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云南普洱市墨江第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥
2.集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.不等式对任意恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则( )
A. B. C. D.
7.已知是的重心，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于平面向量，下列结论不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 在上单调递增 B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称 D. 恰有个零点
11.已知的内角，，的对边分别为，，，若，且的面积，则( )
A.
B.
C.
D. 关于的方程存在个不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的虚部为 ．
13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，且，，，则在中， ．
14.已知向量满足，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，
求；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，点，点．
求的解析式；
求的单调递增区间；
求在上的值域．
17.本小题分
在正方体中，为的中点，与平面交于点．
求三棱锥的体积；
求三棱锥外接球的表面积；
证明：，，三点共线．
18.本小题分
如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点含端点．
若，用表示；
求的取值范围；
延长到点，使得，若，求．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，．
若，求；
判断是否为定值若是，求出该定值；若不是，说明理由；
若，设的面积分别为，求的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
则；
因为，所以，
则．
设与的夹角为，
则．

16.解：由图可得，所以，即，
解得．
将的坐标代入中，得，即
所以，因为，所以．
故．
令，
得，
所以的单调递增区间为．
设，由，得，
所以，
所以，
故在上的值域为．

17.解：三棱锥的体积为．
三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
又正方体外接球的直径，
所以三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
连接，，易得，所以四点共面．
由为的中点，得为的中点，则．
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
因为与平面交于点，所以平面，．
因为平面，所以平面，则为平面与平面的公共点，
所以，所以三点共线．

18.解：因为，所以．
又是的中点，所以，
从而．
方法一因为是线段上的点，
所以．
又，所以
．
由，得，故的取值范围为．
方法二，分别记在上的射影为．
由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值，
当运动到点处时，取得最大值．
记的交点为，易得，
则，
则，
则，故的取值范围为．
由题可知，
因为，所以．
又，所以，
则，从而，
，
则，
则．

19.解：设，则．
由，得．
在中，．
在中，
．
在中，
，
则，
得，
故是定值，且该定值为．
，
，
则．
由可知，
则，
则．
设，则．
由，得．
令，则．
易知函数在内单调递减，则，
则，
则，
故的取值范围为．

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