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浙江省中考数学压轴题训练——定值问题
（精选浙江省最新几何定值各类经典题型）
1．如图，在△ABC中，AC＝1，AC边上的中线，过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，EC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．x2+xy D．y2+xy
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
3．如图，等边三角形ABC的边长为2，点D在边BC上，延长CA至点E，使AE＝BD，连接DE交AB于点F，记BD＝x，DF＝y，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　）
A．xy B． C．3x2﹣4y2 D．
4．如图所示，菱形ABCD有三个顶点A，B，D在⊙O上，AD＝5，点O在对角线AC上，记⊙O半径长为x，AC长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C． D．x﹣y
5．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE＝BF＝CG＝AH．若菱形的面积等于24，BD＝8，记EF＝x，GH＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x﹣y B．x+y C．xy D．x2+y2
6．如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD为正方形，点P是边AD上方一点，且满足∠APC＝90°，下列各式的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2
9．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，E为BC边上的一个动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，CD⊥AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连结AE．记AE的长为x，DE的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，点O是对角线BD上一动点，当9≤BO≤16时，过点O作BD的垂线，分别交边BC，AD于点E，F，连结DE，BF，下列三角形中与△ABF的面积之和不变的是（　　）
A．△BOF B．△DOF C．△DOE D．△DCE
12．如图，矩形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且BE＝CD，连结AE，与DC的交于点F，点G是EF的中点，连结BD，BF，BG，DE．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，AD∥BC，∠BDC＝90°，记AB＝x，AD＝y，当BC不变，AB改变的过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．x2﹣y2
14．如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），连结CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连结BG，DE．当点F运动时，下列比值不变的是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，在Rt△ABC中（AB＜BC），BD⊥AC，点E，F分别是AB，BC上的动点，连结DE，DF，点A和A′关于DE对称，点C和C′关于DF对称，且点A′，C′都在BD所在的直线上．已知BE＝4，设AE＝x，CF＝y．下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN＝x，DM＝y，且x＞y，若CM＝DN＝5，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2
17．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，AF⊥BD，AE＝2AF，．记BE长为x，BO长为y（x≠0，y≠0）．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C．x2﹣y2 D．x2+y2
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，E，F是AD上的两个点，且∠ABE＝∠CBF，记BE长为x，BF长为y，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B． C．x2+y2 D．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG．连接EG，过点B作BH⊥EG于点H，过点A作MN∥BC分别交BD，FG，BH于点M，N，P，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
20．如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B′在边CD上，AB的对应边A′B′交AD于点G，记B′C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．（y+1）（x+1） C．xy D．x2+y2
浙江省中考数学压轴题训练——定值问题
（精选浙江省最新几何定值各类经典题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．如图，在△ABC中，AC＝1，AC边上的中线，过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，EC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．x2+xy D．y2+xy
【分析】连接DE，过D作DF⊥BC于F，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在Rt△BDF和Rt△CDF中利用勾股定理列方程，化简整理即可．
【解答】解：连接DE，过D作DF⊥BC于F，
则∠BFD＝∠CFD＝90°，
∵AC边上的中线，AE⊥BC，AC＝1，
∴，
∴，
∵EC的长为y，BE的长为x，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
由勾股定理可得，，
∴，
整理得：，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，证明△AGF∽△ECF得出，进而逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，
∵等腰直角三角形ABC中，BC＝8，
∴，
∵CE⊥BC，
∴AG∥EC，
∴△AGF∽△ECF，
∴即，
解得：，
∴x+yy，，都不是定值，
∴是定值，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．如图，等边三角形ABC的边长为2，点D在边BC上，延长CA至点E，使AE＝BD，连接DE交AB于点F，记BD＝x，DF＝y，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　）
A．xy B． C．3x2﹣4y2 D．
【分析】过点D作DH∥AC交AB于点H，过点F作FP⊥AC于点P，证明△BDH是等边三角形得BD＝BH＝DH＝x，则AH＝2﹣x，DH＝BD＝AE＝x，由此可判定△DHF和△EAF全等，则DF＝EF＝y，HF＝AF，在Rt△AFP中，根据∠AFP＝30°得AP，PE，PF，然后在Rt△EFP中，由勾股定理得，整理得3x2﹣4y2＝﹣4，据此即可得出答案．
【解答】解：过点D作DH∥AC交AB于点H，过点F作FP⊥AC于点P，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴AB＝BC＝CA＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝60°，
∵DH∥AC，
∴∠BDH＝∠C＝60°，∠FDH＝∠E，
∴∠B＝∠BDH＝60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BD＝BH＝DH＝x，
∴AH＝AB﹣BH＝2﹣x，
∵AE＝BD＝x，
∴DH＝AE＝x，
在△DHF和△EAF中，
，
∴△DHF≌△EAF（AAS），
∴DF＝EF＝y，HF＝AFAH，
∵∠BAD＝60°，FP⊥AC，
∴在Rt△AFP中，∠AFP＝90°﹣∠BAD＝30°，
∴APAF，
∴PE＝AE+AP
由勾股定理得：PF，
在Rt△EFP中，由勾股定理得：EF2＝PF2+PE2，
∴，
整理得：，
∴4y2＝4+3x2，
∴3x2﹣4y2＝﹣4，
∴代数式 3x2﹣4y2的值保持不变，始终为﹣4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算时解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和含30度角的直角三角形的性质是解决问题的难点．
4．如图所示，菱形ABCD有三个顶点A，B，D在⊙O上，AD＝5，点O在对角线AC上，记⊙O半径长为x，AC长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C． D．x﹣y
【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA，再利用菱形的性质可得BA＝BC＝AD＝5，从而可得∠OAB＝∠ACB，进而可得∠OBA＝∠ACB，然后证明△AOB∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：连接OB，
∵OA＝OB＝x，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC＝AD＝5，
∴∠OAB＝∠ACB，
∴∠OBA＝∠ACB，
∵∠OAB＝∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AO AC，
∴xy＝25．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE＝BF＝CG＝AH．若菱形的面积等于24，BD＝8，记EF＝x，GH＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x﹣y B．x+y C．xy D．x2+y2
【分析】由菱形的性质求出AC＝6，证明∠BEF＝∠BAC，得EF∥AC，证出△BEF∽△BAC，得出；同理可得，从而可证明EF+GH＝AC＝6，得x+y＝6是定值．
【解答】解：在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE＝BF＝CG＝AH．
如图，连接AC，交BD于点O，
∵AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴，
∴AC＝6，
∵BE＝BF，
∴，
∵BA＝BC，
∴，
∴∠BEF＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∵BA＝DA，
∴；
同理可证△DHG∽△DAC，
∴，
∴，
即，
∴EF+GH＝AC＝6，
∴x+y＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．
6．如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接AG，CG，证明△ABG和△CBG全等得AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，再证明△GBF是等腰直角三角形得GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，进而可证明△GCF和△GEB全等，则CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得AEEG，则，据此即可得出答案．
【解答】解：连接AG，CG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，
∵FG⊥BD，
∴∠BGF＝90°，
又∵∠CBG＝45°，
∴△GBF是等腰直角三角形，
∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，
在△GCF和△GEB中，
，
∴△GCF≌△GEB（SAS），
∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，
∴AG＝EG，
∴△GAE是等腰三角形，
∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB，
∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
在Rt△GAE中，由勾股定理得：AEEG，
∴为定值．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
7．如图，四边形ABCD为正方形，点P是边AD上方一点，且满足∠APC＝90°，下列各式的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BE⊥BP，交PC的延长线于点E，则∠PBE＝90°，根据∠APC＝90°得∠E＝∠BPA，根据正方形性质得BC＝BA，∠ABC＝90°，进而得∠CBE＝ABP，由此依据“AAS”判定△BCE和△BAP全等得EB＝PB，CE＝AP，则PE＝PA+PC，在Rt△BPE中由勾股定理得PEPB，继而得，据此即可得出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥BP，交PC的延长线于点E，如图所示：
∴∠PBE＝90°，
在Rt△ABE中，∠E+∠BPC＝90°，
∵∠APC＝90°，
∴∠BPA+∠BPC＝90°，
∴∠E＝∠BPA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠PBE＝∠ABC＝90°，
∴∠PBE﹣∠PBC＝∠ABC﹣∠PBC，
即∠CBE＝ABP，
在△BCE和△BAP中，
，
∴△BCE≌△BAP（AAS），
∴EB＝PB，CE＝AP，
∴PE＝DE+PC＝PA+PC，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：PEPB，
∴，
即，
∴为定值．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2
【分析】连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，由正方形的性质得BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，则∠ABD＝∠NBC，即可证明△ABD≌△NBC，得∠BAD＝∠BNC，推导出∠AIC＝90°，可证明AC2+DN2＝CD2+AN2，由DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，得CD2＝2BC2＝2a2，AN2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，则y2+x2＝2a2+2y2+2a2，整理得x2﹣y2＝4a2，所以x2﹣y2为定值，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，
∵四边形BDEC和四边形AMNB都是正方形，
∴BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，
∴∠ABD＝∠NBC＝90°+∠ABC，
在△ABD和△NBC中，
，
∴△ABD≌△NBC（SAS），
∴∠BAD＝∠BNC，
∵∠ALI＝∠BLN，
∴∠AIC＝∠BAD+∠ALI＝∠BNC+∠BLN＝90°，
∴∠AIN＝∠DIN＝∠CID＝90°，
∵AC2+DN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，CD2+AN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，
∴AC2+DN2＝CD2+AN2，
∵DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，
∴CD2＝BD2+BC2＝2BC2＝2a2，AN2＝AB2+NB2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，
∴y2+x2＝2a2+2y2+2a2，
∴x2﹣y2＝4a2，
∴x2﹣y2为定值，
故选：D．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
9．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，E为BC边上的一个动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接AC交BD于点O，设CD与FG交于点H，设OA＝b，则AC＝AB＝BC＝CD＝2b，由勾股定理得OB，则BD＝2OB，设CF＝BE＝2a，则EF＝2b，EC＝2b﹣2a，证明△CHF是等边三角形得CH＝CF＝2a，在Rt△DHG中，根据∠BDC＝30°得DG，进而得BG，对于选项A，不是定值；对于选项B，为定值；对于选项C，不是定值；对于选项D，不是定值，综上所述即可得出答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，设CD与FG交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴OA＝OCAC，∠BDCADC＝30°
设OA＝b，则AC＝AB＝BC＝CD＝2b，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB，
∴BD＝2OB，
设CF＝BE＝2a，
∴EF＝EC+CF＝BC﹣BE+CF＝BC＝2b，EC＝BC﹣BE＝2b﹣2a，
∵FG⊥BD，AC⊥BD，
∴FG∥AC，
∴∠F＝∠ACB＝60°，∠CHF＝∠ACD＝60°，
∴∠F＝∠CHF＝60°，
∴△CHF是等边三角形，
∴CH＝CF＝2a，
∴DH＝CD﹣CH＝2b﹣2a，
在Rt△DHG中，∠BDC＝30°，
∴GHDH＝b﹣a，
由勾股定理得：DG，
∴BG＝BD﹣DG，
对于选项A，不是定值；
对于选项B，为定值；
对于选项C，不是定值；
对于选项D，不是定值，
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，CD⊥AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连结AE．记AE的长为x，DE的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，可证明△CDE∽△DBE，根据相似三角形的性质得到DE2＝BE CE设CE＝2b，BE＝2a，利用勾股定理得AF2，于是得到结论．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵CD⊥AB，DE⊥BC，
∴∠CDE+∠EDB＝∠B+∠EDB＝90°，CF＝BF，
∴∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△DBE，
则DE2＝BE CE，
设CE＝2b，BE＝2a，则y2＝2a×2b＝4ab，
EF＝CEBC＝2b（2a+2b）＝b﹣a，
∵AB＝AC＝10，
∴AF2＝AC2﹣CF2＝100﹣（a+b）2，AF2＝AE2﹣EF2＝x2﹣（b﹣a）2，
即100﹣（a+b）2＝x2﹣（b﹣a）2，
化解得x2+y2＝100，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，点O是对角线BD上一动点，当9≤BO≤16时，过点O作BD的垂线，分别交边BC，AD于点E，F，连结DE，BF，下列三角形中与△ABF的面积之和不变的是（　　）
A．△BOF B．△DOF C．△DOE D．△DCE
【分析】当9≤BO≤16时，由△ABM∽△DAB，推出AB：AD＝AM：BD，求出AM，得到EF的长是定值，于是四边形BEDF的面积BD EF＝定值，因此△ABF的面积+△DEC的面积＝矩形ABCD的面积﹣四边形BEDF的面积＝定值．
【解答】解：过A作AM⊥BD于G交BC于M，作CN⊥BD于N交AD于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝20，∠BAD＝90°，AF∥ME，
∵AB＝15，
∴BD25，
∵∠AGB＝∠BAD＝90°，∠ABG＝∠ABD，
∴△ABG∽△DBA，
∴AB：DB＝BG：AB，
∴15：25＝BG：15，
∴BG＝9，
同理可求DH＝9，
∴BH＝BD﹣DH＝16，
当9≤BO≤16时，
∵EF⊥BD，AM⊥BD，
∴AM∥EF，
∵AE∥ME，
∴四边形AMEF是平行四边形，
∴EF＝AM，
∵∠BAM+∠DAG＝∠ADB+∠DAG＝90°，
∴∠BAM＝∠ADB，
∵∠ABM＝∠BAD，
∴△ABM∽△DAB，
∴AB：AD＝AM：BD，
∴15：20＝AM：25，
∴AM，
∴FE，
∴EF的长是定值，
∵四边形BEDF的面积＝△FBD的面积+△EBD的面积BD OFBD OEBD EF＝定值，
∴△ABF的面积+△DEC的面积＝矩形ABCD的面积﹣四边形BEDF的面积＝定值．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由相似三角形的性质求出AM的长，判定FE的长是定值．
12．如图，矩形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且BE＝CD，连结AE，与DC的交于点F，点G是EF的中点，连结BD，BF，BG，DE．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点E作ET⊥AD交AD的延长线于点T，连接BT，GT，GD，过点G作GK⊥CE于点K，交DT于点J．证明△DBG是等腰直角三角形可得结论．
【解答】解：过点E作ET⊥AD交AD的延长线于点T，连接BT，GT，GD，过点G作GK⊥CE于点K，交DT于点J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∵BE＝CD，
∴AB＝BE，
∵ET⊥AT，
∴∠ATE＝90°，
∴四边形ABET是矩形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABET是正方形，
∴EB＝ET，∠BEG＝∠TEG＝45°，
∵EG＝EG，
∴△EBG≌△ETG（SAS），
∴GB＝GT，
∵GK⊥CE，
∴GK∥FC，
∵GE＝GF，
∴CK＝EK，
∵CD∥KJ∥TE，
∴DJ＝JT，
∵KJ⊥DT，
∴DG＝GT＝GB，
∴点G是△BDT的外接圆的圆心，
∴∠DGE＝2∠ATB＝90°，
∴△DBG是等腰直角三角形，
∴BDBG，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，正方形的判定和性质，圆周角定理，平行线等分线段定理，四点共圆等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，AD∥BC，∠BDC＝90°，记AB＝x，AD＝y，当BC不变，AB改变的过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．x2﹣y2
【分析】过点A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F，设BE＝CE＝a为定值，由勾股定理求得AE2＝x2﹣a2，再证明△BDF∽△DCF，推出DF2＝CF BF，得到x2﹣a2＝（a+y）（a﹣y），据此求解即可．
【解答】解：作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD，DF⊥AD，
∴四边形AEFD为矩形，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵BC不变，
∴设BE＝CE＝a为定值，
∵AB＝x，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝x2﹣a2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴AE＝DF，AD＝EF＝y，
∴BF＝a+y，CF＝a﹣y，DF2＝x2﹣a2，
∵∠BFD＝∠CFD＝∠BDC＝90°，
∴∠BDF＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，
∴△BDF∽△DCF，
∴，
∴DF2＝CF BF，即x2﹣a2＝（a+y）（a﹣y），
∴x2﹣a2＝a2﹣y2，
整理得x2+y2＝2a2，
∴x2+y2为定值，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），连结CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连结BG，DE．当点F运动时，下列比值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，根据正方形的性质及平行线的性质证明∠BCG＝∠DCE＝∠DFE，FH＝AD＝CD，进而可依据“SAS”判定△FHE和△CDE全等则HE＝DE，∠FEH＝∠CED，由此得∠DEH＝∠CEF＝90°，则△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝DHDE，则，再证明△BCG和△DCE全等得BG＝DE，继而得，由此即可得出答案．
【解答】解：延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝CB，AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DFC，
∵四边形CEFG是正方形，
∴FE＝CE＝CG，∠CEF＝∠GCE＝90°，∠GCF＝∠EFC＝45°，
∴∠BCF﹣∠GCF＝∠DFC﹣∠EFC，
∴∠BCG＝∠DFE，
∵∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG+∠GCD＝∠GCD+∠DCE，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴∠DFE＝∠DCE，
∵DH＝AF，
∴DH+DF＝AF+DF，
∴FH＝AD＝CD，
在△FHE和△CDE中，
，
∴△FHE≌△CDE（SAS），
∴HE＝DE，∠FEH＝∠CED，
∴∠FED+∠DEH＝∠FED+∠CEF，
∴∠DEH＝∠CEF＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DHDE，
∴AFDE，
∴，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
∴，
∴当点F运动时，AF/BG的值不变，始终等于．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中（AB＜BC），BD⊥AC，点E，F分别是AB，BC上的动点，连结DE，DF，点A和A′关于DE对称，点C和C′关于DF对称，且点A′，C′都在BD所在的直线上．已知BE＝4，设AE＝x，CF＝y．下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．
【分析】由轴对称的性质可得∠CDF＝∠C′DF，∠ADE＝∠A′DE，则点E到AD和到BD的距离相等，利用等面积法可证明，同理可得，证明△DBC∽△DAB，求出，再证明△ADB∽△ABF，得到，即，据此可得xy＝16．
【解答】解：由轴对称的性质可得∠CDF＝∠C′DF，∠ADE＝∠A′DE，
∴DE，DF分别平分∠ADB，∠CBD，
∴点E到AD和到BD的距离相等，
设点E到AD的距离为h，
∴，
∴，
同理可得，
由条件可知∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠C+∠DBC＝∠C+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
∴△DBC∽△DAB，
∴，
∴，即，
∴，
∵∠A＝∠A，∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴xy＝16，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，轴对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN＝x，DM＝y，且x＞y，若CM＝DN＝5，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2
【分析】在OD上取一点P，使得DP＝CN＝x，过C作CQ⊥OD于Q，先根据三角形全等得出CP＝DN＝CM，根据等腰三角形的性质求出QM，从而求出DQ，再根据勾股定理列出等式，化简即可得出xy为定值．
【解答】解：在OD上取一点P，使得DP＝CN＝x，过C作CQ⊥OD于Q，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OD＝OC，
∴∠CDP＝∠DCN，
∵CD＝CD，
∴△CDP≌△DCN（SAS），
∴CP＝DN＝CM＝5，
∵CQ⊥OD，
∴PQ＝QM（x﹣y），
∴DQ＝QM+DM，
由勾股定理可知，CQ2＝CM2﹣QM2＝CD2﹣DQ2，
∴2536，
整理得：xy＝11，
∴xy的值是不变的．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，合理的构造全等三角形是本题解题的关键．
17．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，AF⊥BD，AE＝2AF，．记BE长为x，BO长为y（x≠0，y≠0）．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C．x2﹣y2 D．x2+y2
【分析】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，求得AD＝EH＝BC，AE＝DH，得到BE＝CH＝x，根据勾股定理得到CE，求得BC＝BE+CE＝x，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∵AE⊥BC，
∴四边形AEHD是矩形，
∴AD＝EH＝BC，AE＝DH，
∴BE＝CH＝x，
∴BH＝2x+CE，
∵AE2＝AC2﹣CE2，DH2＝BD2﹣BH2，BDAC，
∴（BD）2﹣CE2＝BD2﹣（2x+CE）2，
∴CE，
∴BC＝BE+CE＝x，
∵BD＝2OB＝2y，AE＝2AF，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝BD AF＝（x） 2AF＝2y AF，
∴y＝x，
∴，
∴代数式的值不变的是B选项，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，E，F是AD上的两个点，且∠ABE＝∠CBF，记BE长为x，BF长为y，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B． C．x2+y2 D．
【分析】利用勾股定理得到AE，AF，利用相似三角形的判定与性质得到AE AF＝1，化简整理后利用等式的性质解答即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝1，BE长为x，BF长为y，
∴AE，AF．
∵∠A＝∠A，∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△ABF，
∴，
∴AE AF＝AB2＝1，
∴，
∴（x2﹣1）（y2﹣1）＝1，
∴x2y2﹣（x2+y2）+1＝1，
∴x2y2＝x2+y2，
∴1．
∴代数式的值不变的是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等式的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG．连接EG，过点B作BH⊥EG于点H，过点A作MN∥BC分别交BD，FG，BH于点M，N，P，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设BH交AE于点K，证明△ABC和△AEG全等得∠ABC＝∠AEG，BC＝EG，证明四边形ACBM是平行四边形得AM＝BC，则AM＝EG，证明∠AEG＝∠ABP，进而得∠PAB＝∠ABP，则AP＝PB，再证明PB＝PM得AP＝PM，则EG＝AM＝2AP，继而得AP/EG＝1/2为定值，由此即可得出答案．
【解答】解：设BH交AE于点K，如图所示：
∵四边形ABDE，四边形ACFG都是正方形，
∴AB＝AH，AC＝AG，∠ABD＝∠BAE＝90°，
又∵∠BAC＝∠EAG＝90°，
∴在△ABC和△AEG中，
，
∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴∠ABC＝∠AEG，BC＝EG，
∵∠BAC＝∠ABD＝90°，
∴AC∥BM，
∴∠PAB＝∠ABC，
又∵MN∥BC，
∴四边形ACBM是平行四边形，
∴AM＝BC，
∴AM＝EG，
∵BH⊥EG，
∴∠EHK＝∠BAE＝90°，
在Rt△EHK中，∠AEG+∠1＝90°，
在Rt△ABK中，∠ABP+∠2＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AEG＝∠ABP，
又∵∠ABC＝∠AEG，∠PAB＝∠ABC，
∴∠PAB＝∠ABP，
∴AP＝PB，
在Rt△ABM中，∠3+∠PAB＝90°，
∵∠4+∠ABP＝∠ABD＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PB＝PM，
∴AP＝PM，
∴AM＝2AP，
∴EG＝2AP，
∴为定值．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
20．如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B′在边CD上，AB的对应边A′B′交AD于点G，记B′C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．（y+1）（x+1）
C．xy D．x2+y2
【分析】由折叠的性质可得B'F＝BF，∠A'B'F＝∠B＝90°，设CF＝m，则B'F＝BF＝BC﹣CF＝1﹣m，有勾股定理可得（1﹣m）2＝m2+x2，则，证明△DGB'∽△CB'F得到，则，根据AD＝AG+DG＝1，得到，则（x+1）（y+1）＝2，据此可得答案．
【解答】解：由正方形的性质可得AD＝BC＝CD＝1，∠D＝∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得B'F＝BF，∠A'B'F＝∠B＝90°，
设CF＝m，则B'F＝BF＝BC﹣CF＝1﹣m，
在Rt△B'FC中，由勾股定理得B'F2＝CF2+B'C2，
∴（1﹣m）2＝m2+x2，
∴，
∴，
∵∠DGB'+∠DB'G＝∠DB'G+∠CB'F，
∴∠DGB'＝∠CB'F，
∴△DGB'∽△CB'F，
∴，
∴，
∴，
∵AD＝AG+DG＝1，
∴，
∴2x+xy+y＝1+x，
∴xy+x+y＝1，
∴（x+1）（y+1）＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上性质是解题的关键．
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