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浙江省26届中考数学精准预测卷一
（精挑浙江中考及各市模拟经典题型，必考题型和最新变化题型））
一．选择题（共10小题）
1．﹣2026的绝对值是（　　）
A．2026 B．﹣2026 C． D．
2．榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000人次，数据409000用科学记数法表示为（　　）
A．409×103 B．4.09×104 C．40.9×104 D．4.09×105
4．如图，若△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．8名同学某双休日锻炼的时间如下（单位：时）：2，4，4，2，3，3，4，5，这组数据的中位数是（　　）
A．2.5时 B．3时 C．3.5时 D．4时
6．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（　　）
A．18 B．12 C．24 D．9
7．在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球．这样先后摸得的两球均为红球的可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，△AOB的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作BD⊥y轴于点D，交OA于点E．若E为AO的中点，则△AEB的面积是（　　）
A． B． C．6 D．5
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．点P从A出发，沿AC﹣CB向终点B运动，过P作PQ⊥AB于点Q，连结CQ．设点P的运动路径长为x（0≤x≤8），△APQ的面积为y1，△PQC的面积为y2，y1，y2关于x的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（　　）
A．AC＝4
B．点（7，2）在y1函数图象上
C．y1的最大值为4
D．当x＝2时，y1＝y2＝1
二．填空题（共6小题）
11．|﹣7|＝　 　 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，AC＝6，BD＝4，则tan∠DAO的值为　 　 ．
13．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　 ．
14．如图，长尾夹的侧面是△ABC，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB＝AC＝15mm，∠ACB＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为　 　 mm．（结果精确到1mm）（参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
15．如图，矩形ABCD是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿DE折叠，使得点C落在点C′处，且A，C′，E三点在同一直线上，则　 　 ．
16．如图，矩形ABCD内接于⊙O，点E，点F分别是，上的点，连接DE，BF分别交AB，AD于点G，H．若，则⊙O的直径为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：（﹣1）×（﹣3）+（﹣1﹣1）2； （2）化简：x（x﹣2）+（x﹣1）2．
18．（1）解方程组：； （2）．
19．【实验与验证】
如图1，做一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将角平分仪上的顶点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．
请说明AE平分∠PRQ的理由．
【迁移与作图】
请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出∠PRQ的平分线．
20．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门活动课．按照类别分为：A“围棋”、B“足球”、C“篮球”、D“书法”、E“插花”．为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查（每人限报一项），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　 　 ；统计图中A活动课的扇形圆心角α的度数为　 　 ，并通过计算补全条形统计图．
（2）该校共有1600名学生，请你估计全校喜爱“书法”的学生人数．
21．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒．
现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如表：
裁剪方法 纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法
裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数
2x y
（1）①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y；
②当m＝13时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题；
（2）当m＝29时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案．
22．如图，在矩形ABCD中，将BC绕点B旋转至BC′，C′在AD上，过点C′作GC′⊥BC′，交CD于点G，连结BG．
（1）求证：GC＝GC′．
（2）若AB＝5，BC＝13，求GC的长．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）．
（1）求该图象的对称轴．
（2）若该函数的最大值为﹣a2+2a+5，求该函数的表达式．
（3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，满足m≤3，x2＞x1，且1≤x2﹣x1≤4，求a的取值范围．
24．已知菱形ABCD的面积为，．
（1）如图1，求菱形ABCD的边长．
（2）如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，EC．点A关于BE的对称点为点A′，BA'交射线AD于点F．
①当点A′落在线段EC上时，求AF的长．
②的最大值为　 　 ．
浙江省26届中考数学精准预测卷一（精挑浙江中考及各市模拟经典题型，必考题型和最新变化题型））
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2026的绝对值是（　　）
A．2026 B．﹣2026 C． D．
【分析】根据绝对值的定义进行解题即可．
【解答】解：﹣2026的绝对值为：|﹣2026|＝2026．
故选：A．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．
3．2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000人次，数据409000用科学记数法表示为（　　）
A．409×103 B．4.09×104 C．40.9×104 D．4.09×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：409000＝4.09×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，若△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝32+42＝52＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴sinA，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．8名同学某双休日锻炼的时间如下（单位：时）：2，4，4，2，3，3，4，5，这组数据的中位数是（　　）
A．2.5时 B．3时 C．3.5时 D．4时
【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据数据个数为偶数，计算中间两个数的平均数即可得到结果．
【解答】解：8名同学某双休日锻炼的时间如下（单位：时）：2，4，4，2，3，3，4，5，
将这组数据从小到大排序，得：2，2，3，3，4，4，4，5，
∵这组数据共有8个，个数为偶数，
∴中位数为排序后第4个数和第5个数的平均数．
∵第4个数是3，第5个数是4，
∴中位数为（时）．
故选：C．
【点评】本题考查中位数，正确进行计算是解题关键．
6．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（　　）
A．18 B．12 C．24 D．9
【分析】由题意可知，△ABC与△A'B'C'是位似比为1：2的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），
∴△ABC∽△A'B'C'且相似比为1：2，
∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝1：4，
∵△ABC的面积是6，
∴△A′B′C′的面积为24，
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，掌握相似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
7．在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球．这样先后摸得的两球均为红球的可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】画出树状图即可得解．
【解答】解：从箱子里摸出1个球，放回，摇均匀后再摸出1个球．作树状图如下：
根据树状图得，先后摸得的两球均为红球的情况有4种，
故选：D．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键．
8．人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数＝总制作数量÷平均每人制作的数量列方程即可．
【解答】解：根据题意可得方程．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
9．如图，△AOB的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作BD⊥y轴于点D，交OA于点E．若E为AO的中点，则△AEB的面积是（　　）
A． B． C．6 D．5
【分析】设，则可求得点E和点B的坐标，推出BE的长，利用三角形面积公式即可解答．
【解答】解：设，则，
∵BD⊥y轴，
∴点B的纵坐标为，
，
∴，
∴，点A到BE的距离为，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．点P从A出发，沿AC﹣CB向终点B运动，过P作PQ⊥AB于点Q，连结CQ．设点P的运动路径长为x（0≤x≤8），△APQ的面积为y1，△PQC的面积为y2，y1，y2关于x的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（　　）
A．AC＝4
B．点（7，2）在y1函数图象上
C．y1的最大值为4
D．当x＝2时，y1＝y2＝1
【分析】根据图2可得AC+CB的长度为8，可得AC＝4；画出x＝7时的图形，计算△APQ的面积即可；根据题意可得当x＝4时，△APQ的面积最大；画出x＝2时的图形，计算△APQ和△PQC的面积即可．
【解答】解：由题意得，AC+CB＝8，
∵AC＝BC，
∴AC＝BC＝4，故选项A正确；
当x＝7时，如图，则PB＝1，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴，
即x＝7时，，
∴点（7，2）不在y1函数图象上，故选项B错误；
可得当x＝4时，S△APQ最大，
此时，
∴，故选项C正确；
当x＝2时，如图，则AP＝CP＝2，，
∵AP＝PC，
∴，
即当x＝2时，y1＝y2＝1，故选项D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
二．填空题（共6小题）
11．|﹣7|＝　﹣4　 ．
【分析】利用算术平方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝3﹣7＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，AC＝6，BD＝4，则tan∠DAO的值为　　 ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OD的长，在Rt△AOD中，根据正切的定义求解即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°．
∵菱形的对角线互相平分，
∴OA是对角线AC的一半．
，
OD是对角线BD的一半．
，
在Rt△AOD中，
．
【点评】题目考查了菱形的性质、解直角三角形，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
13．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　　 ．
【分析】根据题意画树状图即可得到结果．
【解答】解：画树状图为：
由树状图可知其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种，
∴甲出的卡片数字比乙大的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用树状图求概率，熟练掌握该知识点是关键．
14．如图，长尾夹的侧面是△ABC，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB＝AC＝15mm，∠ACB＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为　10　 mm．（结果精确到1mm）（参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
【分析】由题意可知，这个长尾夹最大夹纸厚度即为BC的长，作AD⊥BC于点D，则CD＝BD，只要求出CD的长就可求出BC的长，由∠ADC＝90°得，则CD＝AC cos70°，其中AC＝15mm，cos70°＝0.34，所以可求出CD的长．
【解答】解：当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，
这个长尾夹最大夹纸厚度即为BC的长．
如图，作AD⊥BC于点D．
∵∠ACB＝70°，AB＝AC＝15mm，
∴CD＝BD．
∵∠ADC＝90°，
∴．
∴CD＝AC cos70°＝15×0.34＝5.1（mm）．
∴BC＝2AC＝2×5.1＝10.2≈10（mm）．
答：这个长尾夹最大夹纸厚度约为10mm．
故答案为：10．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．如图，矩形ABCD是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿DE折叠，使得点C落在点C′处，且A，C′，E三点在同一直线上，则　　 ．
【分析】设矩形ABCD的长为，宽为a，根据矩形的性质得，AB＝CD＝a，∠B＝∠C＝90°，根据折叠的性质得∠DC′E＝∠C＝90°，C′E＝CE，C′D＝CD＝a，则∠DC′A＝90°，利用勾股定理求出AC′＝a，设C′E＝CE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理列出方程，求出x的值，即可解答．
【解答】解：设矩形ABCD的长为，宽为a，
则，AB＝CD＝a，∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得，∠DC′E＝∠C＝90°，C′E＝CE，C′D＝CD＝a，
∴∠DC′A＝90°，
∴，
设C′E＝CE＝x，则AE＝AC′+C′E＝a+x，，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD内接于⊙O，点E，点F分别是，上的点，连接DE，BF分别交AB，AD于点G，H．若，则⊙O的直径为　　 ．
【分析】由等弧推出∠ABF＝∠ADE，设DH＝x，则AD＝2+x，根据tan∠ABF＝tan∠ADE建立方程，可得AD＝4，最后用勾股定理求解直径即可．
【解答】解：∵，
∴∠ABF＝∠ADE，
设DH＝x，则AD＝2+x，
故tan∠ABF＝tan∠ADE，即，
∴，
解得x＝4，
∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴矩形的对角线即为⊙O的直径，
∴BD，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：（﹣1）×（﹣3）+（﹣1﹣1）2；
（2）化简：x（x﹣2）+（x﹣1）2．
【分析】（1）先算括号里面的，再算乘方，然后算乘法，最后算加减即可；
（2）利用单项式乘多项式法则，完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）2
＝3+4
＝7；
（2）原式＝x2﹣2x+（x2﹣2x+1）
＝x2﹣2x+x2﹣2x+1
＝2x2﹣4x+1．
【点评】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（1）解方程组：；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解答】解：（1），
②﹣①，得5y＝5，
解得：y＝1，
把y＝1代入①，得x﹣2×1＝1，
解得：x＝3，
∴方程组的解为；
（2）方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），得3（x﹣2）﹣（x+2）＝0，
去括号，得3x﹣6﹣x﹣2＝0，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
【点评】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，掌握解分式方程的方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19．【实验与验证】
如图1，做一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将角平分仪上的顶点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．
请说明AE平分∠PRQ的理由．
【迁移与作图】
请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出∠PRQ的平分线．
【分析】（1）证明ACB≌△ACD得到∠BAC＝∠DAC，从而可判断AE平分∠PRQ；
（2）利用基本作图作∠QRP的平分线即可．
【解答】解：（1）在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE平分∠PRQ；
（2）如图，RM为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义．
20．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门活动课．按照类别分为：A“围棋”、B“足球”、C“篮球”、D“书法”、E“插花”．为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查（每人限报一项），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　80　 ；统计图中A活动课的扇形圆心角α的度数为　72°　 ，并通过计算补全条形统计图．
（2）该校共有1600名学生，请你估计全校喜爱“书法”的学生人数．
【分析】（1）由B所占的百分比及参加B类活动课的人数可求得样本容量，再由360°乘以A活动课的百分比即可求出A活动课的扇形圆心角度数，用总人数减去已知各项活动人数求出喜爱D“书法”的人数，补全统计图即可；
（2）用该校共有学生数乘以样本中喜爱“书法”的学生人数的占比即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量为18÷22.5%＝80，
，
D组人数为80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（人），
补全条形统计图如下：
（2）（人）
答：估计全校喜爱“书法”的学生人数为360人．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒．
现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如表：
裁剪方法 纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法
裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数
2x y
（1）①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y；
②当m＝13时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题；
（2）当m＝29时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案．
【分析】（1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得 x+y＝m，且长方形和正方形的纸板比为3：2，即可求解；
②将 m＝13代入，结合长方形和正方形的纸板比为3：2，列出一元一次方程，即可求解；
（2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解；
方法二：不妨设按方案①裁剪a张，则按方案②裁剪 （29﹣a） 张，根据（1）②的方法列出方程，可得α＝20，则长方形有40张，正方形27张，即可求解．
【解答】解：（1）①由题意可知，小长方形纸板有2x块，正方形纸板有y块，
∴
②当m＝13时，依题意得：2×2x＝3×3（13﹣x），
解得：x＝9，
∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板．
∴2×9÷3＝6（个），
答：最多能做6个无盖长方体纸盒；
（2）设能做n个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板3n块，正方形纸板2n块，
∴按图1方法裁剪张，
按图2方法裁剪张，
∴29，
解得：n≤135，
∵n为整数，
∴n的最大值为13，
检验，当 n＝13时，需要小长方形纸板39块，正方形纸板26块，
取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；
取9张纸板按图2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件，
答：最多能做13个无盖长方体纸盒．
【点评】题目考查了一元一次方程的应用、列代数式、代数式求值，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
22．如图，在矩形ABCD中，将BC绕点B旋转至BC′，C′在AD上，过点C′作GC′⊥BC′，交CD于点G，连结BG．
（1）求证：GC＝GC′．
（2）若AB＝5，BC＝13，求GC的长．
【分析】（1）根据HL证明Rt△BC'G≌Rt△BCG即可得出结论；
（2）设GC'＝GC＝x，则GD＝5﹣x，在Rt△GDC'中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵将BC绕点B旋转至BC′，
∴BC'＝BC，
∵过点C′作GC′⊥BC′，
∴∠BC'G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠BC'G＝90°，
又∵BG＝BG，
∴Rt△BC'G≌Rt△BCG（HL），
∴GC＝GC'；
（2）解：∵BC＝13，
∴BC'＝13，
∴AC'12，
∴C'D＝13﹣12＝1，
设GC'＝GC＝x，则GD＝5﹣x，
在Rt△GDC'中，由勾股定理得，
C'D2+DG2＝C'G2，
即12+（5﹣x）2＝x2，
解得x＝2.6，
即GC的长为2.6．
【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）．
（1）求该图象的对称轴．
（2）若该函数的最大值为﹣a2+2a+5，求该函数的表达式．
（3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，满足m≤3，x2＞x1，且1≤x2﹣x1≤4，求a的取值范围．
【分析】（1）代入点（2，1）到y＝ax2+bx+1（a≠0）整理得到b＝﹣2a，再根据二次函数的对称轴公式即可求解；
（2）由（1）得y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，结合函数有最大值可知a＜0，且当x＝1时，二次函数取得最大值1﹣a，结合题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答；
（3）根据二次函数的对称性可得，则x1＝2﹣x2结合1≤x2﹣x1≤4求得则有当时，m≤3恒成立，再分a＞0和a＜0两种情况讨论，求出y在3范围内的最大值，进而列出关于a的不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1），
∴1＝4a+2b+1，
∴b＝﹣2a，
∴1，
∴该图象的对称轴为直线x＝1；
（2）由（1）可知二次函数y＝ax2﹣2ax+1，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴该函数的最值为1﹣a，
∵该函数的最大值为﹣a2+2a+5，
∴a＜0，1﹣a＝﹣a2+2a+5，
整理得a2﹣3a﹣4＝0，
（a﹣4）（a+1）＝0，
解得a＝﹣1或a＝4（舍去），
∴二次函数y＝﹣x2+2x+1；
（3）由题意，∵M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，且点M和点N纵坐标相同，
∴点M和点N关于对称轴x＝1对称，
∴，即x1+x2＝2，
∴x1＝2﹣x2，
若1≤x2﹣x1≤4，
∴1≤x2﹣（2﹣x2）≤4，解得，
∴当时，满足m≤3，
①若a＞0，则y＝ax2﹣2ax+1，
在范围内y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y有最大值9a﹣6a+1＝3a+1，
∴3a+1≤3，解得，
∴；
②若a＜0，则y＝ax2﹣2ax+1，
在范围内y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，
∴，解得，
∴．
综上所述，a的取值范围为或．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．已知菱形ABCD的面积为，．
（1）如图1，求菱形ABCD的边长．
（2）如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，EC．点A关于BE的对称点为点A′，BA'交射线AD于点F．
①当点A′落在线段EC上时，求AF的长．
②的最大值为　　 ．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据，设BH＝a，则BC＝AB＝5a，，利用菱形的面积列方程求解即可；
（2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到EC＝BC＝CD，过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝EK，根据，求出DK＝EK＝2，从而求出AE的长，进而求出AC的长，证明△BAC∽△FAE，求出EF的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；
②作∠BCH＝∠BFC，交BF于点H，证明△BCH∽△BFC，得到，进而得到BC2＝BH BF，，BH BF＝100，，得到当CH最小时，的值最大，作BG⊥AD交DA的延长线于点G，在射线BG上取一点I，使BG BI＝100，连接IH，证明△IBH∽△FBG，得到∠BHI＝∠BGF＝90°，进而得到点H在以BI为直径的圆上运动，取BI的中点O，连接OH，OC，得到CH≥OC﹣OH，进而得到当C，H，O三点共线时，CH的值最小，求出CH的最小值即可．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵，
∴设BH＝a，则BC＝AB＝5a，，
∵菱形ABCD的面积为，
∴，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴菱形ABCD的边长为5×2＝10；
（2）①∵点A关于BE的对称点A落在线段EC上，
∴∠AEB＝∠CEB，AE＝AE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，BC＝CD，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠CEB，
∴EC＝BC＝CD，
如图2，过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝EK，
由（1）知，，CD＝AD＝10，
∴DK＝EK＝2，
∴AE＝10﹣2﹣2＝6；
∴A'E＝AE＝6，A'C＝CE﹣A'E＝10﹣6＝4，
∵AD∥BC，
∴△BA'C∽△FA'E，
∴，
∴，
∴AF＝AE+EF＝6+15＝21；
②作∠BCH＝∠BFC，交BF于点H，
∵∠FBC＝∠HBC，
∴△BCH∽△BFC，
∴，
∴BC2＝BH BF，，
即：BH BF＝100，，
∴当CH最小时，的值最大，
作BG⊥AD交DA的延长线于点G，在射线BG上取一点l，使BG BI＝100，连接lH，
由（1）可知：BG＝4，
∴BI，
∵BG BI＝BH BF，
∴BG：BH＝BF：BI，
又∵∠GBF＝∠IBH，
∴△IBH∽△FBG，
∴∠BHI＝∠BGF＝90°，
∴点H在以BI为直径的圆上运动，
取BI的中点O，连接OH，OC，则，CH≥OC﹣OH，
∴当C，H，O三点共线时，CH的值最小，
在Rt△BOC中，由勾股定理，得，
∴CH的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、隐圆问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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