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浙江省26届中考数学精准预测卷四
（精选长三角中考模拟经典题型，必考题型，最新题型）
一．选择题（共10小题）
1．﹣2026的相反数是（　　）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．斗拱是中国古建筑的关键性部件，主要是由“斗”与“拱”拼接形成．如图，是斗拱最底部最核心的坐斗，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高纪录．156.36亿用科学记数法表示为（　　）
A．156.36×108 B．1.5636×108
C．1.5636×1010 D．156.36×1010
4．若sinA，则锐角∠A＝（　　）
A．30° B．15° C．45° D．60°
5．某校男子篮球队的10名队员的身高如下（单位：cm）：173，174、176，176，182，182，184，186，190，195．现新进1名队员，他的身高与某位队员的身高相同，则在以下统计量中，一定保持不变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P，Q分别是边AB，CD上的动点，CQ＝2AP，设AP＝x，PQ2＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在AD边上，连接BE交AC于点F．若∠OCD＝60°，∠BED＝130°，则∠BFO的度数为（　　）
A．95° B．105° C．100° D．110°
9．如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（　　）
A． B． C．27π D．9π
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
12．计算：　 　 ．
13．2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是　 　 ．
14．图中的银杏叶的面积可近似的看成扇形AOB的面积．已知OA＝3cm，∠AOB＝150°，则该银杏叶的面积约为　 　 cm2（结果保留π）．
15．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为，那么tan∠GDC的值为 　 　 ．
16．如图，△ABC的边AB经过原点O，顶点A、B分别在反比例函数y（k＞0，x＜0）、y（x＞0）的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，且ABBC．已知△ABC的面积为6，则k＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：； （2）解方程：．
18．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
19．已知线段MN和点P，按下列要求分别作一个三角形，使MN是这个三角形的中位线．（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
（1）该三角形是等腰三角形，且点P在腰上；
（2）该三角形是直角三角形，且点P在直角边上．
20．为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1﹣8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：
数据分析：
平均数 中位数 众数
A型号 a 14 12
B型号 12 b c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
21．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．AD＝6．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分面积．
22．已知小张的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小张从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小张离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小张离开家的时间/min 1 6 18 50
小张离家的距离/km 0.6
②填空：小张从公园返回家的速度为　 　 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小张离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）若小张的妈妈与小张同时从家出发，小张的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小张离家的距离为y1，小张的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
23．在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1中．
（1）已知该函数图象经过（2，0），求这个二次函数的表达式．
（2）当0＜x＜4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，求a的范围．
（3）如果A（m，a﹣1），B（n，b）在该二次函数图象上，且a﹣b＜1，求mn的范围．
24．综合与实践
【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实践”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究：如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
【数学思考】老师首先提出了如下问题：
（1）如图2，作△COD关于CD的对称图形△CED，连接AE交BD于点F．试判断OF与DF的数量关系，并说明理由；
【深入探究】老师让问学提出新的问题：
（2）善思小组提出问题：如图3，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，连接CM，OM，若正方形ABCD的边长为6cm，求△COM面积的最大值；
（3）智慧小组提出问题：如图4，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，过点M作对角线AC垂线，垂足为Q，若正方形ABCD的边长为6cm，求MQ+AQ的取值范围．
浙江省26届中考数学精准预测卷四（精选长三角中考模拟经典题型，必考题型，最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2026的相反数是（　　）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2026的相反数是2026．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．斗拱是中国古建筑的关键性部件，主要是由“斗”与“拱”拼接形成．如图，是斗拱最底部最核心的坐斗，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个物体的俯视图为：
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．
3．至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高纪录．156.36亿用科学记数法表示为（　　）
A．156.36×108 B．1.5636×108
C．1.5636×1010 D．156.36×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：156.36亿＝15636000000＝1.5636×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．若sinA，则锐角∠A＝（　　）
A．30° B．15° C．45° D．60°
【分析】根据特殊角的三角函数进行计算即可．
【解答】解：∵sin30°，
∴锐角∠A＝30°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°角的各种三角函数值．
5．某校男子篮球队的10名队员的身高如下（单位：cm）：173，174、176，176，182，182，184，186，190，195．现新进1名队员，他的身高与某位队员的身高相同，则在以下统计量中，一定保持不变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】分别根据各统计量的定义，对比加入新数据前后的变化，判断一定不变的统计量即可．
【解答】解：10名队员的身高（单位：cm）数据如下：173，174、176，176，182，182，184，186，190，195，
原数据已按从小到大排序，共10个数据，原中位数为第5个和第6个数据的平均数，
∵第5个数据为182，第6个数据为182，
∴原中位数为182，
加入1个新数据后，总数据共11个，中位数为第6个数据：
若新队员身高≤182，排序后该身高数据在新数据列的第6位或之前，此时新数据列的第6个数据必为182；
若新队员身高＞182，插入原数据第7位及之后，前6个数据不变，第6个数据仍为182；
因此新数据的中位数仍为182，中位数一定不变；
对其他选项分析：
A 平均数受每个数据影响，新队员身高不确定，平均数不一定不变，A错误，不符合题意；
C 方差反映数据波动程度，数据改变后方差不一定发生变化，C错误，不符合题意；
D 原众数为176和182，若新队员身高为176，新众数仅为176，众数改变，D错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题统计量的选择，正确进行计算是解题关键．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是理解题意找出题中的等量关系．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P，Q分别是边AB，CD上的动点，CQ＝2AP，设AP＝x，PQ2＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】过Q作AB的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出y关于x的表达式从而可以得到图象的形状．
【解答】解：过Q作QM⊥AB于M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥AB，CQ∥BM，
∴BC∥QM，
∴四边形BCQM也是矩形，
∴BM＝CQ＝2AP＝2x，MQ＝BC＝4，
∴PM＝|PB﹣CQ|＝|6﹣x﹣2x|＝|6﹣3x|，
∴y＝PQ2＝MQ2+PM2＝16+（6﹣3x）2＝9（x﹣2）2+16，
∵P在AB上，Q在CD上，
∴x≤6，2x≤6，
∴x≤3，
∴y关于x的函数图象是开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线．
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图形，写出y关于x的解析式是本题解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在AD边上，连接BE交AC于点F．若∠OCD＝60°，∠BED＝130°，则∠BFO的度数为（　　）
A．95° B．105° C．100° D．110°
【分析】根据矩形的性质可得OA＝OB，进而可得△OAB是等边三角形，∠ABO＝60°，由∠BED＝130°可得∠AEB＝50°，即可求出∠ABE＝40°，则∠OBF＝20°进而求出∠BFO即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，OD＝OC，∠BAE＝90°，
∵∠OCD＝60°，
∴∠COD＝60°＝∠AOB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∵∠BED＝130°，
∴∠AEB＝50°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠FBO＝20°，
∴∠BFO＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（　　）
A． B． C．27π D．9π
【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积．
【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BCAB＝3，
∴阴影面积9π．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，过点F⊥CB于点H，依题意得DF＝12﹣AF，由此得当AF为最小时，12﹣AF为最大，即DF为最大，由折叠性质得AF＝MF，则当MF为最小时，DF为最大，根据“垂线段最短”得MF≥FH，进而得当点M与点H重合时，MF为最小，最小值为线段FH的长，则AF的最小值为线段FH的长，根据“平行线间的距离处处相等”得AT＝FH，则AF的最小值为线段AT的长，然后求出AT即可得出DF的最大值．
【解答】解：过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，过点F⊥CB于点H，如图所示：
∴∠T＝90°，
∴△ABT是直角三角形，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝12，
∴AD＝AB＝12，AD∥CB，
∴DF＝AD﹣AF＝12﹣AF，
∴当AF为最小时，12﹣AF为最大，
即DF为最大，
由折叠性质得：AF＝MF，
∴当MF为最小时，DF为最大，
根据“垂线段最短”得：MF≥FH，
∴当点M与点H重合时，MF为最小，最小值为线段FH的长，
∴AF的最小值为线段FH的长，
∵AD∥CB，FH⊥CB，AT⊥CB，
∴根据“平行线间的距离处处相等”得：AT＝FH，
∴AF的最小值为线段AT的长，
∵AD∥CB，∠BAD＝60°，
∴∠ABT＝∠BAD＝60°，
在Rt△ABT中，AB＝12，∠BAT＝90°∠ABT＝30°，
∴BTAB＝6，
由勾股定理得：AT，
∴AF的最小值为，
此时DF的最大值为．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，含有30°角的直角三角形性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，灵活利用含有30°角的直角三角形性质及股定理计算是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥6　 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得x﹣6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
12．计算：　1　 ．
【分析】根据实数的运算法则解答即可．
【解答】解：．
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
13．2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是　　 ．
【分析】利用列表法或画树状图法求解即可．
【解答】解：把2部影片分别记为A、B，
列表如下：
A B
A AA AB
B BA BB
共有4种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一部电影的结果有2种，
∴小明和小亮选择同一部电影的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
14．图中的银杏叶的面积可近似的看成扇形AOB的面积．已知OA＝3cm，∠AOB＝150°，则该银杏叶的面积约为　π　 cm2（结果保留π）．
【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：该银杏叶的面积为π（cm2）．
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
15．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为，那么tan∠GDC的值为 　　 ．
【分析】证明△EMH∽△DMI，可得（）2，而△EMH与△DMI的面积比为，即得，设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝3t，在Rt△AED中，有tan∠EDA，又∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，故tan∠GDC＝tan∠EDA．
【解答】解：∵EAIH都是正方形，
∴∠EHM＝90°＝∠MID，
∵∠EMH＝∠IMD，
∴△EMH∽△DMI，
∴（）2，
∵△EMH与△DMI的面积比为，
∴，
设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝3t，
∴AD＝AI+DI＝7t，
在Rt△AED中，
tan∠EDA，
由“青朱出入图”可知：∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，
∴tan∠GDC＝tan∠EDA．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
16．如图，△ABC的边AB经过原点O，顶点A、B分别在反比例函数y（k＞0，x＜0）、y（x＞0）的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，且ABBC．已知△ABC的面积为6，则k＝　1　 ．
【分析】依据题意，过点A作AF⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定OC＝2OD，然后结合图形及面积求解即可．
【解答】解：过点A作AF⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，如图所示：
∴AF∥BD，
∴△BOD∽△AOF，
∴．
∵，S△BOD2k，
∴．
∴（）2．
∴．
∴AFBD，ABOB．
∵ABBC，
∴BC＝OB．
∵BD⊥x轴，
∴OC＝2OD．
∵OD×BD4k．
∴OD×BD＝4k．
∴OC×BD＝8k．
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC
OC BDOC AF
OC （BD+AF）
OC BD
OC BD
8k
＝6k＝6．
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤解答即可．
【解答】解：（1）
＝1+42
＝4．
（2）．
3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
3x﹣3﹣x﹣1＝0，
2x＝4，
x＝2，
检验，x＝2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了实数的运算、解分式方程，熟练掌握以上知识点是关键．
18．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：

，
当a＝﹣1时，原式1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．已知线段MN和点P，按下列要求分别作一个三角形，使MN是这个三角形的中位线．（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
（1）该三角形是等腰三角形，且点P在腰上；
（2）该三角形是直角三角形，且点P在直角边上．
【分析】（1）作线段MN的垂直平分线EF，作直线PM交EF于点A，作射线AN，在射线AN上截取线段NC，使得NC＝AN，在射线AM上截取线段MB，使得MB＝AM，连接BC，△ABC即为所求；
（2）作直线PM，过点C中CA⊥直线PM于点A，作射线AN，在射线AN上截取线段NC，使得NC＝AN，在射线AM上截取线段MB，使得MB＝AM，连接BC，△ABC即为所求．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
20．为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1﹣8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：
数据分析：
平均数 中位数 众数
A型号 a 14 12
B型号 12 b c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　14　 ，b＝　13　 ，c＝　14　 ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据两种型号扫地机器人的销售趋势解答即可．
【解答】解：（1）A型销售量的平均数为：a14；
B型中位数b13；
B型的众数c＝14．
故答案为：14，13，14；
（2）根据统计图可知，B型号扫地机器人月销售量呈上升趋势，若考虑增长势头，进货时可多进B型号扫地机器人．
【点评】本题考查条形统计图，中位数以及众数，掌握相关定义是解答本题的关键．
21．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．AD＝6．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，根据角平分线的定义、圆周角定理求出∠AOC，根据等腰直角三角形的性质求出AC；
（2）利用扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC∠ABD＝45°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵OA＝OC＝3，
∴ACOA＝3，
（2）S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC3×3．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键．
22．已知小张的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小张从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小张离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小张离开家的时间/min 1 6 18 50
小张离家的距离/km 0.6
②填空：小张从公园返回家的速度为　0.12　 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小张离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）若小张的妈妈与小张同时从家出发，小张的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小张离家的距离为y1，小张的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
（Ⅱ）在同一坐标系中画出小华的妈妈离家的距离为y2与x之间的函数图象并写出y2与x之间的函数关系式，求出两函数的交点的横坐标并根据图象得出当y1＜y2时，x的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）①小华在最初的6min内的速度为0.6÷6＝0.1（km/min），
当x＝1时，y＝0.1×1＝0.1，
当x＝18时，y＝0.6，
当x＝50时，1.8．
②小华从公园返回家的速度为1.8÷15＝0.12（km/min）．
故答案为：0.12．
③当0≤x≤6时，y＝0.1x，
当6＜x≤18，y＝0.6，
当18＜x≤30时，小华的速度为（1.8﹣0.6）÷12＝0.1（km/min），则y＝0.6+0.1（x﹣18）＝0.1x﹣1.2，
∴当0≤x≤30时，写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式y．
（Ⅱ）妈妈从家到公园所用时间为1.8÷0.05＝36（min），则小华的妈妈离家的距离为y2与x之间的函数图象如图所示：
y2与x之间的函数关系式为y2＝0.05x（0≤x≤36），
当6≤x≤18时，当y1＝y2时，得0.05x＝0.6，
解得x＝12，
当18＜x≤30时，当y1＝y2时，得0.1x﹣1.2＝0.05x，
解得x＝24，
由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围为12＜x＜24．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
23．在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1中．
（1）已知该函数图象经过（2，0），求这个二次函数的表达式．
（2）当0＜x＜4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，求a的范围．
（3）如果A（m，a﹣1），B（n，b）在该二次函数图象上，且a﹣b＜1，求mn的范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得顶点坐标为（1，﹣1），根据题意得到a＞0，结合图象得到保证在x＝0处不在x轴上方，保证在x＝4处在x轴上方，据此列出不等式即可求解；
（3）由A（m，a﹣1），B（n，b），结合a﹣b＜1，求得a[1﹣（n﹣1）2]＜0，分情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1的图象经过（2，0），代入得：
0＝4a﹣4a+a﹣1，
解得：a＝1，
这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1），恒在x轴下方，
∵当0＜x＜4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，
∴开口向上，即a＞0，
需满足：
当x＝0时，y＝a﹣1≤0 （保证在x＝0处不在x轴上方），
解得：a≤1；
当x＝4时，y＝9a﹣1＞0（保证在x＝4处在x轴上方），
解得：；
综上所述，a的范围为；
（3）如果A（m，a﹣1），B（n，b）在该二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1的图象上，将点A的坐标代入得：
a﹣1＝a（m﹣1）2﹣1，
∵a≠0，
解得：m＝0或m＝2，
将点B的坐标代入函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1得：
b＝a（n﹣1）2﹣1，
∵a﹣b＜1，
∴a﹣[a（n﹣1）2﹣1]＜1，
∴a[1﹣（n﹣1）2]＜0，
当a＞0时，则1﹣（n﹣1）2＜0，
∴（n﹣1）2＞1，
解得：n＜0或n＞2，
当m＝0时，则mn＝0；
当m＝2时，则mn＜0或mn＞4；
当a＜0时，则1﹣（n﹣1）2＞0，
∴（n﹣1）2＜1，解得：0＜n＜2，
当m＝0时，则mn＝0；
当m＝2时，则0＜mn＜4；
综上所述，当a＞0时，mn≤0或mn＞4；当a＜0时，0≤mn＜4．
即mn≠4．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换等知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
24．综合与实践
【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实践”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究：如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
【数学思考】老师首先提出了如下问题：
（1）如图2，作△COD关于CD的对称图形△CED，连接AE交BD于点F．试判断OF与DF的数量关系，并说明理由；
【深入探究】老师让问学提出新的问题：
（2）善思小组提出问题：如图3，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，连接CM，OM，若正方形ABCD的边长为6cm，求△COM面积的最大值；
（3）智慧小组提出问题：如图4，以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，过点M作对角线AC垂线，垂足为Q，若正方形ABCD的边长为6cm，求MQ+AQ的取值范围．
【分析】（1）利用正方形的性质和轴对称的性质得到ED＝OD＝OC＝EC，则四边形ODEC为菱形，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用圆的有关性质得到当点M为优弧的中点时，△COM面积最大，如图，点M为优弧的中点，连接MP并延长，交OC于点H，利用垂径定理的推论得到MH⊥OC，OH＝HC，再利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；
（3）连接MC，MB，过点B作BH⊥MQ于点H，利用矩形的判定与性质得到BH＝OQ，QH＝OB＝3，设BH＝OQ＝m，MQ＝n，则MH＝MQ﹣HQ＝n﹣3，CQ＝OC﹣OQ＝3m，利用圆周角定理和勾股定理得到m2+n2﹣3（m+n）＝0；设m+n＝k，则n＝k﹣m，则2m2﹣2km+k2﹣3k＝0，利用一元二次方程的Δ≥0，求得∴0≤a+b≤6，利用不等式的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）OF与DF的数量关系为OF＝DF．理由：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB＝OD＝OC，
∵作△COD关于CD的对称图形△CED，
∴DE＝OD，EC＝OC，
∴ED＝OD＝OC＝EC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DE∥OC，
∴∠DEF＝∠OAF．
∵DE＝OD，OD＝OA，
∴DE＝OA．
在△DEF和△OAF中，
，
∴△DEF≌△OAF（AAS），
∴DF＝OF．
（2）∵点M为⊙P上的动点，
∴当点M到OC的距离最大时，△COM面积取得最大值，
∴当点M为优弧的中点时，△COM面积最大，如图，点M为优弧的中点，连接MP并延长，交OC于点H，
∵点P为圆心，，
∴MH⊥OC，OH＝HC，
∵正方形ABCD的边长为6cm，
∴AB＝BC＝6cm，∠ACB＝45°，
∴ACAB＝6（cm），PM＝PCBC＝3（cm），
∴OCAC＝3（cm），PHPC，
∴MH＝PH+PM3，
∴△COM面积的最大值OC MH．
（3）连接MC，MB，过点B作BH⊥MQ于点H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵MQ⊥OC，BH⊥MQ，
∴四边形OBHQ为矩形，
∴BH＝OQ，QH＝OB＝3，
设BH＝OQ＝m，MQ＝n，则MH＝MQ﹣HQ＝n﹣3，CQ＝OC﹣OQ＝3m，
∴BM2＝BH2+MH2，CM2＝QC2+MQ2＝（3m）2+n2，
∵以BC为直径作⊙P，
∴∠BMC＝90°，
∴BM2+CM2＝BC2，
∴，
∴m2+n2﹣3（m+n）＝0．
设m+n＝k，则n＝k﹣m，
∴m2+（k﹣m）2﹣3k＝0，
∴2m2﹣2km+k2﹣3k＝0，
∴（﹣2k）2﹣4×2×（k2﹣3k）≥0，
∴0≤k≤6，
∴0≤m+n≤6．
∵MQ+AQ＝AO+OQ+MQ＝OA+a+b，
∴3MQ+AQ≤9．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理，函数的极值，熟练掌握正方形的性质和圆的有关性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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