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平行四边形 单元知识巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，则线段EF的长是（　　）
A． B．3 C．2 D．
4．一个多边形的每一个外角都等于 ，则该多边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
5．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史．年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为（　　）
A．60° B．108° C．120° D．240°
7．如图，点O是等边三角形 内的一点， ，将 绕点C按顺时针旋转 得到 ，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列英文大写字母中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．E B．M C．N D．H
9．如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（　　）
A．8 B． C． D．
10．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于D、E两点，并且相交于点F，且 ，则 的度数是　 　.
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF和△BDF的周长之和为　 　cm.
14．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝　 　°．
15．如图，的面积为18，点E在上，点F，G在上，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．如图， 中，，点E是中点，过点A作，垂足为F，连接，则　 　°．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是．求：
（1）的长度；
（2）的长度．
18．如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以点M和N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）直接写出点E到的距离．
19．看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE=AB
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．
21．已知，如图，把直角三角形 MON 的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON.
（1）如图1，若∠MOC=28°，求∠BON 的度数.
（2）将三角形 MON 绕点O 旋转到如图2 所示的位置，若∠BON=100°，则∠MOC的度数为　 　°.
（3）若将三角形 MON 绕点O 旋转到如图3所示的位置，试写出∠BON 和∠MOC之间的数量关系，并说明理由.
22．如图，已知直线 上有一点 A，直线l1 绕着原点 O旋转45°得到直线l2，过点A 作AB⊥l1，交直线l2于点 B.
（1）当 且点A 的横坐标是4，点B 在第一象限内时，求点 B 的坐标和直线l2的表达式；
（2）当点A的横坐标是m(m>0)时，求旋转后直线l2的表达式.(用含字母k的式子表示)
23．在△ABC中，P为BC的中点。
（1）如图1，求证：
（2）延长AB到点D，使得BD=AC，延长AC到点E，使得CE=AB，连结DE。
①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系。写出你的结论，并加以证明。
②请在图3中证明：
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平行四边形 单元知识巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
B、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
C、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形，也可以是等腰梯形．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，则线段EF的长是（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解： AE和BF分别是∠DAB和∠CBA的角平分线
∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF
AB∥CD
∠DEA=∠BAE， ∠CFB=∠ABF
∠DAE=∠DEA， ∠CFB=∠CBF，
∴DA=DE，CF=CB
AD=BC=5，AB=8
DE=CF=5，CD=8
EF=DE+CF-CD=2.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，由平行线的性质得∠DEA=∠BAE， ∠CFB=∠ABF，则∠DAE=∠DEA， ∠CFB=∠CBF，推出DA=DE，CF=CB，结合已知条件可得DE=CF=5，CD=8，然后根据EF=DE+CF-CD进行计算.
4．一个多边形的每一个外角都等于 ，则该多边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10，
∴多边形的内角和为（10-2）×180°=1440°．
故答案为：C．
【分析】任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于（n-2） 180°即可求得内角和．
5．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史．年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是中心对称图形，所以B符合题意；
C：不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】中心对称图形的定义进行识别，即可得出答案。
6．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为（　　）
A．60° B．108° C．120° D．240°
【答案】D
【解析】【解答】∵四边形的内角和为（4 2）×180°＝360°，
∴∠B＋∠C＋∠D＝360° 60°＝300°，
∵五边形的内角和为（5 2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＝540° 300°＝240°，
故答案为：D．
【分析】如图，根据四边形内角和可求出∠B＋∠C＋∠D＝360° ∠A＝300°，根据五边形内角和可求出∠1＋∠2＝540° （∠B＋∠C＋∠D），从而得解.
7．如图，点O是等边三角形 内的一点， ，将 绕点C按顺时针旋转 得到 ，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵将△BCO绕点C按顺时针旋转 得到△ACD，
∴BO=AD，故A正确，
∵OC与CD是对应边，C为旋转中心，
∴∠DOC等于旋转角，即∠DOC=60°，故B正确，
∵OC=CD，∠DOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠BOC与∠ADC是对应角，
∴∠ADC=150°，
∴∠ODA=150°-60°=90°，即OD⊥AD，故C正确，
∵∠ADC=150°，
∴∠DAC<30°，
∴∠BAD<90°，
∴∠ODA+∠BAD≠180°，
∴OD与AB不平行，故D错误，
故答案为：D.
【分析】由旋转的性质得，BO＝AD，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∠ADC＝∠BOC＝150°，推出△OCD为等边三角形，得到∠DOC＝60°，故A，B正确；由于∠ODC＝60°，∠ADC＝∠BOC＝150°，得到∠ADO＝90°，由垂直的定义得到OD⊥AD，故C正确，于是得到结论．
8．下列英文大写字母中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．E B．M C．N D．H
【答案】D
【解析】【解答】解：字母E和M都只是轴对称图形，字母N是中心对称图形，字母H既是轴对称图形又是中心对称的图形．
故答案为：D．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合。即可得出答案。
9．如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】C
10．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故答案为：C．
【分析】连接，，，，根据正五边形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质可得，则，当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，同理可求，则，即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于D、E两点，并且相交于点F，且 ，则 的度数是　 　.
【答案】40°
【解析】【解答】解： 、 的垂直平分线相交于点 ， ，
，
，
、 的垂直平分线分别交 于D、E两点，
， ，
， ，
，
.
故答案为： .
【分析】首先根据四边形内角和为360°求出∠BAC的度数，由三角形的内角和定理可得∠B+∠C的度数，由垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，由等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，据此求解.
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角为30°
∴这个多边形的边数为：360°÷30°=12
故答案为：12
【分析】根据任意一个多边形的外角和等于360°，用多边形的外角和除以30°，即可得出这个多边形的边数。
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF和△BDF的周长之和为　 　cm.
【答案】42
【解析】【解答】解：AB= ，
∵BC=BD，∠CBD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=12cm，
∴△ACF和△BDF的周长之和为 ：AC+CF+AF+BF+FD+BD=AC+CD+AB+BD
=5+12+13+12=42.
故答案为：42.
【分析】利用勾股定理求出AB，由旋转的特点可得△BCD为等边三角形，从而得出CD的长，最后列出两三角形周长之和的表达式，代值即可求出结果.
14．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝　 　°．
【答案】65
【解析】【解答】解：根据题意得，∠BAB1=50°，AB=AB1，
∴ ∠ABB1=∠AB1B，
∴ ∠ABB1==65°.
故答案为：65.
【分析】根据旋转的性质可得∠BAB1=50°，AB=AB1，即可求得.
15．如图，的面积为18，点E在上，点F，G在上，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，设和之间的距离是h，
则=18，
∵，
∴图中阴影部分的面积为9.
故答案为：9．
【分析】在平行四边形ABCD中，设和之间的距离是h，则，求得，即可求得图中阴影部分的面积．
16．如图， 中，，点E是中点，过点A作，垂足为F，连接，则　 　°．
【答案】50
【解析】【解答】解：如图，延长AE、DC交于点G
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠ECG，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵ ∠AEB=∠GEC，
∴△ABE≌△GCE（ASA），
∴AE=GE，∠G=∠EAB，
∵AF⊥CD，
∴EF=EG，
∴∠EFC=∠G，
∴∠EFC=∠EAB，
∵BC=2AB=2BE，
∴BE=AB，
∴∠EAB=∠AEB，
∵∠B=80°，
∴，
∴∠EFC=∠EAB=50°，
故答案为：50
【分析】延长AE、DC交于点G，利用平行四边形的性质，得到三角形全等，进而得出E是AG的中点；根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出EF=EG；利用等腰三角形的性质，计算得出结果。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是．求：
（1）的长度；
（2）的长度．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵厘米，
∴厘米，
∵的周长=OA+OB+AB=厘米，
∴厘米；
（2）解：∵点，分别是线段，的中点，
∴是的中位线，
∴厘米．
【解析】【分析】（）根据平行四边形的性质可得，，由进而得到，再根据三角形的周长为OA+OB+AB可得，解答即可；
（）根据点，分别是线段，的中点，可知是的中位线，利用三角形中位线的性质得，即可解答.
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵厘米，
∴厘米，
∵的周长是厘米，
∴厘米；
（2）∵点，分别是线段，的中点，
∴是的中位线，
∴厘米．
18．如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以点M和N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）直接写出点E到的距离．
【答案】（1）证明：如图，
由作法得平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形.
（2）
【解析】【解答】（2）解：如图，过点E作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点E到的距离为．
故答案为：.
【分析】（1）先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再结合EF//AD，即可证出四边形是平行四边形；
（2）过点E作于点Q，利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理求出EF和DF的长，再结合，求出即可.
（1）证明：如图，
由作法得平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点E作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即点E到的距离为．
19．看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
【答案】（1）解：
∵n边形的内角和是（n﹣2） 180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2014÷180=11…34，
∴内角和为2014°不可能
（2）解：
依题意有（x﹣2） 180°＜2014°，
解得x＜13．
因而多边形的边数是13，
故小华求的是十三边形的内角和
（3）解：
13边形的内角和是（13﹣2）×180°=1980°，
2014°﹣1980°=34°，
因此这个外角的度数为34°．
【解析】【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2） 180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n﹣2要大，大的值小于1．则用2014除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数；
（3）用2014°﹣1980°即可．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE=AB
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，

∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
∴AE=AB；
（2）证明：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
∵AB=AE，AM=DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC=2AM，
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
【解析】【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，AM=DM，易证得△AEM≌△DCM（AAS），即可得AE=CD=AB；
（2）由BM平分∠ABC，易证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论．
21．已知，如图，把直角三角形 MON 的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON.
（1）如图1，若∠MOC=28°，求∠BON 的度数.
（2）将三角形 MON 绕点O 旋转到如图2 所示的位置，若∠BON=100°，则∠MOC的度数为　 　°.
（3）若将三角形 MON 绕点O 旋转到如图3所示的位置，试写出∠BON 和∠MOC之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， ∵∠MOC =28°， ∠MON=90°，
∴∠NOC=90°-28°=62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC=∠NOC=62°，
∴∠BON =180°-2∠NOC =180°-62°×2 =56°
（2）50
（3）解：∠BON=2∠MOC，理由为：
如图2， ∵OC平分∠AON，
∴∠AOC =∠NOC，
∵∠MON = 90°，
∴∠AOC =∠NOC =90°-∠MOC，
∴∠BON = 180°-2∠NOC = 180°-2(90°-∠MOC)=2∠MOC，
即： ∠BON =2∠MOC
【解析】【解答】解： (2)∵∠BON =100°，
∴∠AON =80°，
∴∠AOM =90°-∠AON =10°， ∠AOC =40°，
∴∠MOC =∠AOM +∠AOC =50°.
故答案为： 50°；
【分析】(1)根据角平分线和余角的定义，可求出∠NOC、∠AOC， 再根据互为补角求出∠BON即可；
(2)根据补角、角平分线的定义求解即可；
(3)根据角平分线和余角的定义可得∠AOC =∠NOC=90°-∠MOC， 再根据互为补角的意义得到∠BON =180°-2∠NOC =180°-2(90°-∠MOC)=2∠MOC.
22．如图，已知直线 上有一点 A，直线l1 绕着原点 O旋转45°得到直线l2，过点A 作AB⊥l1，交直线l2于点 B.
（1）当 且点A 的横坐标是4，点B 在第一象限内时，求点 B 的坐标和直线l2的表达式；
（2）当点A的横坐标是m(m>0)时，求旋转后直线l2的表达式.(用含字母k的式子表示)
【答案】（1）解：因为 k = 所以 因为点 A 的横坐标是4，所以A(4，2).如图，过点A 作 MN⊥x轴于点 N，过点 B 作BM⊥MN 于点 M. 因为∠AOB =45°，OA⊥AB，所以易得 OA = AB. 因为 OA ⊥ AB，所以∠OAB=90°，所以∠OAN+∠BAM=90°.又因为∠OAN+ ∠AON = 90°， 所以∠BAM=∠AON.
在△ONA 和△AMB中， 所以△ONA≌△AMB(AAS)，所以 ON=AM，AN=BM.因为A(4，2)，所以B(2，6).设直线l2的表达式为y= nx(n≠0)，所以6=2n，所以n=3，所以直线l2的表达式为y=3x.
（2）解：由题可知A(m， km).①当直线l1绕着原点O逆时针旋转45°时，如图所示.由(1)可知B(m-km，m+ km)，所以直线l2的表达式为
②当直线 l1 绕着原点 O 顺时针旋转 45°时，如图所示.
因为∠AOB=∠AOB'=45°，
所以∠BOB'=90°，即l2⊥l'2，
所以易得直线l'2的表达式为
综上所述，l2 的表达式为 或 y=
【解析】【分析】(1)构造一线三直角全等，解出点B的坐标，通过点B的坐标得到 解析式即可；
(2)分两种情况讨论①当点B在第一象限时，由(1)可知 B(m-km，m+km)，②当点B在第四象限时，利用两直线垂直，k值互为负倒数解答即可.
23．在△ABC中，P为BC的中点。
（1）如图1，求证：
（2）延长AB到点D，使得BD=AC，延长AC到点E，使得CE=AB，连结DE。
①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系。写出你的结论，并加以证明。
②请在图3中证明：
【答案】（1）证明：如图1，延长AP至点H，使得PH=AP，连结BH，HC。
∵BP=PC，∴四边形ABHC是平行四边形。∴AB=HC。
在△ACH中，AH∴2AP（2）解：①BE=2AP。证明：如图2，过点B作BH∥AE交DE于点H，连结CH，AH。
∴∠1=∠BAC=60°。
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE。
∴△AED是等边三角形。
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°。
∴△BDH是等边三角形。
∴BD=DH=BH=AC。
∴四边形ABHC是平行四边形。
∵P是BC的中点，
∴P是四边形ABHC对角线AH，BC的交点。
∴点A，P，H共线，
∴AH=2AP。
在△ADH和△EDB中，
∴△ADH≌△EDB，
∴AH=BE=2AP。
②证明：分两种情况：
(i)当AB=AC时，如图3，AB=AC=DB=CE。
( ii)当AB≠AC时，如图4，以BD，BC为一组邻边作□BDGC。
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG。
∵AB=CE，
∴△ABC≌△CEG。
∴BC=EG=DG。在△DGE中，DG+GE>DE。
∴2BC>DE，即
综上所述，
【解析】【分析】(1)可通过构建平行四边形求解；延长AP至H，使PH=AP；则AH、BC互相平分，四 边形ABHC是平行四边形；在 中，由三角形三边关系定理知：AH(2)①可按照 (1)题的思路求解；过B作AE的平行线， 交DE于H， 连接AH、CH； 易知.AD=AE， 若∠BAC =60°， 则△ADE是等边三角形， 易证得△DBH也是等边三角形，此时DB=BH =AC，则四边形ABHC的一组对边平行且相等，则四边形ABHC是平行四边形；由此可证得P是平行四边形ABHC对角线的交点， 且AH=2AP； 下面可通过证△DBE≌△DHA得出AH = DE， 从而得出DE=2AP的结论；
②分两种情况：
一、AB=AC时， 由题意易知AB=AC=BD=CE， 则BC是三角形ADE的中位线， 此时DE=2BC；
二、AB≠AC时， 仿照①的思路， 可以BC、BD为边作平行四边形DBCG，连接GE；易证得△ABC≌△CEG， 则AB=GE； 而根据平行四边形的性质易知BC = DG， 那么在等腰△DGE中， DG=GE，根据三角形三边关系定理知：DG+GE> DE， 即2BC> DE；
综合上述两种情况即可证得所求的结论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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