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(共6张PPT)
浙江省杭州市2026年中考数学二模押题卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 倒数；相反数的定义；绝对值的几何意义
2 0.94 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
3 0.94 用科学记数法表示绝对值大于1的数
4 0.94 判断简单几何体的三视图
5 0.85 判断反比例函数的增减性
6 0.85 求两个位似图形的相似比；求位似图形的对应坐标
7 0.85 根据实际问题列二元一次方程组
8 0.85 求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联；求扇形统计图的某项数目
9 0.65 已知圆内接四边形求角度；圆的基本概念辨析；斜边的中线等于斜边的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等
10 0.4 动点问题的函数图象；三线合一；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题
11 0.94 倒数；相反数的定义；求一个数的绝对值
12 0.85 二次根式有意义的条件；求不等式组的解集；分式有意义的条件
13 0.85 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
14 0.85 列表法或树状图法求概率；根据一元二次方程根的情况求参数
15 0.65 多项式乘法中的规律性问题；多项式的项、项数或次数
16 0.65 勾股定理与折叠问题；相似三角形的判定与性质综合；折叠问题；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 积的乘方运算；计算单项式乘多项式及求值
18 0.85 解分式方程（化为一元一次）
19 0.85 利用菱形的性质证明；解直角三角形的相关计算；用SAS证明三角形全等（SAS）；等腰三角形的性质和判定
20 0.85 求众数；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
21 0.85 数轴上两点之间的距离；估计算术平方根的取值范围；算术平方根的实际应用；实数与数轴
22 0.65 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合
23 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；相似三角形的判定与性质综合；待定系数法求二次函数解析式
24 0.15 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；等边对等角；用勾股定理解三角形机密★启用前
浙江省杭州市2026年中考二模押题卷
数 学 试 题
姓名：________ 准考证号：______________
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题3分，共30分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．的相反数是 B．的绝对值是－5
C．的倒数是 D．的倒数是
2．如图，已知直线，的平分线交于点F，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务．390000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A． B． C． D．
5．某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（　　）
A． B． C． D．
8．某中学学生会为了考察该校1800名学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“篮球、排球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，下列判断：①本次抽样调查的样本容量是60；②在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角是60°；③该校学生中喜欢“乒乓球”的人数约为450人；④若被抽查的男女学生数相同，其中喜欢球类的男生占喜欢球类人数的56.25%，则被抽查的学生中，喜欢“其他”类的女生数为9人．其中正确的判断是（　　）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有③④
9．如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ）

A． B．
C． D．平分
10．如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A．15 B．16 C． D．
二、填空题（每题3分）
11．的相反数是___________，倒数是___________，绝对值是___________．
12．中变量x的取值范围是________．
13．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为______________________．(点都在同一平面上，结果保留根号)

14．如果m是从1、2、3三个数中任取得一个数，n是2、3两个数中任取得一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为 ___．
15．如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别是，；，它有三项，系数分别是，，；，它有四项，系数分别是，，，；，它有四项，系数分别是，，，，；
如果将上述的每个式子的各项系数都排成下表，我们发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行的数多，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．参考这个表，请你直接写出______．
16．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G．连接BE交AD于点F．若，点F到BC的距离为，则的面积为________．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：．
18．解方程：．
19．如图1，已知在中，，，，点为直线上一动点（点E不与A、C重合），以为边在右侧作菱形，使，连接．

(1)如图2，当点F在直线上时，点恰好与点重合，求此时线段的长；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)当为等腰三角形时，直接写出的度数．
20．某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数x）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表
年级 平均数 中位数 众数
七 116 a b
八 119 126 117
七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：，，…，）在这一组的是：100，101，102，103，105，105，108，109，109，110，110，111，112，113，115，115，115，116，117 119
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中______；
(2)小明结合以上图表认为抽取的50名七年级学生成绩众数应该落在小组内，故他得出，你同意他的观点吗？为什么？
(3)若一分钟跳绳次数不低于105次为达标，估计该校七年级500名学生一分钟跳绳成绩达标有多少人？
21．图①是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．
(1)在图①中，拼成的大正方形的面积为_______，边的长为_______；
(2)估算正方形的边长在哪两个整数之间；
(3)现将图①水平放置在如图②所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示 的点重合，若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E 表示的数．
22．【操作发现】
（1）如图（1），在和中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　；
【类比探究】
（2）如图（2），在和中，∠AOB＝∠COD＝90°，tan∠OBA＝tan∠ODC＝2，连接AC，交BD的延长线于点M．
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数；
【拓展应用】
（3）在图（2）的条件下，将图（2）中的绕着点O在平面内旋转，若OD＝1，OB＝，当C、D、B在同一直线上时，求点A、C之间的距离．
23．如图，二次函数（）的图像经过点，点，点，连接AC．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是该二次函数（）图像上位于第一象限内的一点．
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点D，求线段PD的最大值．
②如图2，过点P作，交直线BC于点Q，若，求点P的坐标．
24．如图，在中，，，射线交线段于点，作点关于射线的对称点．直线与直线交于点，与射线交于点，连接交于点．
(1)如图，当点位于直线上时，______（用含的代数式表示）；
(2)如图，当时，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，当时，连接，若，，则______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C A D C D C
1．C
根据倒数、相反数和绝对值的定义即可求得．
A. 的相反数是5，故错误；
B. 的绝对值是5，故错误；
C. 的倒数是，故正确；
D. 的倒数是，故错误；
故选C
本题考查倒数、相反数和绝对值的定义，掌握相关知识点是解题关键．
2．B
根据平行线的性质推出，，然后结合角平分线的定义求解即可得出，从而得出结论．
解：∵，
∴，，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
本题考查平行线的性质和角平分线的定义，理解并熟练运用平行线的基本性质是解题关键．
3．C
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
解：390000；
故选C．
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
4．C
本题考查几何体三视图中主视图．根据题意可知从正面看是三角形的几何体，即为本题答案．
解：A、主视图是长方形，故此选项错误；
B、主视图是长方形，故此选项错误；
C、主视图是三角形，故此选项正确；
D、主视图是正方形，故此选项错误；
故选：C．
5．C
由已知中图象表示某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系，可解析出平均产量的几何意义为总产量y（纵坐标）与年数x（横坐标）的商，根据正切函数的定义，表示这一点和原点的连线与x轴正方向的夹角的正切，因此，要使最大即要上述夹角最大，结合图象可知：
当x=7时，夹角最大，从而最大，
∴前7年的年平均产量最高，x=7．故选C．
6．A
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，
与的位似比为，
B点坐标为，
点的对应点的坐标为即．
7．D
本题考查了列二元一次方程，根据化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．进行列式，即可作答．
解：∵，
∴，
故选：D．
8．C
先根据喜欢排球的人数及其占比求出抽样调查的总人数；再求出样本中“其他”的人数所占的比例及圆心角度数；再求出喜欢“乒乓球”的人数所占的比例与人数；再求得喜欢球类人数所占的比例＝1﹣20%=80%，故喜欢球类的人数＝60×80%＝48人，喜欢球类的女生的人数＝48×（1﹣56.25%）＝21人，故可得喜欢“其他”类的女生数为30﹣21＝9人．
解：①喜欢排球的人数为6人，所占的比例为10%，
故可得抽样调查的总人数为：6÷10%＝60人，即可得①正确；
②样本中“其他”的人数所占的比例为＝20%，故可求出“其他”部分所对应的圆心角＝360°×＝72°，即可得②错误；
③喜欢“乒乓球”的人数所占的比例＝1﹣20%﹣25%﹣10%﹣20%＝25%，故可得该校学生中喜欢“乒乓球”的人数＝1800×25%＝450人；
④喜欢球类人数所占的比例＝1﹣20%＝80%，
故喜欢球类的人数＝60×80%＝48人，
喜欢球类的女生的人数＝48×（1﹣56.25%）＝21人，
故可得喜欢“其他”类的女生数为30﹣21＝9人．
综上可得只有①③④正确．
故选C．
此题主要考查扇形统计图与条形统计图的应用，解题的关键是先求出调查的总人数.
9．D
本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，圆的基本性质；由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得，再由圆的定义得点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上，由圆的基本性质及圆的内接四边形的性质即可求解；掌握有关性质，能根据圆的定义确定A、D、C、B四点共圆是解题的关键．
解：点O为线段的中点，，
，
，
，
点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上，
如图，

故A结论正确，不符合题意；
由圆周角定理得到，
故B结论正确，不符合题意；
四边形是圆内接四边形，
，
故C结论正确，不符合题意；
和不一定相等，
和不一定相等，
不一定平分，
故D结论错误，符合题意．
故选：D．
10．C
本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形三线合一，勾股定理．
作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可．
解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B，
∴，，，
∴，
如图，作交于D，作交于E，
由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应，
即，，
∴，，
由函数图象可知，当时，，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∴的面积．
故选：C．
11． 2 2
乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
解：的相反数是，倒数是，绝对值是．
故答案为：，，．
\本题考查倒数，相反数，绝对值的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．
解：依题意
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
故答案为：
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，掌握以上知识是解题的关键．
13．米
作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米．
过点D作于点E，作于点F，

由题可得：
AB=57，DE=30，，，
在Rt△ADE中，，
∴，
∴，
∵AB=50，
∴，
∵四边形BCEF是矩形，
∴，
在Rt△DCF中，，
∴，
∴，
∴米．
故答案为米．
本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
14．
先列表得出所有等可能结果，再从中找到满足Δ＝（ 2m）2 4n2≥0，即m2≥n2的结果数，继而利用概率公式求解即可．
解：列表如下：
2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，2） （2，3）
3 （3，2） （3，3）
由表可知，共有6种等可能结果，其中满足Δ＝（ 2m）2 4n2≥0，即m2≥n2的有（2，2）、（3，2）、（3，3）这3种结果，
∴关于x的一元二次方程x2 2mx＋n2＝0有实数根的概率为，
故答案为：．
此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．
经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1，利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
解：各项系数的变化规律如图所示：
它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别是，；
，它有三项，系数分别是，，；
，它有四项，系数分别是，，，；
，它有五项，系数分别是，，，，；
可知，（a+b）5有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1，
∴．
故答案为：．
此题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，正确得出系数变化规律是解题的关键．
16．2
过点F作FM⊥BC于M，根据点F到BC的距离为，先求出FD的长，根据三角形的面积公式求出三角形ABD的面积，根据折叠可知S ABD=S AED，再根据中线的性质，则可求出的面积．
过点F作FM⊥BC于M，
由点F到BC的距离为，
∴FM=
又根据折叠可知， ADB ADE，AD⊥BE，
在Rt BFM中，BM=，
∵FM⊥BC
∴∠FMB=∠FMD=90°，
∴∠FBD+∠FDB=90°，
而∠DFM+∠FDB=90°，
∴∠FBD=∠DFM
∴ BFM∽ DFM
∴
∴
DF=1
∴AD=AF+DF=3+1=4
∴S ABD=S AED=AD BF=
又∵DG=EG
∴S ADG=
故答案为：2
本题考查翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形对应边成比例构建方程解决问题．
17．
本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以多项式，合并同类项，先计算积的乘方运算，单项式乘以多项式，再合并即可．
解：原式．
18．
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：方程两边同乘以，得
解得
检验：将代入知，
所以是原方程的根．
本题考查解分式方程，注意分式方程的结果要检验．
19．(1)
(2)见解析
(3)或或或
（1）根据菱形的性质和三角形可求出，在中，解直角三角形可求，，即可求解；
（2）①点位于直线下方时，取中点，连接，可证，从而可得，又，从而可证；②点位于直线上方时，同理可证；③点位于直线上时，如图，由菱形得
（3）分四种情况讨论：点在线段上时，点在线段左侧时，若和，点在线段右侧时，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
（1）解：∵，
∴；
∵菱形，，
∴，，
∴
在中，，
∴
∴
∴

（2）证明：①点位于直线下方时，取中点，连接，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴

②点位于直线上方时，如图，

同①可证；
③点位于直线上时，如图，

∵四边形菱形
∴；
（3）如图所示，点在线段上时，此时，

∵四边形是菱形，
∴，
∴点A和点F重合，
∵，
∴；
如图所示，点在线段左侧时，若，

∵四边形是菱形，
∴
∵
∴是等边三角形
∴
又∵，
∴
∴；
如图所示，点在线段左侧时，若，

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
如图所示，点在线段右侧时，

∵
∴，
∵，，
∴
∴．
综上所述，的度数为或或或．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握各知识点，结合图形进行分类．
20．(1)118
(2)不同意，见解析
(3)400人
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
（1）根据中位数，结合条形统计图及所给数据求解可得；
（2）根据众数定义先得出115只是成绩在这一小组的众数，而不一定是所有学生成绩的众数，从而得出答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
（1）解：∵七年级50名学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别是117、119，
∴中位数，
故答案为：118；
（2）不同意，
∵115只是成绩在这一小组的众数，而抽取的50名七年级学生成绩众数不一定落在该小组，例如成绩在这一组的4名同学成绩若都是90分，则90出现4次，大于115出现的次数（3次），此时；
（3）由直方图可知抽取的50名七年级学生成绩低于105的有人，即不低于105的有40人，达标率为，由此估计该校七年级500名学生一分钟跳绳成绩达标有人
即：估计该校七年级500名学生一分钟跳绳成绩达标有400人．
21．(1)10；
(2)3和4之间
(3)或
本题考查了算术平方根的应用以及数轴与实数，掌握算术平方根的估值方法、数形结合，是解题的关键．
（1）利用图形剪拼前后面积不变求解；
（2）利用算术平方根的估值方法求解；
（3）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解．
（1）剪开前图形的面积等于，剪拼前后图形面积不变，
拼成的大正方形的面积10，
正方形的边长为，
．
（2）由（1）知，正方形的边长为，
，
，
正方形的边长在3和4之间．
（3）由（1）知正方形的边长为，
，
又点B与数轴上表示的点重合，
点E表示的数为或．
22．（1）①AC＝BD；②40°；（2）①AC＝BD，理由见解析；②∠AMB＝90°；（3）AC的长为或
（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD即可；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC＝2BD，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90°，AC＝2BD，可得AC的长．
解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COA＝∠DOB，
又∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD；
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠ABO＝140°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）
＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）
＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：①AC＝BD；②40°；
（2）①AC＝2BD，理由是：
∵tan∠OBA＝tan∠ODC＝2，
∴∠OBA＝∠ODC，＝2，
又∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴△OBA∽△ODC，
∴＝，
∴＝，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝＝2，
∴AC＝2BD，
②∠AMB＝90°，理由是：
∵△AOC∽△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）
＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）
＝90°；
（3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB＝90°，AC＝2BD，
设BD＝x，则AC＝2x，
Rt△COD中，tan∠ODC＝＝2，OD＝1，
∴OC＝2，CD＝，
∴BC＝x﹣，
Rt△AOB中，tan∠OBA＝＝2，OB＝，
∴OA＝2，AB＝5，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴（2x）2+（x﹣）2＝52，
∴5x2﹣2x﹣20＝0，
解得x1＝，x2＝（舍负），
∴AC＝；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，AC＝2BD，，
设BD＝x，则AC＝2x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴（2x）2+（x+）2＝52，
∴5x2+2x﹣20＝0，
解得x1＝，x2＝（舍负），
∴AC＝；
综上所述，AC的长为或．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
23．（1）；（2）①；②P为或（
（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）①设点的横坐标为，则，，，根据二次函数的最值即可求解；②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，，可计算出的代数式，即，解方程即可得出答案．
解：（1）把，点，点，代入二次函数中，
得，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）①点，点，
设直线的解析式为，
将点，点代入其中；
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，
则，，
，
时，线段的最大值为；
②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，．如图：
，
，
，
，
，
，
，
的解析式为，
，
由，得，
设点的横坐标为，则，，
得，
令，，解得或，
故为或．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用，解题的关键是根据函数图象上坐标点的特征得出、的代数表达式．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)
（1）设，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据等边对等角得，由列出方程，求解可得答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）在上截取，连接，证明，得，根据勾股定理得出的值，进而再根据勾股定理得出结果．
（1）解：设，
∵点与点关于射线对称，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图，
在上截取，连接，
∵点与点关于射线对称，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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