-7
【分析】根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值.
16．设a，b，c，d都是自然数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可以表示成两个自然数的平方和：mn＝　 　（用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022，请你写出值为10413的另外一种两个自然数的平方和的形式：10413＝　 　．
【答案】或；
【解析】【解答】解：（1）、
同理：
故答案为：或
（2）解：当、、、时，、；
，即：
即：
故答案为：.
【分析】（1）先利用多项式的乘法公式把mn之积展开，再使用添项法构造完全平方公式即可，但要注意的是结果有两个；
（2）因为在添项构造完全平方公式时，结果有两种可能，所以对照公式进行计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：；
（2）化简：；
（3）分解因式：．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、有理数的乘方法则、0次幂以及负整数指数幂的运算性质可得原式=3-1×1-4，然后计算乘法，再计算减法即可；
（2）根据积的乘方、幂的乘方法则可得原式=4x2·(5x2y)÷x，然后利用单项式与单项式的乘除法法则进行计算；
（3）直接提取公因式3x即可.
18．分解因式
（1）a3b﹣9ab
（2）4ab2﹣4ab+a
【答案】（1）解：a3b﹣9ab＝ab（a2﹣9）＝ab（a﹣3）（a+3）
（2）解：4ab2﹣4ab+a＝a（4b2﹣4b+1）＝a（2b﹣1）2
【解析】【分析】（1）直接提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
19．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差，变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
图1 图2 图3
（1）已知，，比较M和N的大小关系，并说明理由；
（2）图1是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为；直接写出和的值， ▲ ； ▲ ；试比较与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：比较M，N利用作差法：
（2）解：；；
【解析】【解答】解：（1）
=
=
∵
∴
∴>
∴
（2）∵
∴
∴
故答案为：；；
【分析】（1）根据作差法，结合完全平方式的性质即可求出答案.
（2）根据矩形面积公式求出和的值，再根据作差法即可求出答案.
20．已知：a+b=﹣1，ab=﹣6，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2
（2）a2+b2．
【答案】解：（1）∵a+b=﹣1，ab=﹣6，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣6×（﹣1）=6；
（2）∵a+b=﹣1，ab=﹣6，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣1）2﹣2×（﹣6）=1+12=13．
【解析】【分析】（1）直接提取公因式，进而将已知代入求出即可；
（2）将原式利用完全平方公式变形进而代入已知求出即可．
21．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题：
（1）把看成一个整体，则将合并的结果为_____
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，∴；
（3）解：∵，∴
．
【解析】【解答】解：（1）由
；
【分析】（1）根据题意，把看作一个整体，结合合并同类项，进行计算，即可求解；
（2）化简得到，利用整体代入法，进行计算，即可求解；
（3）根据题意，把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法，进行计算，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴
．
22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y2+8y+16　（第二步）
=（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；
（3）解：设，
则原式
．
【解析】【解答】解：（1）写出是两个数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，．
故答案为：否，
【分析】本题考查因式分解的应用．
（1）式子可写成：，再根据完全平方公式的特点可选出选项；
（2）根据完全平方公式的特点可知：，据此可知分解不彻底，再利用积的乘方可分解出因式；
（3）先设，进行换元后括号展开，再利用完全平方公式可得，再换回原来的式子，再次利用完全平方公式可分解出因式．
23．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑