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云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（A卷）试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则( )
A. B. C. D.
5.现有张卡片，分别写上数字，，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则( )
A. B. C. D.
6.对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是( )
A. 越大，与的线性相关性越弱
B. 若，则
C. 若，则
D. 若样本点都在回归直线上，则
7.已知，是随机事件，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为令，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和的最大值为
10.下列选项正确的是( )
A.
B. 若样本数据的样本方差为，则数据的方差为
C. 已知随机变量，若，则
D. 某班要从名候选人中选名组成学生会，已知有名候选人是男生，假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人是男生的人数，则恰有名男生被选到的概率为
11.已知函数，记方程的根为，下列有关的结论正确的是( )
A.
B.
C. ，其中
D. 函数的最小值不可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线的一条切线方程为，则实数 ．
13.由位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有 种
14.如图所示，一张长方形光滑桌上，左侧有个小球，右侧有个小球，它们排成一条直线相向滚动滚动规则如下：

规则：如果两个小球迎面碰撞，会立刻调头反向滚动；
规则：当小球滚到桌面边缘时，会从桌面掉落．
当桌面上所有小球都掉落之后，记所有小球碰撞的总次数为，则 ；若，写出满足条件的一组为 小球相同，忽略其它影响小球滚动因素
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到名学生的测验成绩，得到如下列联表：
成绩优秀 成绩不优秀 总计
不认真完成作业
认真完成作业
总计
求；
记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值；
能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？
附：．
16.本小题分
年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立．
求这人中至多有人通过第一轮的概率；
从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率．
17.本小题分
已知数列满足，且．
求数列的前项和；
记数列的前项和为若对任意恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：假设三个探测元件对路况的判断相互独立
测试结果真实路况 探测元件 探测元件 探测元件
有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别
无障碍
有障碍
从这个路段中随机抽取一个路段，求探测元件对该路况判断正确的概率；
从这个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件和探测元件对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望；
现有一辆小汽车同时装载了以上种探测元件，在通过某路段时，只要个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于直接写出探测元件、、其中一个，结论不要求证明
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调递增区间；
当时，求的最小值；
证明：当时，有唯一零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由列联表知，
由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为，
所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为．
零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关；
由列联表得到，
所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效．

16.解：记人中通过第一轮的人数为，由题意可知，
记“人中至多有人通过第一轮”为事件，
则．
记随机选择小明、小华、小方的事件分别为、、，通过第二轮的事件记为，
则由题意可知，
，，，
则
所以从人中随机选出一人，通过第二轮的概率为．

17.解：由，则，
则，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，且所以，
故．
由知，
，
则，
则
，
则，
由恒成立，
，
．

18.解：由题设表格中的数据，这个路段中，
探测元件判断正确的路段有个，
设“探测元件对该路况判断正确”为事件，则．
这个路段中无障碍的路段共有个，
在这个无障碍的路段中，探测元件判断正确的有个，错误的有个，
探测元件判断正确的有个，错误的有个，
所以探测元件判断正确的概率，错误的概率为，
探测元件判断正确的概率，错误的概率为，
由题意得，随机变量的所有可能取值为，，，
可得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
可以通过提高探测元件的判断准确率，
使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．
理由如下：共有个无障碍的路段，
探测元件判断无障碍的有个，由频率估计概率，所以无障碍路段上，
估计探测元件判断无障碍的概率，
探测元件判断无障碍的有个，由频率估计概率，所以无障碍路段上，
估计探测元件判断无障碍的概率，
设探测元件无障碍判断正确的概率为，
小汽车在无障碍的道路上减速的概率为，
若，可得，解得，
又原探测元件无障碍判断正确的概率为，，
所以可以通过提高探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．

19.解：易知的定义域为，，
当时，，又易知是递增函数，且时，，
所以当时，，则有，
当时，，则有，
所以对任意的，都有，当且仅当时取等号，
故的增区间为．
因为，当时，有恒成立，
所以当时，则，即在区间上单调递增，
当时，则，即在区间上单调递减，
所以，故．
当时，令，得到或，
当时，
所以或时，则，即在区间和上单调递增；
当时，则，即在区间上单调递减，
则在时有极小值，
在时有极大值，，
又时，，
由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，
当时，由知在上单调递增，又时，，时，，
所以时，有且仅有一个零点，
当时，，
当或时，则，即在区间和上单调递增，
当时，则，即在区间上单调递减，
又，时，，
由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，
综上所述，有且仅有一个零点．

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