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广东省佛山市南海区2024-2025学年下学期中小学期末考试七年级数学试卷
1．计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故选：A．
【分析】
根据积的乘方公式：，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即可解答。
2．未来将是一个可以预见的AI时代，下列由作出的简笔画中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【分析】本题主要考查了轴对称图形．根据轴对称图形的概念—如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，求解即可．
3．科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“0.00000000065”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字“0.00000000065”用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．下列诗句描述的事件中，发生的可能性最小的是（　　）
A．手可摘星辰 B．黄梅时节家家雨
C．处处闻啼鸟 D．清明时节雨纷纷
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A：“手可摘星辰”意为用手摘星星，现实中不可能实现，属于不可能事件，发生的可能性为0；
B：“黄梅时节家家雨”描述梅雨季节普遍降雨的现象，符合气候规律，发生的可能性较高；
C：“处处闻啼鸟”指到处听到鸟鸣，在自然环境良好的区域较常见，可能性较高；
D：“清明时节雨纷纷”反映清明节多雨的天气现象，可能性较高；
故选：A．
【分析】
此题考查事件发生大小，根据诗句描述的事件，判断其发生的可能性大小。
事件按发生的可能性可以分为三类：
1. 可能事件：一定不会发生，可能性为 0（比如这道题的 A 选项）。
2. 随机事件：可能发生也可能不发生，可能性在 0 到 1 之间（B、C、D 都属于这类，只是发生概率较高）。
3. 必然事件：一定会发生，可能性为 1。
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．5，11，5 C．12，7，4 D．7，8，9
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．最长边为5，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
B．最长边为11，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
C．最长边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
D．最长边为9，，满足条件；且，，均成立，能组成三角形．
故选：D．
【分析】
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，简化判断方法：只需验证 “只要两条短边的和大于最长边，那么任意两边之和都会大于第三边”即可。
6．如图，在中，是的角平分线，点在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故选：B
【分析】
根据 平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补。可得，所以，根据角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角。可得。
7．如图，，且，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
根据全等三角形的性质可知全等三角形的对应边相等、对应角相等。即，。，所以。
8．如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（　　）
A．南偏西方向上的1200米处 B．北偏东方向上的1200米处
C．南偏西方向上的1200米处 D．距离学校1200米处
【答案】B
【知识点】方位角；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：，
由图形知，学校在小明家的北偏东方向上的1200米处，
故选：B．
【分析】根据方位角即可求出答案.
9．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意；
由B选项可得：，故本选项不符合题意；
由C选项可得：，故本选项符合题意；
由选项D可得：，故本选项不符合题意，
故选：C．
【分析】
对要验证的公式大致梳理：
1. 左边表示边长为的大正方形的面积；
2. 右边 表示边长为的小正方形的面积，再加上 4 个长为、宽为的小长方形的面积的和。
3. 整个公式的几何意义是：大正方形的面积 = 中间小正方形的面积 + 4 个小长方形的面积
整理分析可得答案。
10．学校开展科技活动时，科技小组成员找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，再在镜片后放置光屏正对镜片．不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时测量镜片与光斑之间的距离，得到表格中数据．下列说法正确的是（　　）
老花镜的度数度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
A．与都是常量
B．老花镜的度数是因变量
C．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑之间的距离减少0.1m
D．老花镜的度数越小，镜片与光斑之间的距离越大
【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：选项A：D与f均为变量，因不同度数对应不同距离，故A错误．
选项B：实验中通过改变度数D（自变量）测量对应的f（因变量），故D是自变量，B错误．
选项C：数据中，D每增加50度时，f的减少量并非固定．例如，D从200→250度（+50度），f减少；但D从100→200度（+100度），f减少（每50度减少），说明变化量不恒定，C错误．
选项D：由表格可知，D越小，f越大．例如，度时，，度时，，符合数据规律，D正确．
故选D．
【分析】
老花镜的度数 D 是我们主动改变的量，属于自变量。镜片与光斑的距离 f 是随着度数变化而改变的量，属于因变量。故A、B错误；
100 度到 150 度（+50 度）：表格中没有对应数据，但D从100到200度（+100度），f减少（每50度减少），与C选项不符合，故C错误；
观察数据：度数 100 度（最小），距离 1m（最大）；度数 300 度（最大），距离 0.3m（最小）；整体趋势是度数越小，距离越大。故D正确。
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
这道题考察单项式乘单项式的运算法则
1. 系数相乘：
2. 同底数幂相乘：
3. 合并结果：。
12．小鹏发现，按照航空公司的规定，他需交的行李费用（单位：元）和携带的行李量（单位：）的关系是，则他携带行李需要交行李费　 　元．
【答案】300
【知识点】函数自变量的取值范围；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当时，，
∴他携带 行李需要交行李费 300 元．
故答案为：300．
【分析】
根据行李费用公式： 其中为行李重量（kg），为费用（元），要求携带 30kg 行李时的费用， 将 代入公式即可。
13．小麦种子在储存期中若保管不善，易引起霉变或虫蛀而降低发芽率．播种前应做好发芽试验，避免造成出苗不好的损失，并为确定播种量提供依据．某次发芽率实验结果如下表所示．根据实验所得数据，估计“发芽种子”的概率是　 　．（精确到0.01）
种子个数 200 500 800 1000 1500 2000
发芽种子个数 181 435 739 914 1362 1824
发芽种子频率 0.905 0.870 0.924 0.914 0.908 0.912
【答案】0.91
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据实验所得数据，估计“发芽种子”的概率是0.91，
故答案为：0.91．
【分析】
当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率。
表格中给出的发芽种子频率分别是
0.905 0.870 0.924 0.914 0.908 0.912
随着种子个数（试验次数）增加，频率在 0.91 附近波动，逐渐稳定下来。
根据频率估计概率，精确到 0.01，即“发芽种子” 的概率是0.91。
14．当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：点为的延长线上一点，
，
，
故答案为：．
【分析】
是 的延长线，因此 和是对顶角 ，根据对顶角相等求出，由图可知，，代入数值即可。
15．如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
【分析】的面积的面积的面积，得，平分，，，可得，，最后根据是的中线求出，的面积即可用求解。
16．计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】分别展开两部分，加号左边，加号右边展开，这里用到平方差公式，将两部分结果相加：。
17．如图，已知，那么与平行吗？说说你的理由．
解：因为 ① ，
根据“两直线平行， ② 相等”，
所以 ③ ，
又因为，
所以 ④ ，
根据“ ⑤ ”，
所以．
【答案】解：因为①，根据“两直线平行，②同位角相等”，
所以③，
又因为，
所以④，
根据“⑤同位角相等，两直线平行”．
所以．
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据 “两直线平行，同位角相等”和 “同位角相等，两直线平行”解答。
已知
由 “两直线平行，同位角相等”，得；
又已知，通过等量代换，得；
由 “同位角相等，两直线平行”，可判定。
18．如图，野生动物检测员在野外 点处，正对他的点有一只羚羊．他想知道这只羚羊距离他有多远，他沿着直线一直走，到一块大石头旁，所走直线．接着再往前走相同的距离，到达点．然后他左转后直行，当能看到大石头与羚羊在同一条直线上时停下来，此时他位于点，测出 的长就等于的长．请你说明其中的道理．
【答案】解：在和中，因为，
根据三角形全等的判定条件“”，
所以，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】在和中，（垂直定义），（已知，两次走了相同距离），（对顶角相等），根据 ASA（角 - 边 - 角）全等判定定理，可得， 根据全等三角形的性质，对应边相等，即。
19．一个不透明的袋中共有10个球，其中6个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，求摸到白球的概率．
（2）保持袋中总球数不变，改变红球和白球的数量，使得从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，问需要将多少个红球换成白球？
【答案】（1）解：从袋中任意摸出一个球，摸出每一个球的可能性相同，其有10种等可能的结果．摸出一个白球有4种等可能的结果．
（摸出白球）．
（2）解：（个），（个），
答：需要将4个红球改成白球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（1）根据概率公式；，代入数据求解即可；
（2）由于“ 保持袋中总球数不变”，则摸到红球的概率是时红球的个数：（个），所以替换的白球个数为（个）。
（1）解：从袋中任意摸出一个球，摸出每一个球的可能性相同，其有10种等可能的结果．摸出一个白球有4种等可能的结果．
（摸出白球）．
（2）解：（个），（个），
答：需要将4个红球改成白球．
20．（1）直尺作图：如图1，直线上的点和点在格点上，请你只用直尺，画直线的垂线．
（2）尺规作图：如图2，请你用尺规过点作的平行线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图—一个角等于已知角，平行线的判定：
（1） 利用网格的直角特性和勾股定理的逆定理，找到与 AB 垂直的方向；
操作步骤：
1. 用直尺连接两个格点，使这条线与 AB 满足垂直比例；
2. 确保这条线经过直线 AB 上的某一点（如点 A 或点 B），标记为 MN，即为所求垂线。
（2） 利用 "同位角相等，两直线平行"的判定定理，构造一个与∠B 相等的同位角。
操作步骤：
1. 以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，交 BA、BC 于两点；
2. 以点 C 为圆心，用同样的半径画弧，交 CB 的延长线于一点；
3. 用圆规量取第一步中弧与 BA、BC 交点的距离，再以第二步中的交点为圆心画弧，与上一步的弧交于一点；
4. 过点 C 和这个交点画直线 CE，即为所求的平行线。
21．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题：
（1）　 　，　 　，题2图中　 　．
（2）当点在边运动时，求与的关系式．
【答案】（1）3；6；18
（2）解：，∴
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：当时点从点运动到点，，
∴，
点从点运动到点，面积从变化到，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；6；18；
【分析】
分析的面积与点的运动时间的关系，明确为定量，面积是以点到EF的垂线为变量变化的。
(1)动点 从出发，速度为， 当时，到达点（面积开始变化），说明；
当 在 上运动时，的面积保持
不变， 此时高为
，底为
根据三角形面积公式：，可求得；
当 在 上运动时，的最大面积（即在上时）为；
(2) 求与的关系式 ，首先确定中的高的长：，其次运用此时三角形的面积公式：即可求出答案。
（1）解：当时点从点运动到点，，
∴，
点从点运动到点，面积从变化到，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；6；18；
（2）解：，
∴．
22．综合与实践
学习了综合与实践《设计自己的运算程序》后，乐乐设计了一个探索两位数的“九九归一”运算程序：任意写一个两位数；计算该数十位数字与个位数字之和，用原数减去这个和，得到新数；若新数是两位数，重复上述过程，直到结果为个位数．
（1）若写下的是47，根据乐乐设计的运算程序，写出找到结果的详细过程．
（2）乐乐在运算过程中发现并验证了如下猜想：若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，则该数的个位数与十位数之和总是等于　 　.9
（3）根据以上猜想，试结合代数式解释，任意选择一个两位数，该运算程序的结果总是同一个数．
【答案】（1）解：，，，；
（2）9
（3）解：设两位数为，且a，b为整数），则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算：，即为9的倍数。
这个数可以为9，18，27，36，45，54，63，72，81
∵在两位数中，，，，，，，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
【知识点】整式的加减运算；有理数的加、减混合运算
【解析】解：（2）∵一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴这个两位数可以为18，27，36，45，54，63，72，81，90
∵，，，，，，，，
∴该数的个位数与十位数之和总是等于9；
故答案为：9.
【分析】
（1）第一步：原数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
第二步：新数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
第三步：新数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
第四步：新数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
结果是个位数，运算结束。
（2）分析“ 若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98 ”，则这两位数为：；
按照“十位数字+个位数字”逐一验证即可；
（3）设两位数为，且a，b为整数），则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算： 用原数减去数字和：；此时9a为9的倍数且除开9以外，对于的后续运算：根据 (2) 中的猜想，的倍数的两位数，其数字和为，所以；，再运算一次：； 同理，，.....
重复此过程，直到结果为个位数时，必然得到。
（1），，，；
（2）∵一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴这个两位数可以为18，27，36，45，54，63，72，81，90
∵，，，，，，，，
∴该数的个位数与十位数之和总是等于9；
（3）设两位数为，且a，b为整数），
则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算：，
方法一：设，且m、n为整数)，
，
是9的倍数，
，
，
依次减少9，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
方法二：，
，
往后的每次运算都比上一次减少9，
是9的倍数．
若干次操作后，最后结果一定选9，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
方法三：一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴该数的个位数字与十位数字之和总是等于9．
∴第一次运算的结果9a为9的倍数，且．
往后作次运算的结果分别为：，
即运算结果依次减少9
该运算程序的结果总是同一个数：9．
23．综合探究
“特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题．
是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且．
（1）如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系： ．
（2）如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：连接，
，
，点为中点，
，
，
，
（AAS），
．
（3）解：作 ，截取，
．
，
，
（SAS），
，
，
连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值．
此时，，
（AAS），
，
即，
，
当时，有最小值．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）
∵是等腰直角三角形，点为边的中点
∴
∵点与点重合，点与点重合
∴
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可得到；
（2）连接，如图，
利用等腰直角三角形性质：，， 结合， 通过的等量代换， 可得：， 进而证明，从而得到；
（3）作 ，截取，如图：
，证明出（SAS），连接，与 交于点，当点与点重合时（三点共线时），有最小值，此时（对角线相等），即（AAS），即得 当为中点时 ，满足条件。
（1）解：
∵是等腰直角三角形，点为边的中点
∴
∵点与点重合，点与点重合
∴
（2）解：连接，
，
，点为中点，
，
，
，
（AAS），
．
（3）解：作 ，截取，
．
，
，
（SAS），
，
，
连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值．
此时，，
（AAS），
，
即，
，
当时，有最小值．
1 / 1广东省佛山市南海区2024-2025学年下学期中小学期末考试七年级数学试卷
1．计算：（　　）
A． B． C． D．
2．未来将是一个可以预见的AI时代，下列由作出的简笔画中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“0.00000000065”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列诗句描述的事件中，发生的可能性最小的是（　　）
A．手可摘星辰 B．黄梅时节家家雨
C．处处闻啼鸟 D．清明时节雨纷纷
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．5，11，5 C．12，7，4 D．7，8，9
6．如图，在中，是的角平分线，点在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，且，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
8．如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（　　）
A．南偏西方向上的1200米处 B．北偏东方向上的1200米处
C．南偏西方向上的1200米处 D．距离学校1200米处
9．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（　　）
A． B．
C． D．
10．学校开展科技活动时，科技小组成员找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，再在镜片后放置光屏正对镜片．不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时测量镜片与光斑之间的距离，得到表格中数据．下列说法正确的是（　　）
老花镜的度数度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
A．与都是常量
B．老花镜的度数是因变量
C．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑之间的距离减少0.1m
D．老花镜的度数越小，镜片与光斑之间的距离越大
11．计算：　 　．
12．小鹏发现，按照航空公司的规定，他需交的行李费用（单位：元）和携带的行李量（单位：）的关系是，则他携带行李需要交行李费　 　元．
13．小麦种子在储存期中若保管不善，易引起霉变或虫蛀而降低发芽率．播种前应做好发芽试验，避免造成出苗不好的损失，并为确定播种量提供依据．某次发芽率实验结果如下表所示．根据实验所得数据，估计“发芽种子”的概率是　 　．（精确到0.01）
种子个数 200 500 800 1000 1500 2000
发芽种子个数 181 435 739 914 1362 1824
发芽种子频率 0.905 0.870 0.924 0.914 0.908 0.912
14．当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为　 　．
15．如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为　 　．
16．计算：．
17．如图，已知，那么与平行吗？说说你的理由．
解：因为 ① ，
根据“两直线平行， ② 相等”，
所以 ③ ，
又因为，
所以 ④ ，
根据“ ⑤ ”，
所以．
18．如图，野生动物检测员在野外 点处，正对他的点有一只羚羊．他想知道这只羚羊距离他有多远，他沿着直线一直走，到一块大石头旁，所走直线．接着再往前走相同的距离，到达点．然后他左转后直行，当能看到大石头与羚羊在同一条直线上时停下来，此时他位于点，测出 的长就等于的长．请你说明其中的道理．
19．一个不透明的袋中共有10个球，其中6个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，求摸到白球的概率．
（2）保持袋中总球数不变，改变红球和白球的数量，使得从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，问需要将多少个红球换成白球？
20．（1）直尺作图：如图1，直线上的点和点在格点上，请你只用直尺，画直线的垂线．
（2）尺规作图：如图2，请你用尺规过点作的平行线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
21．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题：
（1）　 　，　 　，题2图中　 　．
（2）当点在边运动时，求与的关系式．
22．综合与实践
学习了综合与实践《设计自己的运算程序》后，乐乐设计了一个探索两位数的“九九归一”运算程序：任意写一个两位数；计算该数十位数字与个位数字之和，用原数减去这个和，得到新数；若新数是两位数，重复上述过程，直到结果为个位数．
（1）若写下的是47，根据乐乐设计的运算程序，写出找到结果的详细过程．
（2）乐乐在运算过程中发现并验证了如下猜想：若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，则该数的个位数与十位数之和总是等于　 　.9
（3）根据以上猜想，试结合代数式解释，任意选择一个两位数，该运算程序的结果总是同一个数．
23．综合探究
“特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题．
是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且．
（1）如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系： ．
（2）如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故选：A．
【分析】
根据积的乘方公式：，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即可解答。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【分析】本题主要考查了轴对称图形．根据轴对称图形的概念—如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，求解即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字“0.00000000065”用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A：“手可摘星辰”意为用手摘星星，现实中不可能实现，属于不可能事件，发生的可能性为0；
B：“黄梅时节家家雨”描述梅雨季节普遍降雨的现象，符合气候规律，发生的可能性较高；
C：“处处闻啼鸟”指到处听到鸟鸣，在自然环境良好的区域较常见，可能性较高；
D：“清明时节雨纷纷”反映清明节多雨的天气现象，可能性较高；
故选：A．
【分析】
此题考查事件发生大小，根据诗句描述的事件，判断其发生的可能性大小。
事件按发生的可能性可以分为三类：
1. 可能事件：一定不会发生，可能性为 0（比如这道题的 A 选项）。
2. 随机事件：可能发生也可能不发生，可能性在 0 到 1 之间（B、C、D 都属于这类，只是发生概率较高）。
3. 必然事件：一定会发生，可能性为 1。
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．最长边为5，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
B．最长边为11，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
C．最长边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
D．最长边为9，，满足条件；且，，均成立，能组成三角形．
故选：D．
【分析】
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，简化判断方法：只需验证 “只要两条短边的和大于最长边，那么任意两边之和都会大于第三边”即可。
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故选：B
【分析】
根据 平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补。可得，所以，根据角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角。可得。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
根据全等三角形的性质可知全等三角形的对应边相等、对应角相等。即，。，所以。
8．【答案】B
【知识点】方位角；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：，
由图形知，学校在小明家的北偏东方向上的1200米处，
故选：B．
【分析】根据方位角即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意；
由B选项可得：，故本选项不符合题意；
由C选项可得：，故本选项符合题意；
由选项D可得：，故本选项不符合题意，
故选：C．
【分析】
对要验证的公式大致梳理：
1. 左边表示边长为的大正方形的面积；
2. 右边 表示边长为的小正方形的面积，再加上 4 个长为、宽为的小长方形的面积的和。
3. 整个公式的几何意义是：大正方形的面积 = 中间小正方形的面积 + 4 个小长方形的面积
整理分析可得答案。
10．【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：选项A：D与f均为变量，因不同度数对应不同距离，故A错误．
选项B：实验中通过改变度数D（自变量）测量对应的f（因变量），故D是自变量，B错误．
选项C：数据中，D每增加50度时，f的减少量并非固定．例如，D从200→250度（+50度），f减少；但D从100→200度（+100度），f减少（每50度减少），说明变化量不恒定，C错误．
选项D：由表格可知，D越小，f越大．例如，度时，，度时，，符合数据规律，D正确．
故选D．
【分析】
老花镜的度数 D 是我们主动改变的量，属于自变量。镜片与光斑的距离 f 是随着度数变化而改变的量，属于因变量。故A、B错误；
100 度到 150 度（+50 度）：表格中没有对应数据，但D从100到200度（+100度），f减少（每50度减少），与C选项不符合，故C错误；
观察数据：度数 100 度（最小），距离 1m（最大）；度数 300 度（最大），距离 0.3m（最小）；整体趋势是度数越小，距离越大。故D正确。
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
这道题考察单项式乘单项式的运算法则
1. 系数相乘：
2. 同底数幂相乘：
3. 合并结果：。
12．【答案】300
【知识点】函数自变量的取值范围；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当时，，
∴他携带 行李需要交行李费 300 元．
故答案为：300．
【分析】
根据行李费用公式： 其中为行李重量（kg），为费用（元），要求携带 30kg 行李时的费用， 将 代入公式即可。
13．【答案】0.91
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据实验所得数据，估计“发芽种子”的概率是0.91，
故答案为：0.91．
【分析】
当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率。
表格中给出的发芽种子频率分别是
0.905 0.870 0.924 0.914 0.908 0.912
随着种子个数（试验次数）增加，频率在 0.91 附近波动，逐渐稳定下来。
根据频率估计概率，精确到 0.01，即“发芽种子” 的概率是0.91。
14．【答案】
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：点为的延长线上一点，
，
，
故答案为：．
【分析】
是 的延长线，因此 和是对顶角 ，根据对顶角相等求出，由图可知，，代入数值即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
【分析】的面积的面积的面积，得，平分，，，可得，，最后根据是的中线求出，的面积即可用求解。
16．【答案】解：原式．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】分别展开两部分，加号左边，加号右边展开，这里用到平方差公式，将两部分结果相加：。
17．【答案】解：因为①，根据“两直线平行，②同位角相等”，
所以③，
又因为，
所以④，
根据“⑤同位角相等，两直线平行”．
所以．
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据 “两直线平行，同位角相等”和 “同位角相等，两直线平行”解答。
已知
由 “两直线平行，同位角相等”，得；
又已知，通过等量代换，得；
由 “同位角相等，两直线平行”，可判定。
18．【答案】解：在和中，因为，
根据三角形全等的判定条件“”，
所以，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】在和中，（垂直定义），（已知，两次走了相同距离），（对顶角相等），根据 ASA（角 - 边 - 角）全等判定定理，可得， 根据全等三角形的性质，对应边相等，即。
19．【答案】（1）解：从袋中任意摸出一个球，摸出每一个球的可能性相同，其有10种等可能的结果．摸出一个白球有4种等可能的结果．
（摸出白球）．
（2）解：（个），（个），
答：需要将4个红球改成白球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（1）根据概率公式；，代入数据求解即可；
（2）由于“ 保持袋中总球数不变”，则摸到红球的概率是时红球的个数：（个），所以替换的白球个数为（个）。
（1）解：从袋中任意摸出一个球，摸出每一个球的可能性相同，其有10种等可能的结果．摸出一个白球有4种等可能的结果．
（摸出白球）．
（2）解：（个），（个），
答：需要将4个红球改成白球．
20．【答案】解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图—一个角等于已知角，平行线的判定：
（1） 利用网格的直角特性和勾股定理的逆定理，找到与 AB 垂直的方向；
操作步骤：
1. 用直尺连接两个格点，使这条线与 AB 满足垂直比例；
2. 确保这条线经过直线 AB 上的某一点（如点 A 或点 B），标记为 MN，即为所求垂线。
（2） 利用 "同位角相等，两直线平行"的判定定理，构造一个与∠B 相等的同位角。
操作步骤：
1. 以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，交 BA、BC 于两点；
2. 以点 C 为圆心，用同样的半径画弧，交 CB 的延长线于一点；
3. 用圆规量取第一步中弧与 BA、BC 交点的距离，再以第二步中的交点为圆心画弧，与上一步的弧交于一点；
4. 过点 C 和这个交点画直线 CE，即为所求的平行线。
21．【答案】（1）3；6；18
（2）解：，∴
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：当时点从点运动到点，，
∴，
点从点运动到点，面积从变化到，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；6；18；
【分析】
分析的面积与点的运动时间的关系，明确为定量，面积是以点到EF的垂线为变量变化的。
(1)动点 从出发，速度为， 当时，到达点（面积开始变化），说明；
当 在 上运动时，的面积保持
不变， 此时高为
，底为
根据三角形面积公式：，可求得；
当 在 上运动时，的最大面积（即在上时）为；
(2) 求与的关系式 ，首先确定中的高的长：，其次运用此时三角形的面积公式：即可求出答案。
（1）解：当时点从点运动到点，，
∴，
点从点运动到点，面积从变化到，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；6；18；
（2）解：，
∴．
22．【答案】（1）解：，，，；
（2）9
（3）解：设两位数为，且a，b为整数），则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算：，即为9的倍数。
这个数可以为9，18，27，36，45，54，63，72，81
∵在两位数中，，，，，，，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
【知识点】整式的加减运算；有理数的加、减混合运算
【解析】解：（2）∵一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴这个两位数可以为18，27，36，45，54，63，72，81，90
∵，，，，，，，，
∴该数的个位数与十位数之和总是等于9；
故答案为：9.
【分析】
（1）第一步：原数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
第二步：新数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
第三步：新数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
第四步：新数是，十位数字+个位数字=，用原数减去这个和：；
结果是个位数，运算结束。
（2）分析“ 若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98 ”，则这两位数为：；
按照“十位数字+个位数字”逐一验证即可；
（3）设两位数为，且a，b为整数），则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算： 用原数减去数字和：；此时9a为9的倍数且除开9以外，对于的后续运算：根据 (2) 中的猜想，的倍数的两位数，其数字和为，所以；，再运算一次：； 同理，，.....
重复此过程，直到结果为个位数时，必然得到。
（1），，，；
（2）∵一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴这个两位数可以为18，27，36，45，54，63，72，81，90
∵，，，，，，，，
∴该数的个位数与十位数之和总是等于9；
（3）设两位数为，且a，b为整数），
则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算：，
方法一：设，且m、n为整数)，
，
是9的倍数，
，
，
依次减少9，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
方法二：，
，
往后的每次运算都比上一次减少9，
是9的倍数．
若干次操作后，最后结果一定选9，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
方法三：一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴该数的个位数字与十位数字之和总是等于9．
∴第一次运算的结果9a为9的倍数，且．
往后作次运算的结果分别为：，
即运算结果依次减少9
该运算程序的结果总是同一个数：9．
23．【答案】（1）
（2）解：连接，
，
，点为中点，
，
，
，
（AAS），
．
（3）解：作 ，截取，
．
，
，
（SAS），
，
，
连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值．
此时，，
（AAS），
，
即，
，
当时，有最小值．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）
∵是等腰直角三角形，点为边的中点
∴
∵点与点重合，点与点重合
∴
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可得到；
（2）连接，如图，
利用等腰直角三角形性质：，， 结合， 通过的等量代换， 可得：， 进而证明，从而得到；
（3）作 ，截取，如图：
，证明出（SAS），连接，与 交于点，当点与点重合时（三点共线时），有最小值，此时（对角线相等），即（AAS），即得 当为中点时 ，满足条件。
（1）解：
∵是等腰直角三角形，点为边的中点
∴
∵点与点重合，点与点重合
∴
（2）解：连接，
，
，点为中点，
，
，
，
（AAS），
．
（3）解：作 ，截取，
．
，
，
（SAS），
，
，
连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值．
此时，，
（AAS），
，
即，
，
当时，有最小值．
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