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特殊平行四边形 单元模拟真题演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
2． 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
3．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
5．如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（　　）
A． B．3 C． D．
6．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．如图：矩形ABCD，AB＞AD，AB＝4，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
8．如图，在正方形中，、、H分别是、、的中点，、交于点G，连接，下列结论中，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．是等边三角形
9．如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．6
10．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，
①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；
②当P点有8个时，x=2 ﹣2；
③当△PMN是等边三角形时，P点有4个；
④当0＜x＜4 ﹣2时，P点最多有9个．
其中结论正确是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为　 　．
12．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边 OC上一点，E 是正方形边上一点.已知B（－3，3），D（0，1），当 AD=CE 时，点E坐标为　 　 .
13．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ， AB=　 　，MN=　 　
15．杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面　 　.（填“合格”或“不合格”）.
16．如图，在 中， ， ， ， 的中垂线 与 的角平分线 交于点 ，则四边形 的面积为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，C是直线l上的点，，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以为边在直线l的上方作，若，，．
（1）若四边形为矩形时，求的长；
（2）若四边形为菱形时，求的长．
18．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．
⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．
⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．
19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为，，求．
20．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
21．如图，是的角平分线，、分别是和的高。
（1）求证：垂直平分。
（2）若，，，求的长。
22．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．
（1）求立柱的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．
23．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
（3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
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特殊平行四边形 单元模拟真题演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不符合；
B、应该是矩形的对角线相等且互相平分，符合；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，不符合；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，不符合；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.
2． 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【解析】【解答】解：设AC交BD于点O，EF交BD于点M，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为： A.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相垂直即可得出结论.
3．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD CM＝BC CD，
∴CM＝＝，
∴PQ的最小值为，
故答案为：A．
【分析】如图，连接CM，结合已知根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PCQM是矩形，由矩形的性质可得PQ=CM，在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，根据垂线段最短可得：当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，在直角三角形BCD中，用面积法可求得CM的值，即为PQ的最小值.
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接B′C，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∴∠B'CO=45°，
由旋转的性质得：，AB'=AB=1，
∴
∴
故答案为：C．
【分析】连接B′C，由正方形的性质及旋转的性质可得∠B'CO=45°，，利用三角形内角和求出，由平角的定义即可求出 ∠DOB'的度数 .
5．如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：点的坐标为，，，轴
，
把点的坐标代入得，
把点的坐标代入得，
正比例函数的图象与矩形有公共点，则，
故答案为：D
【分析】先根据题意得到点的坐标，再根据待定系数法求出函数k的值，进而结合题意即可求解。
6．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD=BC×AE=CD AF．
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：B．
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同，再由平行四边形性质可得邻边相等，则重叠部分为菱形。
7．如图：矩形ABCD，AB＞AD，AB＝4，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠DAB=∠ADC=90°，
∵AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN，
∴∠ADM＝∠MDC＝∠MED＝∠NEC＝∠NCD＝45°，
∴MD=ME，NE=NC，
∴ ， ，
∵DE+CE=CD=4，
∴ ，
∴DM+CN＝ ．
故答案为：B．
【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．”得到∠ADM＝∠MDC＝∠MED＝∠NEC＝∠NCD＝45°，再利用三角函数求出DE和CN的长度，最后相加即可。
8．如图，在正方形中，、、H分别是、、的中点，、交于点G，连接，下列结论中，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．是等边三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵四边形是正方形，
∴，，
∵E，F是中点，
∴，
∴，
∴，，
故不符合题意，A错误；
B、∵，
∴，
∴，
∴，
故不符合题意，B错误；
C、∵H是中点，
∴，
故不符合题意，C错误；
D、∵是直角三角形，
∴，即，
∴不是等边三角形，
故符合题意，D正确．
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定．先根据正方形的性质可推出，，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质可得：，，据此可判断A选项；根据，利用等量代换可得：，进而可推出，据此可判断B选项；利用中点的定义可推出：，据此可判断C选项；根据是直角三角形，利用直角三角形的性质可得：，进而可推出，利用等边三角形的定义可得：不是等边三角形，据此可判断D选项；
9．如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠EAO=∠FCO，
∵ ∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴ △AOE≌△COF（AAS），
∴ EO=FO，
∵ BE=BF，
∴ ∠EBO=∠FBO，∠BOF=90°，
∵ ∠BEF=2∠BAC，∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴ ∠BAC=∠AOE，
∴ AE=EO，
∴ OF=FC，
∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL），
∴ ∠FBO=∠CBF，
∵ ∠FBO+∠CBF+∠EBO=90°，
∴ ∠EBO=30°，
∴ 2EO=BE，即2AE=2FC=BE=，
∴ AB=AE+BE=.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS判定△AOE≌△COF推出EO=FO，根据等腰三角形的性质可得∠BOF=90°，∠EBO=∠FBO，依据外角的性质可推出∠BAC=∠AOE得到OF=FC，根据HL判定Rt△BOF≌Rt△BCF推出 ∠EBO=30°，计算出BE=2FC，即可求得.
10．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，
①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；
②当P点有8个时，x=2 ﹣2；
③当△PMN是等边三角形时，P点有4个；
④当0＜x＜4 ﹣2时，P点最多有9个．
其中结论正确是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】【解答】①如图，当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；故符合题意；
②如图，当P点有8个时，0＜x＜4 ﹣2，故不符合题意；
③如图，当△PMN是等边三角形时，有两个P点关于BD对称的位置，共有4个；故符合题意；
④当0＜x＜4 ﹣2时，P点最多有8个．故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用图象法即可解决问题；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AD=CD，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴四边形OGEF是矩形，
连接OE，则OE=GF，
当OE⊥DC时，GF的值最小，
∵BD=6，AC=8，
∴OD=3，OC=4，
∴CD= ，
∵ ，
∴ ，
∴FG的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AD=CD，可证四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，OE的值最小，即GF的值最小，由勾股定理求出CD=5，再利用△COD的面积求出OE的长，从而得解.
12．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边 OC上一点，E 是正方形边上一点.已知B（－3，3），D（0，1），当 AD=CE 时，点E坐标为　 　 .
【答案】(-3，2)或（-1，0）
【解析】【解答】解：①当点E在正方形的边AB上时，
∵AD=CE，如图，
∴点E是正方形AB边上一点，
∵四边形ABCO是正方形，
∴ ，∠AOD=∠B=90 ，
在Rt△ADO和Rt△CEB中，
，
∴Rt△ADO Rt△CEB(HL)，
∴BE=OD，
∵B（-3，3），D（0，1），
∴点E的坐标为(-3，2).
②当点E在正方形的边OA上时，
同理可证：Rt△AOD Rt△COE(HL)，
∴OD=OE，
∴点E的坐标为(-1，0).
故答案为：(-3，2)或(-1，0).
【分析】分点E在在正方形的边AB上或在正方形的边OA上两种情况，根据正方形性质及AD=CE，利用“HL”证得Rt△ADO Rt△CEB或Rt△AOD Rt△COE，从而推出BE=OD或OD=OE，即可求得点E的坐标.
13．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴当最小时，最小，最小，即当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
【分析】先证明四边形是矩形， 再利用矩形的对角线相等，可知当最小时，也最小，再利用面积法，得到关于AP的方程求解．
14．如图，在正方形ABCD中， 的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ， AB=　 　，MN=　 　
【答案】12；
【解析】【解答】解：如图，连接MG、NG，
在 和 中，
，
∴ ，
同理 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
同理 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
故答案为：12， .
【分析】连接MG、NG，由题意用HL定理可证Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGE，由全等三角形的性质可得BE=EG，FD=FG，∠BAM=∠GAM，结合线段的构成得EF=EG+GF可求得EF的值；设AB=x，则CE=x-4，CF=x-6， 在Rt△CEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值（即为AB的值）；于是BD=AB=x；用边角边可证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，由全等三角形的性质可得BM=GM，∠ABM=∠AGM，ND=NG，∠ADN=∠AGN，结合已知易证△MGN是直角三角形，设MN=y，在直角三角形MGN中，用勾股定理可得关于y的方程，解方程即可求解.
15．杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面　 　.（填“合格”或“不合格”）.
【答案】不合格
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
16．如图，在 中， ， ， ， 的中垂线 与 的角平分线 交于点 ，则四边形 的面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB交AB延长线于G，作EH⊥AC于H，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴EG＝EH，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
在Rt△EGB和Rt△EHC中， ，
∴Rt△EGB≌Rt△EHC（HL），
∴BG＝CH，S△EGB＝S△EHC，
在Rt△AGE和Rt△AHE中， ，
∴Rt△AGE≌Rt△AHE（HL），
∴AG＝AH，
∴AB＋BG＝AC－CH，
∴3＋BG＝4－BG，
∴BG＝ ，
∴AG＝AB＋BG＝ ，
∵∠GAC＝∠AGE＝∠AHE＝90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∵AG＝AH，
∴矩形AGEH是正方形，
∴S四边形ABEC＝S四边形ABEH＋S△EHC＝S四边形ABEH＋S△EGB＝S正方形AGEH＝AG2＝ ，
故答案为： .
【分析】过点E作EG⊥AB交AB延长线于G，作EH⊥AC于H，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到EG＝EH，EB＝EC，然后证明Rt△EGB≌Rt△EHC，Rt△AGE≌Rt△AHE，求出S△EGB＝S△EHC，BG＝ ，得到AG＝ ，然后证明四边形AGEH是正方形，根据四边形ABEC的面积等于正方形AGEH的面积计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，C是直线l上的点，，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以为边在直线l的上方作，若，，．
（1）若四边形为矩形时，求的长；
（2）若四边形为菱形时，求的长．
【答案】（1）解：∵矩形，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：，
∴.
（2）解：∵菱形，
∴，
设，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
∴．
【解析】【分析】（1）设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可；
（2）设，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
（1）解：∵矩形，
∴，
设，则，
由勾股定理得：
，
解得，
∴；
（2）解：∵菱形，
∴，
设，
由勾股定理得：
∴，
解得：（负值舍去），
∴．
18．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．
⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．
⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．
【答案】解：（1）由网格可得：
，
则正方形ABCD的面积为 ，正方形ABCD如图所示：
（2）由面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，可得正方形A1B1C1D1的边长为 ，正方形A2B2C2D2的边长为 ，则如图所示
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据正方形的性质及网格特点画出正方形并求出其面积即可；
（2） 先分别求出正方形A1B1C1D1的边长为 ，正方形A2B2C2D2的边长为 ，根据正方形的性质及网格特点分别画出正方形即可.
19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为，，求．
【答案】（1）解：（1）证明：四边形是菱形，∠DOC=90°
，
，
，
四边形是平行四边形，
∠EDO=∠DOC=90°
∴四边形是矩形，
；
（2）连接．
，
四边形是矩形，
，
在菱形中，，
三角形ACD是的等边三角形
，
在三角形ACD中，
在中，
．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再证四边形是矩形，从而得到OE=CD
（2）先证三角形ACD是等边三角形，求出AF。同理求出OD即CE，在直角三角形ACE中利用勾股定理求出AE。问题得到解决。
（1）证明：四边形是菱形，
，，
且，
，
四边形、四边形都是平行四边形，
，
；
（2）解：连接．
，
四边形是矩形，
，
在菱形中，，
，
，
，
在矩形中，，
在中，，
．
20．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC
四边形OCED是平行四边形，
又四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴∠COD=90°
四边形OCED是矩形.
（2）解： 四边形ABCD是菱形 ，
∴AB=BC=CD=4
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
，
∴在Rt△OCD中，，
∵四边形OCED是矩形 ，
∴CE=OD=.
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟知矩形的判定方法及菱形的性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知：四边形OCED是平行四边形；再由菱形的性质：对角线互相垂直可得：AC⊥BD，即∠COD=90°，最后根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形可得：四边形OCED为矩形，即可证得结论；
（2）根据菱形的性质：四条边相等可知：AB=BC=CD=4，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得：△ABC是等边三角形；从而得到AC=4， 再由菱形的性质：对角线互相垂直平分可得：，再根据勾股定理：在Rt△OCD中，，最后根据矩形的性质：对边相等可知：CE=OD=，由此即可得到答案．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在矩形中，．
21．如图，是的角平分线，、分别是和的高。
（1）求证：垂直平分。
（2）若，，，求的长。
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
而，
∴垂直平分
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论；
（2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长．
22．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．
（1）求立柱的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．
【答案】（1）解：由题意得米，米，AB+BC=26米..
设米，则米，
∵在中，，
∴，
解得：．
∴米．
∴米．
∴立柱AB的长度为9米．
（2）由题意得米，
∴米．
∴在中，米．
【解析】【分析】（1）根据题意得米，米，设米，则米，在Rt△BGC中利用勾股定理，可得出关于x的方程，求解得BG的长，即可求出AB的长．
（2）由题意得米，从而可求出米．在Rt△BGF中利用勾股定理，即可求出BF的长．
（1）（1）由题意得米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴米．
∴米．
∴立柱的长度为9米．
（2）由题意得米，
∴米．
在中，由勾股定理得米．
23．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
（3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：设点，
∵，点Q是P点的等积点，
∴即，
故点Q在直线上，
∴点，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得，
∴点；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得，
∴点；
综上所述，点或．
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，，
∴，，，
∴点P的等积点是，
故答案为：．
（3）设点，
∵，点Q是P点的等积点，
∴即，
故点Q在直线上，
设点B的等积点坐标，
∵，
∴即，
故点B的等积点在直线上，
∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为，则，
∵为的等积点，在上，
∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上，
当在直线上时，m取得最小值，
故，
解得；
当在直线上时，m取得最大值，
故，
解得；
故m的取值范围是．
【分析】（1）根据等积点的定义即可求出答案.
（2）设点，根据等积点定义可得即，故点Q在直线上，则点，分情况讨论：当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案；当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得点，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
（3）设点，根据等积点定义可得即，故点Q在直线上，设点B的等积点坐标，则点B的等积点在直线上，设该正方形为，则，根据题意可得当在直线上时，m取得最小值，建立方程，解方程可得m=4，当在直线上时，m取得最大值，建立方程，解方程可得m=4.
（1）∵，，，，
∴，，，
∴点P的等积点是，
故答案为：．
（2）设点，
∵，点Q是P点的等积点，
∴即，
故点Q在直线上，
∴点，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得，
∴点；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得，
∴点；
综上所述，点或．
（3）设点，
∵，点Q是P点的等积点，
∴即，
故点Q在直线上，
设点B的等积点坐标，
∵，
∴即，
故点B的等积点在直线上，
∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为，则，
∵为的等积点，在上，
∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上，
当在直线上时，m取得最小值，
故，
解得；
当在直线上时，m取得最大值，
故，
解得；
故m的取值范围是．
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