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浙江省26届中考数学精准预测卷三
（精选浙江中考，模拟经典真题，必考题型，最新变式题型）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个数中绝对值最大的是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．中央广指电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友布上了一道年味浓郁、文化醇厚、利技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达230.63亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（　　）
A．2.3063×1010 B．2.3063×109
C．2.3063×108 D．230.63×107
3．如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算中不正确的是（　　）
A．m2 m4＝m6 B．（﹣m2）4＝m8 C．m6÷m2＝m3 D．2m2﹣m2＝m2
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF＝3AC，点E坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：1尺＝10寸）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，连接AE，BD，则四边形ABDE的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，若点A（1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1+y2的值为（　　）
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．不能确定
9．若A＝3x2﹣2xy+2，B＝x2﹣y2+1，则A，B的大小关系为（　　）
A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B
10．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x（s），△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G（1，9）和E（n，q），点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（　　）
A．点D坐标为（3，0） B．当y＝9时，x＝1或7
C．q＝32 D．点（10，34）在该函数图象上
二．填空题（共6小题）
11．计算：当x＝2时，二次根式　 　 ．
12．因式分解：a2+2a＝　 　 ．
13．一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是 　 　 ．
14．如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　 ．
15．如图，边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆O恰好与BC相切于点F，则⊙O的半径为　 　 ．
16．如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，连结BE，作点A关于直线BE的对称点A′，连结A′E交BD于点F，若点A'恰为DC的中点，则△BEF与△ABE的面积比为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：； （2）解方程：．
18．如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在BC上找一点D，使得AD平分△ABC面积．
（2）在图2中，在BC上找一点E，使得AE将△ABC分成面积比为1：2的两部分．（找到一个即可）
19．成都大运会期间，3.12万名志愿者“小青椒”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青椒”，必须经过层层考验，下面是大运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
选手 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验
甲 10 9 9 7
乙 9 8 10 8
（1）填空：甲选手的四项成绩的众数是 　 　 分，乙选手的四项成绩的中位数是 　 　 分；
（2）如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按4：3：2：1的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青椒”．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，连结DE，∠ABC的平分线交DE于点F．
（1）求证：∠DBF＝∠DFB．
（2）若DF＝EF，BC＝12，求BD的长．
21．定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b（a＜b）范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
（1）对于一次函数y＝2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值．
（2）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在0≤x≤3的范围内，M＝0，m＝﹣3．” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M﹣m＝4，则M＝0，m＝﹣4．”
甲、乙两位同学的说法正确吗？请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由．
22．如图1，⊙O的周长为4厘米，AB为⊙O的直径．动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P出发1秒后，动点Q也从A点出发，以v厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点P运动t秒时，点P，Q与点A间的劣弧（或半圆）长分别记为y1，y2，则y1，y2关于t的函数图象如图2所示．
（1）试确定动点Q的速度v．
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式，并求出当时，y1的值．
（3）若图2中的点C为两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求此时点P，点Q间的劣弧长．
23．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点A（m，n）为平面直角坐标系内一点．
（1）若将点A（m，n）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A′，求点A的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l：y＝x+1平移得直线l′，设直线l上任意一点A（m，n）平移后的对应点为A′．若直线l的平移距离，且直线AA′平行于第二、四象限的角平分线，求直线l′的函数表达式；
（3）将抛物线沿着射线y＝2x（x≥0）方向平移得到抛物线，当0≤x≤4时，抛物线上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过A，B，C三点，AD，DC分别与⊙O相切于点A，C，连接BD与⊙O相交于点E，连接CE并延长交AD于点F．
（1）如图1，圆心O在BD上．
①求证：四边形ABCD为菱形．
②求的值．
（2）如图2，已知BC＝6，若CF＝CD，求⊙O的半径．
浙江省26届中考数学精准预测卷三（精选浙江中考，模拟经典真题，必考题型，最新变式题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个数中绝对值最大的是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可．
【解答】解：∵|1|＝1，|0|＝0，|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，0＜1＝1＜3，
∴绝对值最大的数是﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能正确求出每个数的绝对值是解此题的关键．
2．中央广指电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友布上了一道年味浓郁、文化醇厚、利技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达230.63亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（　　）
A．2.3063×1010 B．2.3063×109
C．2.3063×108 D．230.63×107
【分析】根据科学记数法的表示方法进行计算．
【解答】解：数据23063000000用科学记数法表示为：2.3063×1010．故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握科学记数法的表示方法是关键．
3．如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案．
【解答】解：物体的主视图画法正确的是：．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，关键是找准主视图所看的方向．
4．下列计算中不正确的是（　　）
A．m2 m4＝m6 B．（﹣m2）4＝m8 C．m6÷m2＝m3 D．2m2﹣m2＝m2
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、m2 m4＝m6，计算正确，故此选项不符合题意；
B、（﹣m2）4＝m8，计算正确，故此选项不符合题意；
C、m6÷m2＝m4，原计算错误，故此选项符合题意；
D、2m2﹣m2＝m2，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF＝3AC，点E坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意得，△ABC与△DEF的相似比为AC：DF＝1：3，进而可得答案．
【解答】解：∵DF＝3AC，
∴△ABC与△DEF的相似比为AC：DF＝1：3，
∵点E的坐标为，点B位于第四象限
∴点B的坐标为（（），3×（）），即（，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：1尺＝10寸）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，连接AE，BD，则四边形ABDE的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据正六边形的性质得到AF＝EF＝BC＝CD，∠F＝∠C＝∠FAB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠FAE＝∠AEF＝30°，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴AF＝EF＝BC＝CD，∠F＝∠C＝∠FAB＝120°，
∴∠FAE＝∠AEF＝30°，
在△AFE与△BCD中，
，
∴△AEF≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BAE＝∠BAF﹣∠FAE＝90°，
∴四边形ABDE是矩形．
∵AE＝2AF，
∴四边形ABDE的面积＝AB AE，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，正六边形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
8．在平面直角坐标系xOy中，若点A（1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1+y2的值为（　　）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．一定等于0 D．不能确定
【分析】根据图象上点的坐标特征求得y1＝1+k2，y2，得到y1+y2＝1+k20，即可判断．
【解答】解：∵点A（1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1＝1+k2，y2，
∴y1+y2＝1+k2，
∵k2≥0，
∴1+k2＞0，
∴0，
∴y1+y2的值一定是正数，
故选：A．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
9．若A＝3x2﹣2xy+2，B＝x2﹣y2+1，则A，B的大小关系为（　　）
A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B
【分析】首先求出A﹣B＝＝（x﹣y）2+x2+1，分析求出的结果，A﹣B＞0，据此求出A＞B．
【解答】解：因为A＝3x2﹣2xy+2，B＝x2﹣y2+1，
所以A﹣B
＝（3x2﹣2xy+2）﹣（x2﹣y2+1）
＝3x2﹣2xy+2﹣x2+y2﹣1
＝2x2﹣2xy+y2+1
＝x2﹣2xy+y2+x2+1
＝（x﹣y）2+x2+1，
因为（x﹣y）2+x2≥0，
所以（x﹣y）2+x2+1＞0，
所以A﹣B＞0，
即A＞B．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是求出A﹣B．
10．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x（s），△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G（1，9）和E（n，q），点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（　　）
A．点D坐标为（3，0）
B．当y＝9时，x＝1或7
C．q＝32
D．点（10，34）在该函数图象上
【分析】设OA长a，OB＝b，则OP＝|a﹣x|，OQ＝|b﹣2x|，得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把（1，9）代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可．
【解答】解：设OA长a，OB＝b，
∴OP＝|a﹣x|，OQ＝|b﹣2x|，
∴y|a﹣x||b﹣2x|（x﹣a）（2x﹣b）＝（x﹣a）（x），
∵图象与x轴只有一个交点D，
∴a，
∴y＝（x﹣a）2，
∵函数经过G（1，9），
∴9＝（1﹣a）2，
解得：a＝4（取正值），
∴y＝（x﹣4）2，
当y＝0时，x＝4，
∴点D的坐标为（4，0），
故A选项错误，不符合题意；
当y＝9时，9＝（x﹣4）2，
解得：x1＝1，x2＝7，
∴当y＝9时，x＝1或7，
故B选项正确，符合题意；
当x＝0时，y＝16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
∴q＝16，
故C选项错误，不符合题意；
当x＝10时，y＝36，
故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象．根据抛物线与x轴只有一个交点及抛物线经过点（1，9）得到y关于x的函数解析式是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．计算：当x＝2时，二次根式　3　 ．
【分析】把x的值代入化简即可．
【解答】解：当x＝2时，二次根式，故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．因式分解：a2+2a＝a（a+2）　 ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故答案为：a（a+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13．一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是 　　 ．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出甲乙摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中甲乙摸到的球颜色不同的结果数为4，
所以甲乙摸到的球颜色不同的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法，通过列表或树状图展示出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接OC，则∠OAC的大小为　100°　 ．
【分析】连接AB，BC，由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB，可得OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形，则∠AOC∠MON＝50°，∠ACO∠ACB＝30°，进而可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝100°．
【解答】解：连接AC，BC，
由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，
∴OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形，
∴∠AOC∠MON100°＝50°，∠ACO∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆O恰好与BC相切于点F，则⊙O的半径为　　 ．
【分析】连接OF，延长FO交AE于点H，证明四边形ABFH是矩形，得HF＝AB＝4，∠AHF＝90°，求出HE＝1，设OE＝OF＝R，则HO＝4﹣R，由勾股定理列方程可求出．
【解答】解：连接OF，延长FO交AE于点H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4，
∵BC是⊙O的切线，点F是切点，
∴HF⊥BC，即∠BFH＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴∠AHF＝90°，HF＝AB＝4，即OH⊥AE，
∴，
∵点E是AD的中点，
∴，
∴HE＝1，
设OE＝OF＝R，则HO＝4﹣R，
在Rt△HOE中，HO2+HE2＝OE2，
∴（4﹣R）2+12＝R2，
16﹣8R+1＝0，
解得：．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16．如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，连结BE，作点A关于直线BE的对称点A′，连结A′E交BD于点F，若点A'恰为DC的中点，则△BEF与△ABE的面积比为 　　 ．
【分析】延长EA'交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O，连接A'B，先证明△EDA'≌△GCA'（AAS），则DE＝CG＝x，A'E＝A'G，然后证明GE＝GB，则8﹣2x＝4+x，求出，可得A'O为△DBC中位线，则可证明△DEF∽△OA'F，则，再将共高三角形面积比化为底之比求解即可．
【解答】解：延长E'A交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O，连接A'B，
设菱形的边长为4，DE＝x，
则由菱形可得AD＝DC＝BC＝4，AD∥BC，
∴AE＝4﹣x，∠DEA'＝∠G，∠EDA'＝∠GCA'，∠BEA＝∠EBG，
∵点A为DC的中点，
∴DA＝AC，
∴△EDA'≌△GCA'（AAS）．
∴DE＝CG＝x，A'E＝A'G，
由对称可知，AE＝A'E＝AG＝4﹣x，∠BEA＝∠BEA'，S△BEA＝S△BEA，
∴GE＝A'E+A'G＝8﹣2x，∠EBG＝∠BEA'，
∴GE＝GB，
∴8﹣2x＝4+x，
解得，
∵点A为DC的中点，点O为DB中点，
∴A'OBC＝2，
∴A'O∥BC，
∴A'O∥DE，
∴△DEF∽△OA'F，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）先计算绝对值，算术平方根，乘方运算，再合并即可；
（2）先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+4＝3；
（2），
3x＝x﹣2+1，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，掌握相应的运算法则是关键．
18．如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在BC上找一点D，使得AD平分△ABC面积．
（2）在图2中，在BC上找一点E，使得AE将△ABC分成面积比为1：2的两部分．（找到一个即可）
【分析】（1）取BC的中点D，连接AD，点D即为所求；
（2）取格点F，H，G，连接HG交BC于E，连接AE，点E即为所求．
【解答】解：（1）取BC的中点D，连接AD，如图：
点D即为所求；
（2）取格点F，H，G，连接HG交BC于E，连接AE，如图：
点E即为所求；
理由：
由图可知，HG∥FC，BH＝2HF，
∴BE＝2CE，
∴S△ABE＝2S△ACE，
∴AE将△ABC分成面积比为1：2的两部分．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
19．成都大运会期间，3.12万名志愿者“小青椒”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青椒”，必须经过层层考验，下面是大运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
选手 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验
甲 10 9 9 7
乙 9 8 10 8
（1）填空：甲选手的四项成绩的众数是 　9　 分，乙选手的四项成绩的中位数是 　8.5　 分；
（2）如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按4：3：2：1的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青椒”．
【分析】（1）由众数、中位数的定义即可得出结果；
（2）根据加权平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出甲、乙的平均分，再比较即可得出答案．
【解答】解：（1）∵甲选手的四项成绩为10、9、9、7，其中9出现的次数最多，
∴甲选手的四项成绩的众数是9，
将乙选手的四项成绩按照从小到大的顺序排列为：8、8、9、10，
数据个数为偶数，
则中位数为：8.5，
故答案为：9，8.5；
（2）甲的平均分为：9.2（分），
乙的平均分为：8.8（分），
∵9.2＞8.8，
∴甲将成为“小青椒”．
【点评】本题考查了加权平均数、众数、中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及加权平均数的计算方法是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，连结DE，∠ABC的平分线交DE于点F．
（1）求证：∠DBF＝∠DFB．
（2）若DF＝EF，BC＝12，求BD的长．
【分析】（1）先由角平分线得∠DBF＝∠FBC，再用三角形中位线定理证DE∥BC，得∠FBC＝∠DFB，通过等量代换即可得证；
（2）先用中位线定理求出DE的长，由DF＝EF算出DF，再结合第一问的等角对等边得出BD＝DF即可．
【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∵点D，E分别是AB，AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠FBC＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB；
（2）解：∵点D，E分别是AB，AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵DF＝EF，DF+EF＝DE，
∴DF＝3，
∵∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
21．定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b（a＜b）范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
（1）对于一次函数y＝2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值．
（2）对于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在0≤x≤3的范围内，M＝0，m＝﹣3．” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M﹣m＝4，则M＝0，m＝﹣4．”
甲、乙两位同学的说法正确吗？请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由．
【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可；
（2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可．
【解答】解：（1）由条件可知：当x＝3时，M＝2×3+1＝7；当x＝0时，m＝2×0+1＝1．
（2）甲同学说法错误；乙同学说法正确．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
由条件可知当x＝1时，函数最小值为m＝﹣4，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴在0≤x≤3的范围内函数最大值M＝0；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
如图：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），即m＝﹣4，
当x＝0时，y＝﹣3，
∵M﹣m＝4，
∴M＝0，
故乙说法正确，
即甲同学说法错误，乙同学说法正确．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
22．如图1，⊙O的周长为4厘米，AB为⊙O的直径．动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P出发1秒后，动点Q也从A点出发，以v厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点P运动t秒时，点P，Q与点A间的劣弧（或半圆）长分别记为y1，y2，则y1，y2关于t的函数图象如图2所示．
（1）试确定动点Q的速度v．
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式，并求出当时，y1的值．
（3）若图2中的点C为两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求此时点P，点Q间的劣弧长．
【分析】（1）根据图2可知，当t＝2.5秒时，y2＝2厘米，由此即可求解；
（2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令代入函数解析式即可求解；
（3）运用待定系数法得到y2的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点P，点Q间的劣弧长．
【解答】解：（1）点Q与点A间的劣弧（或半圆）长分别记为y2，
根据图2可知，当t＝2.5秒时，y2＝2厘米，
∴厘米/秒；
（2）当t＝2秒时，y1＝2厘米，当t＝4秒时，y1＝0厘米，
∴设y1＝kt+b（k≠0，2≤t≤4），
∴，
解得，，
∴y1＝﹣t+4（2≤t≤4），
当秒时，；
（3）设y2＝mt+n（m≠0，1≤t≤2.5），
由图2可知，当t＝1秒时，y2＝0厘米，当t＝2.5秒时，y2＝2厘米，
∴，
解得，，
∴，
∴当2≤t≤2.5时，联立方程组得，
解得，，
∴，
当秒时，点P从点A顺时针旋转到点B下方，路程为（厘米），此时点P距点A的距离为（厘米），
点Q从点A顺时针旋转到直径AB上方，路程为厘米，
∴此时点P，点Q间的劣弧长为（厘米）．
【点评】本题主要考查一次函数的运用，掌握其相关知识点是解题的关键．
23．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点A（m，n）为平面直角坐标系内一点．
（1）若将点A（m，n）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A′，求点A的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l：y＝x+1平移得直线l′，设直线l上任意一点A（m，n）平移后的对应点为A′．若直线l的平移距离，且直线AA′平行于第二、四象限的角平分线，求直线l′的函数表达式；
（3）将抛物线沿着射线y＝2x（x≥0）方向平移得到抛物线，当0≤x≤4时，抛物线上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围．
【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可；
（2）易得平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；
（3）易得，则平移距离为a，再据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，AA'5；
（2）如图，
∵AA′∥二四象限角平分线，
∴∠A'AM＝∠A“AN＝45°，
∵AA'＝AA“＝3，
∴A'M＝AM＝A“N＝AN＝3，
当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，
∴y＝（x+3）+1+3＝x+7；
当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，
∴y＝（x﹣3）+1﹣3＝x﹣5；
综上，直线l′的函数表达式为y＝x+7或y＝x﹣5；
（3），
设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，得，
∴对称轴为直线x＝2+a，平移距离，
当0≤x≤4时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，
此时，
由题意，a2+6a＜8，
解得，
∴．
【点评】本题主要考查了平移、二次函数的解析式、点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过A，B，C三点，AD，DC分别与⊙O相切于点A，C，连接BD与⊙O相交于点E，连接CE并延长交AD于点F．
（1）如图1，圆心O在BD上．
①求证：四边形ABCD为菱形．
②求的值．
（2）如图2，已知BC＝6，若CF＝CD，求⊙O的半径．
【分析】（1）①连接OA，OC，切线的性质，得到∠OAD＝∠OCD＝90°，切线长定理，得到AD＝CD，推出OD垂直平分AC，三线合一推出∠ADO＝∠CDO，平行线的性质，得到∠ADO＝∠CBD，进而推出BC＝CD，得到BC＝AD，即可得证；
②根据圆周角定理结合菱形的性质，以及四边形的内角和为360度，求出∠ADC＝60°，进而得到∠CBD＝∠ADO＝30°；根据题意可得∠CFD＝∠BCE＝90°；设DF＝x，解直角三角形分别求出CD，CF的长，进而求出BC，CE的长，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）连接AO并延长，交BC于点H，交⊙O于点N，连接CO并延长，交⊙O于点M，连接AE，NE，作CG⊥AD，证明△FAE∽△FCA，△DFE∽△CFD，推出AF＝DF，进而得到AG＝3FG，证明四边形AHCG为矩形，得到CH＝AG＝3FG＝3，AH＝CG，求出FG＝1，勾股定理求出CG的长，设⊙O的半径为r，则，在Rt△OHC中，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】（1）①证明：如图1，AD，DC分别与⊙O相切于点A，C，连接OA，OC，则OA＝OC，
∴∠OAD＝∠OCD＝90°，AD＝CD，
∴OD垂直平分AC，
又∵AD＝CD，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠CDO，
∴BC＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形；
②解：∵∠OAD＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝360°﹣2×90°＝180°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，
又∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ADC，
∴∠AOC+∠ADC＝3∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝60°，
∴，
由题意得BE为⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CFD＝∠BCE＝90°；
设DF＝x，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠CDF＝60°，
∴；，
在Rt△BCE中，∠BCE＝90°，∠CBE＝30°，BC＝CD＝2x，
∴，
∴；
（2）解：连接AO并延长，交BC于点H，交⊙O于点N，连接CO并延长，交⊙O于点M，连接AE，NE，作CG⊥AD，则AN，CM为直径，∠AEN＝∠CEM＝90°，∠M＝∠CBE，∠N＝∠ACE，
∴∠M+∠MCE＝90°，∠N+∠NAE＝90°，
∵DA，DC为⊙O的切线，
∴OA⊥AD，OC⊥CD，AD＝CD，
∴∠MCE+∠DCF＝90°，∠DAE+∠NAE＝90°，
∴∠N＝∠DAE，∠M＝∠DCF，
∴∠CBE＝∠DCF，∠DAE＝∠ACE，
又∵∠AFE＝∠AFC，
∴△FAE∽△FCA，
∴，
∴AF2＝EF CF，
∵OA⊥AD，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠FDE，AH⊥BC，
∴，∠DCF＝∠FDE，
又∵∠CFD＝∠DFE，
∴△DFE∽△CFD，
∴，
∴DF2＝EF CF，
∴AF＝DF，
∵CG⊥AD，CF＝CD，
∴，
∴AF＝DF＝2FG，
∴AG＝AF+FG＝3FG，
∵OA⊥AD，CG⊥AD，AH⊥BC，
∴四边形AHCG为矩形，
∴CH＝AG＝3FG＝3，AH＝CG，
∴FG＝1，
∴DG＝1，AF＝DF＝2，
∴CD＝AD＝AF+DF＝4，
在Rt△CGD中，由勾股定理，得，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
在Rt△OHC中，由勾股定理，得，
解得，即⊙O的半径为．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
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