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江西赣州市厚德外国语学校等校2025-2026学年高二下学期4月
数学学科训练
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列的通项公式可以是( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率若函数，则曲线在点处的曲率是( )
A. B. C. D.
6.某公益组织发起捐款活动，第天捐款元，从第天开始，每日捐款额比前一天捐款额的倍少元．若第天的捐款额不低于元，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，若，则整数的取值个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是( )
A. 若，则是等比数列
B. 若是等比数列，则
C. 若，则是等比数列
D. 若是等比数列，则是等比数列
11.已知函数，的公切线为，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为 ．
13.设等差数列的前项和分别为，且，则 ．
14.已知，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度单位：关于时间单位：的函数关系式为．
求该汽车在这段时间里的平均速度
求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义．
16.本小题分
在数列中，．
证明：是等差数列．
求数列的前项和．
17.本小题分
在数列中，，，且
证明是等差数列，并求的通项公式
给定正整数，设函数，求．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求曲线经过点的切线方程；
若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值．
19.本小题分
设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为．
求的通项公式；
求；
记集合，若的子集个数为，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.汽车在这段时间里的位移为：
这段时间的时间间隔为。
所以平均速度为：
瞬时加速度是速度函数的导数，即。
。
当时，瞬时加速度。
其意义为：在第秒时，汽车的瞬时加速度为，表示此时汽车以的加速度做减速运动。
16.解：由，则，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列；
由数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，
则

17.解：由题意得，
，，且当时，。
设，则原递推式可变形为：
即。
因为，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列。
故是等差数列，结论成立。
由等差数列通项公式可得，即。
当时，，
代入得：
其中。
因此。
当时，，符合初始条件，故的通项公式为。
由题意得，函数。
对求导可得：
将代入，得，因此：
将代入，得：
设，令，则当时，时，
故：
利用错位相减法求：设，
则。
两式相减得：
其中，故：
因此，即。
18.解：，则，又，
故曲线在点处的切线方程为，
整理得；
设切点为，由，
则切线方程为，
整理得，则有，
即，解得或，
若，则切线方程为，即为；
若，则切线方程为，即为；
综上可得：曲线经过点的切线方程为或；
设公共点坐标为，由，
则，，
则，有，
整理得，令，则在上单调递增，
又，故，则．

19.解：当时，，则，
即，当时，，即，
又，则有，故对任意恒成立，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
，
故
；
，
则
，
由的子集个数为，则中有个元素，
故关于的不等式有个正整数解，
令，则，
，
则数列在时单调递增，在时单调递减，
即，
又，
当时，，
故的三个正整数解为、、，
故，又，，
故．

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