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江苏连云港市海州区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值是 ．
A. B. C. D.
2.设随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列如下：
若，则( )
A. B. C. D.
5.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是”，则等于( )
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是( )
A. B. C. D.
7.某游客计划天内游览完，，，，这个景点，每天至多游览个景点，且，两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为
A. B.
C. D.
8.如图，已知两个正方形，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．点，分别在正方形对角线和上移动，且．当的长最小时，直线和夹角的余弦值是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为钝角，则
10.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
11.如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 不存在点，使得平面平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 若正方体棱长为，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种
14.某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为若前一次命中，则下一次命中的概率为；若前一次未命中，则下一次命中的概率为该运动员第二次投篮命中的概率为 ；若这名篮球运动员做组投篮训练，每组连续投篮次，次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这组投篮训练中成功的次数为，则期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从名男生和名女生中选出人去参加一项创新比赛．
如果所选人中恰有男生人，女生人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？
如果所选人中男生不少于人，那么有多少种选法？
16.本小题分
已知，的二项展开式中第项与第项的二项式系数相等．
求的值与展开式中各项的系数和；
求展开式中二项式系数最大的项．
17.本小题分
如图，三棱锥中，平面，，，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为假设游客之间选择上、下山的方式互不影响．
从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；
从该景区出口随机选取名下山的游客，记为这人中步行下山的游客人数，求的分布列及数学期望．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
求证：平面；
若，
求平面与平面夹角的正弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.解：由题知，，由组合数性质可知，；
令得展开式中各项的系数和为
因为，所以展开式共有项，
由二项式系数的性质可知，第项的二项式系数最大，
所以．

17.解：因为平面，平面，因此，
，故，
在等腰中，易知，，
由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理，
可得，故有，则，
因为，平面，且、，
所以平面．
由知，、、三者两两垂直，
则以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又，可得，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
又，，
设平面的法向量为，则，即
令，则可得平面的一个法向量，为，
所以平面与平面的夹角余弦值为．

18.解：设事件为“游客步行上山”，事件为“游客乘观览车上山”，事件为“游客步行下山”，
由题意可知，，，，
由全概率公式，
即该游客是步行下山的概率为．
由可知每位游客步行下山的概率均为，故这人中步行下山的游客人数，
故，
所以的分布列为
的数学期望．

19.解：取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，所以平面；
因为平面，且，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为；
存在点满足题意，
易知，
假设存在点满足题意，设，
所以，
设平面的法向量为，则
令，则，
所以点到平面的距离，化简可得，
解得或舍去，即．

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