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浙江省中考数学压轴题训练——函综（简答题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … ﹣1 2 4 m …
y … y1 ﹣4 y2 y3 …
（1）当y2＝﹣3时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若y1＜y3，求m的取值范围；
（2）求证：．
2．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣1﹣3a（a≠0）．
（1）若该函数的图象过原点．
①求a的值．
②点P（m，n）在该函数图象上，当t＜m＜t+1时，n＜0，求t的范围．
（2）已知0＜a≤1．当0≤x≤3时，函数最大值与最小值的差为，求a的值．
3．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣m2+5（m为常数）经过点（5，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且BC＝2AB，求n的值；
（3）设p＜3＜q，抛物线y＝（x﹣m）2﹣m2+5（p≤x≤q）的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若q﹣p的最大值为6，求直线l1，l2之间的距离．
4．已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c为常数）．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象于点A，B，AB＞2．
①求c的取值范围；
②若AB＝4，且当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的最小值为2，求t的值．
5．在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1中．
（1）已知该函数图象经过（2，0），求这个二次函数的表达式．
（2）当0＜x＜4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，求a的范围．
（3）如果A（m，a﹣1），B（n，b）在该二次函数图象上，且a﹣b＜1，求mn的范围．
6．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4，m＞0，O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，且x1＜x2．
（1）已知点A（﹣1，0），求该抛物线与x轴的另一交点坐标．
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC＝2OA，求m的值．
（3）若对于，都有y2＜4y1，求m的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t（t＞0）．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求x0的取值范围；
（3）当t﹣2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a，求t的值．
8．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）．
（1）当点P（2，0）在该二次函数图象上时，求a的值．
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上．
①若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2．
②若﹣a＜x1＜a，x2＝2a+1，存在y1＝y2，求a的取值范围．
9．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值．
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围．
10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（﹣1，2）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC＝2AB，求m的值．
（3）已知M（n﹣1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点A的坐标；（要有过程）
（2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N．
①当a＝6时，求MN的长．
②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而减小时，求a的取值范围．
12．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，3），且与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0）．
（1）若x1＝﹣1，
①求该二次函数的表达式．
②求x1+x2的值．
（2）过点（0，b）作与x轴平行的直线与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，若A，B两点都位于y轴的同一侧，求b的取值范围．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且AB＝10，图象顶点的横坐标为4．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求方程ax2﹣（6a﹣b）x+9a﹣6b+c＝0的解．
（3）若a＝1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y＝k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当时，求k的值．
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣5，点A（1，0）在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点B（5，y1），C（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n＞0）个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D（0，d），令d的最大值和最小值分别为d1，d2，若d1﹣d2＝12，求n的值．
15．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点A（m，n）为平面直角坐标系内一点．
（1）若将点A（m，n）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A′，求点A的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l：y＝x+1平移得直线l′，设直线l上任意一点A（m，n）平移后的对应点为A′．若直线l的平移距离，且直线AA′平行于第二、四象限的角平分线，求直线l′的函数表达式；
（3）将抛物线沿着射线y＝2x（x≥0）方向平移得到抛物线，当0≤x≤4时，抛物线上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围．
16．已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）（a为常数）．
（1）当a＝2时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a﹣1，求线段AB的长；
（3）若1＜a＜3，点（2a﹣3，m），（4a﹣5，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n．
17．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx﹣3b．
（1）当函数图象经过点（2，5）时；
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点A（p，q）向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数y＝﹣x2+2bx﹣3b的图象上，求p的值．
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：．
18．【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x（单位：m）和竖直高度y（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）2+k．
x … 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 …
y … 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 …
【建立模型】求出抛物线的函数表达式．
【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离．
【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为（m﹣0.1，k﹣0.1），通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米．
19．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米．动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P出发1秒后，动点Q也从A点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点P运动t（秒）时，点P，Q与点A之间较短的弧长分别为y1，y2．y1，y2与t的函数图象如图2所示．
（1）求x的值；
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式；
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长．
20．为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂AB，下臂BC长均为25cm．双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN．
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即k＝vr，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表：
旋转半径r（cm） 30 40 50
转动速度v（cm/s） 200 150 120
（1）请根据以上信息，求k的值（单位：cm2/s）．
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少cm？
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度v为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值．
21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．
（1）求a，b，k的值；
（2）求PQ的最大值；
（3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且，求m的值．
22．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝8米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为（m，m），
①点A的坐标为 　 　 ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即EF＝3米），此时货船能通过该桥洞吗？
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
23．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点C（0，5），B（10，0）（长度单位：m），求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面EG．已知“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥OC的正上方，其中光线NP所在的直线解析式为y＝﹣x+12，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
24．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
调研主题 装饰舞台——安装电子屏幕
模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C．
安装方式 矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴．
任务目标 1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米； 2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计）
数据采集 顶点F的坐标为，，．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE．
浙江省中考数学压轴题训练——函综（简答题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共24小题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … ﹣1 2 4 m …
y … y1 ﹣4 y2 y3 …
（1）当y2＝﹣3时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若y1＜y3，求m的取值范围；
（2）求证：．
【分析】（1）①令x＝0，求得对应的y值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；②根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到x＝m对应的点比x＝﹣1对应的点距离对称轴远，列不等式|m﹣2|＞|﹣1﹣2|，解不等式即可得解；
（2）令x＝2，得到，进而表示出a﹣b，结合a＞0即可得证．
【解答】（1）解：当y2＝﹣3时，
①当x＝0时，y＝﹣3，
当x＝4时，y＝y2＝﹣3，
由二次函数的对称性可知顶点坐标为（2，﹣4）．
②∵二次函数图象的对称轴为直线x＝2，且a＞0，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∴x＝m对应的点比x＝﹣1对应的点距离对称轴远，
∴|m﹣2|＞|﹣1﹣2|，即|m﹣2|＞3，
∴m﹣2＞3或2﹣m＞3，
解得m＞5或m＜﹣1，
∴m＞4，
∴m＞5．
（2）证明：由条件可知4a+2b﹣3＝﹣4，
∴，
∵a＞0，
∴．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
2．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣1﹣3a（a≠0）．
（1）若该函数的图象过原点．
①求a的值．
②点P（m，n）在该函数图象上，当t＜m＜t+1时，n＜0，求t的范围．
（2）已知0＜a≤1．当0≤x≤3时，函数最大值与最小值的差为，求a的值．
【分析】（1）①直接将（0，0）代入函数解析式计算即可；
②求出函数解析式，进而求出函数与x轴交点横坐标，根据二次函数的性质作答即可；
（2）先求出二次函数对称轴，进而得到对称轴的取值范围，分两种情况根据二次函数的性质作答即可．
【解答】解：（1）①∵图象过原点（0，0），
∴﹣1﹣3a＝0，
∴；
②∵，
∴，
∴令，
∴x1＝﹣1，x2＝0，
∵，
∴抛物线开口方向向下，
∵点P（m，n）在该函数图象上，当t＜m＜t+1时，n＜0，
∴t+1≤﹣1或t≥0，
∴t≤﹣2或t≥0；
（2）由题意得，对称轴为直线，
∵0＜a≤1，
∴，
∴，
①，
∴，
∵0＜a≤1，
∴此时开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大，
可知当x＝0时，最大值y＝﹣1﹣3a，
当时，最小值，
∵函数最大值与最小值的差为，
∴，
∴；
②，
∴，
∵0＜a≤1，
∴此时开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大，
可知当x＝0时，最大值y＝﹣1﹣3a，
当x＝3时，最小值y＝a×32﹣（2a+1）×3﹣1﹣3a＝﹣4，
∵函数最大值与最小值的差为，
∴，
∴（舍去）；
∴a＝1或．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
3．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣m2+5（m为常数）经过点（5，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且BC＝2AB，求n的值；
（3）设p＜3＜q，抛物线y＝（x﹣m）2﹣m2+5（p≤x≤q）的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若q﹣p的最大值为6，求直线l1，l2之间的距离．
【分析】（1）将点（5，0）代入解析式，求出解析式，根据顶点式即可求解；
（2）根据几何图形得出xC＝3xB，然后根据对称轴列出方程求解即可；
（3）根据直线和抛物线的交点得出，p，q为直线与抛物线的交点横坐标，根据q﹣p的最大值为6和对称轴得出q＝0，p＝6，然后求出两直线之间的距离即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣m）2﹣m2+5（m为常数）经过点（5，0）．将点（5，0）代入得：
（5﹣m）2﹣m2+5＝0，
解得：m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣32+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3；
（2）由（1）知：y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
当x＝0时，得：y＝5，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，5），
①当n＞5时，结合对称轴为直线x＝3，无法满足BC＝2AB；
②当n＜5时，
∵点A（0，n）在y轴上，过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为n，
又∵BC＝2AB，
∴xC＝3xB，
∴xB+xC＝6，
联立得：4xB＝6，
解得：，
把代入y＝x2﹣6x+5，得：，
∴；
（3）由y＝（x﹣3）2﹣4得：抛物线顶点坐标为（3，﹣4），对称轴为直线x＝3，
∵抛物线y＝（x﹣m）2﹣m2+5（p≤x≤q）的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，
∵要使q﹣p的最大值为6，p，q为直线与抛物线的交点横坐标，x＝p和x＝q关于对称轴对称，
∴其中一条直线经过顶点（3，﹣4），
设直线l1经过顶点，即l1：y＝﹣4时，
设q﹣p最大时，另一条直线l2的解析式为y＝h，
∴h＝x2﹣6x+5，
整理得：x2﹣6x+5﹣h＝0，
∴x＝p和x＝q为方程x2﹣6x+5﹣h＝0的两个根，
∴（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq，
∴62＝62﹣4（h﹣5），
解得：h＝5，
∴5﹣（﹣4）＝9，
∴直线l1，l2之间的距离为9．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和几何图形，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
4．已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c为常数）．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）过点（0，4）且与x轴平行的直线交二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象于点A，B，AB＞2．
①求c的取值范围；
②若AB＝4，且当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的最小值为2，求t的值．
【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可；
（2）①求出AB＝2时的c的值，即可得出结果；②根据题意，易得点（﹣1，4）在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分t＜0和t≥0两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c为常数）．
∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为直线．
（2）①当AB＝2时，
则二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象经过点（0，4），
∴c＝4，
∴当AB＞2时，c＞4．
②∵AB＝4，且二次函数y＝﹣x2+2x+c图象的对称轴为直线x＝1，
由题意可得：4＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c，解得c＝7．
∴y＝﹣x2+2x+7．
（Ⅰ）当t＜0时，|1﹣t|＞|t+2﹣1|，
∴当x＝t时，二次函数的最小值为2，
∴2＝﹣t2+2t+7，解得（舍去）或．
（Ⅱ）当t≥0时，|1﹣t|≤|t+2﹣1|，
∴当x＝t+2时，二次函数的最小值为2，
∴2＝﹣（t+2）2+2（t+2）+7，解得或（舍去）．
综上：t的值为或．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
5．在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1中．
（1）已知该函数图象经过（2，0），求这个二次函数的表达式．
（2）当0＜x＜4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，求a的范围．
（3）如果A（m，a﹣1），B（n，b）在该二次函数图象上，且a﹣b＜1，求mn的范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得顶点坐标为（1，﹣1），根据题意得到a＞0，结合图象得到保证在x＝0处不在x轴上方，保证在x＝4处在x轴上方，据此列出不等式即可求解；
（3）由A（m，a﹣1），B（n，b），结合a﹣b＜1，求得a[1﹣（n﹣1）2]＜0，分情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1的图象经过（2，0），代入得：
0＝4a﹣4a+a﹣1，
解得：a＝1，
这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1），恒在x轴下方，
∵当0＜x＜4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，
∴开口向上，即a＞0，
需满足：
当x＝0时，y＝a﹣1≤0 （保证在x＝0处不在x轴上方），
解得：a≤1；
当x＝4时，y＝9a﹣1＞0（保证在x＝4处在x轴上方），
解得：；
综上所述，a的范围为；
（3）如果A（m，a﹣1），B（n，b）在该二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1的图象上，将点A的坐标代入得：
a﹣1＝a（m﹣1）2﹣1，
∵a≠0，
解得：m＝0或m＝2，
将点B的坐标代入函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1得：
b＝a（n﹣1）2﹣1，
∵a﹣b＜1，
∴a﹣[a（n﹣1）2﹣1]＜1，
∴a[1﹣（n﹣1）2]＜0，
当a＞0时，则1﹣（n﹣1）2＜0，
∴（n﹣1）2＞1，
解得：n＜0或n＞2，
当m＝0时，则mn＝0；
当m＝2时，则mn＜0或mn＞4；
当a＜0时，则1﹣（n﹣1）2＞0，
∴（n﹣1）2＜1，解得：0＜n＜2，
当m＝0时，则mn＝0；
当m＝2时，则0＜mn＜4；
综上所述，当a＞0时，mn≤0或mn＞4；当a＜0时，0≤mn＜4．
即mn≠4．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换等知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
6．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4，m＞0，O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，且x1＜x2．
（1）已知点A（﹣1，0），求该抛物线与x轴的另一交点坐标．
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC＝2OA，求m的值．
（3）若对于，都有y2＜4y1，求m的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+4得出二次函数的解析式，然后令y＝0进行求解即可；
（2）由题意易得OC＝m，，然后把代入y＝﹣（x﹣m）2+4进行求解即可；
（3）由题意易得A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x＝m左侧，则有对于，都有y2＜4y1，则（y2）max＜（4y1）min，然后问题可进行求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+4得：﹣（﹣1﹣m）2+4＝0，
解得：m＝1或﹣3（舍），
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0得﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）；
（2）由y＝﹣（x﹣m）2+4可知：对称轴为直线x＝m，
∴C（m，0），
∴OC＝m，
∵OC＝2OA，
∴，
∴，
代入y＝﹣（x﹣m）2+4得：，
解得：m＝4或﹣4（舍），
所以m＝4；
（3）因为抛物线开口向下，故当x≤m时，y随x的增大而增大，
∵，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x＝m左侧，
若对于，都有y2＜4y1，
则（y2）max＜（4y1）min，
因为，，
所以，
解得：．
∴若对于，都有y2＜4y1，则．
【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t（t＞0）．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求x0的取值范围；
（3）当t﹣2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a，求t的值．
【分析】（1）当x＝0时，y＝2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点（1，m），（3，n）关于对称轴为x＝t对称，可得t的值；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴x＝t的对称点坐标为（2t，c），由抛物线的图象和性质，可得当x≤t时，y随x的增大而减小，当x＞t时，y随x的增大而增大，分类讨论：当点（1，m），点（3，n），点（2t，c）均在对称轴的右侧时，0＜t＜1，由函数值的大小关系，可得2t＞3，无解；当点（1，m）在对称轴的左侧，点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时，1＜t＜3，由函数值的大小关系可得t﹣1＜3﹣t，且2t＞3，可得t的取值范围，由二次函数的图象和性质，可得，即可得x0的取值范围；
（3）由抛物线的对称轴为直线x＝t，可得b＝﹣2at，由二次函数的图象和性质，可得当t﹣2≤x≤3t+2时，函数的最大值为3at2+8at+4a+c，函数的最小值为﹣at2+c，根据题意可得（3at2+8at+4a+c）﹣（﹣at2+c）＝16a，结合a＞0，t＞0，即可得t的值．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t（t＞0）．
当c＝2时，y＝ax2+bx+2，
∴当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵m＝n，
∴点（1，m），（3，n）关于对称轴x＝t对称，
∴．
（2）当x＝0时，y＝c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴x＝t的对称点坐标为（2t，c），
∵a＞0，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x＞t时，y随x的增大而增大，
当点（1，m），点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时，0＜t＜1，
∵m＜n＜c，
∴2t＞3，
解得（不符合题意，舍去），
当点（1，m）在对称轴的左侧，点（3，n），（2t，c）均在对称轴的右侧时，点（x0，m）在对称轴的右侧，1＜t＜3，
∵m＜n＜c，
∴t﹣1＜3﹣t，且2t＞3，
解得，
∵（x0，m），（1，m），对称轴为x＝t，
∴，
∴，
解得2＜x0＜3，
∴x0的取值范围为2＜x0＜3．
（3）由题意可得：，
∴b＝﹣2at，
t﹣（t﹣2）＝2，3t+2﹣t＝2t+2，
∵t＞0，
∴t﹣2＜t＜3t+2，2t+2＞2，
∵a＞0，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x＞t时，y随x的增大而增大，
∴当t﹣2≤x≤3t+2时，
函数的最大值为a（3t+2）2+b（3t+2）+c＝a（3t+2）2﹣2at（3t+2）+c＝3at2+8at+4a+c，
函数的最小值为at2+bt+c＝at2﹣2at2+c＝﹣at2+c，
∵函数的最大值与最小值的差为16a，
∴（3at2+8at+4a+c）﹣（﹣at2+c）＝16a，
∴4at2+8at﹣12a＝0，
∵a＞0，
∴t2+2t﹣3＝0，t＞0，
∴t＝1．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确进行计算解题关键．
8．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）．
（1）当点P（2，0）在该二次函数图象上时，求a的值．
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上．
①若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2．
②若﹣a＜x1＜a，x2＝2a+1，存在y1＝y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把点P（2，0）代入二次函数解析式即可解答；
（2）①当a＜0时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线x＝2，根据题意推出x1到对称轴的距离比x2到对称轴的距离小即可解答；
②根据y1＝y2，可得x1＝x2或x1+x2＝4，代入不等式即可解答．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0），
把P（2，0）代入抛物线解析式y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0），
得0＝4a﹣8a+1，
解得；
（2）①证明：抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）的对称轴为直线，
∵x1+x2＞4，
∴x2﹣2＞2﹣x1，
∵x1＜2＜x2，
∴x2﹣2为B（x2，y2）到抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）对称轴直线x＝2的距离，
2﹣x1为A（x1，y1）到抛物线对称轴直线x＝2的距离，
∵a＜0，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大，
∴y1＞y2；
②解：∵y1＝y2
∴x1＝x2或，
当x1＝x2时，x1＝x2＝2a+1，
∴﹣a＜2a+1＜a，
解﹣a＜2a+1得，
解2a+1＜a得a＜﹣1，
∴不等式组无解；
当时，即x1+x2＝4，
∴x1＝4﹣x2＝4﹣（2a+1）＝3﹣2a，
∴﹣a＜3﹣2a＜a，
解﹣a＜3﹣2a得a＜3，
解3﹣2a＜a得a＞1，
∴不等式组的解集为1＜a＜3，
综上，1＜a＜3．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
9．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值．
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）结合二次函数的图象和性质求解即可．
（3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意，∵知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），
∴4+2b﹣3＝﹣3，则b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，a＝1＞0，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线开口向上，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4；而当x＝0或2时，y＝﹣3，
∴由图象可得，当0≤x1≤2时，﹣4≤t≤﹣3，
∴k的最大值为2．
（3）∵点B（x1，t）和点C（x2，t）关于对称轴为直线x＝1对称，
∴，
∴x2＝2﹣x1，
∵4≤x2﹣x1≤6，
即4≤2﹣2x1≤6，
∴﹣2≤x1≤﹣1．
∵a＝1＞0，且当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，t＝5；x＝﹣1时，t＝0．
∴t的取值范围是0≤t≤5．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（﹣1，2）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC＝2AB，求m的值．
（3）已知M（n﹣1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数表达式即可；
（2）分类讨论：设点B的坐标为（s，m），当点A在点B的右侧时，则点C的坐标为（﹣2s，m），当点A在点B的左侧时，则点C的坐标为（2s，m），利用函数对称性进行解答即可；
（3）根据题意易得M（n﹣1，2），N（n+4，2），则MN＝5，根据线段MN与抛物线只有一个交点，列出不等式﹣1≤n+4＜3或﹣1＜n﹣1≤3，解不等式即可．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（﹣1，2）．
将点（2，5），（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得
因此，二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+5；
（2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC＝2AB，
由（1）知二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的对称轴为直线x＝1，
设点B的坐标为（s，m），当点A在点B的右侧时，如图，由AC＝2AB，
则点C的坐标为（﹣2s，m），
由对称性可得：，s＝﹣2，代入二次函数求得m＝﹣3，
当点A在点B的左侧时，如图，由AC＝2AB，则点C的坐标为（2s，m），
由对称性可得：，，代入二次函数求得，
综上所述，m的值为﹣3或；
（3）把y＝2代入y＝﹣x2+2x+5，得2＝﹣x2+2x+5，解得x＝﹣1或x＝3，
此时抛物线上纵坐标为2的两点间的距离为3﹣（﹣1）＝4，
∵M（n﹣1，2），N（n+4，2），
∴MN＝n+4﹣（n﹣1）＝5，
∵线段MN与抛物线只有一个交点，
∴﹣1≤n+4＜3或﹣1＜n﹣1≤3，
解得﹣5≤n＜﹣1或0＜n≤4，
∴当线段MN与抛物线只有一个交点时，n的取值范围为﹣5≤n＜﹣1或0＜n≤4．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想方法的运用是解题的关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点A的坐标；（要有过程）
（2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N．
①当a＝6时，求MN的长．
②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而减小时，求a的取值范围．
【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可；
（2）①求出B点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出M，N的坐标，进而求出MN的长即可；②根据点M在点N的下方，求出1＜a＜4，根据MN＝a﹣2﹣a2+4a﹣2＝﹣a2+5a﹣4，结合二次函数的增减性，进行求解即可．
【解答】解：（1）y＝mx2﹣4mx+4m﹣2
＝m（x2﹣4x+4）﹣2
＝m（x﹣2）2﹣2；
∴顶点A的坐标为（2，﹣2）；
（2）①当x＝4时，y＝x﹣2＝4﹣2＝2，
∴B（4，2），
把B（4，2）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2，得16m﹣16m+4m﹣2＝2，解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+2，
由题意，M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2），
当a＝6时，M（6，14），N（6，4），
∴MN＝14﹣4＝10；
②由①知：M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2），抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x2﹣4x+2＝x﹣2时，解得x＝1或x＝4，
∵点M在点N的下方，
∴1＜a＜4，
∴OP＝a，MN＝a﹣2﹣a2+4a﹣2＝﹣a2+5a﹣4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵线段MN的长随OP的长的增大而减小，即线段MN的长随a的增大而减小，1＜a＜4，
∴．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，3），且与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0）．
（1）若x1＝﹣1，
①求该二次函数的表达式．
②求x1+x2的值．
（2）过点（0，b）作与x轴平行的直线与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，若A，B两点都位于y轴的同一侧，求b的取值范围．
【分析】（1）①用待定系数法求二次函数解析式；
②根据对称轴来表示；
（2）用b来表示顶点D的纵坐标，然后根据b的取值范围分类讨论即可．
【解答】解：（1）①将（﹣1，0），（1，3）代入二次函数，
得，
解得，
∴；
②∵y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0）．
该二次函数图象的对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）将（1，3）代入二次函数，得﹣1+b+c＝3，即c＝4﹣b，
∴y＝﹣x2+bx+4﹣b
∴该二次函数图象与y轴交点C的坐标为（0，4﹣b），
顶点D的纵坐标为，
当b＞0时，图象如图所示，
结合图象得，
解①得b＞2，
由②得，
∴b≠4，
∴b＞2且b≠4．
当b＜0时，则相互矛盾，故不存在．
∴b＞2且b≠4．
【点评】本题考查了二次函数中待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握基本概念是解题关键．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且AB＝10，图象顶点的横坐标为4．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求方程ax2﹣（6a﹣b）x+9a﹣6b+c＝0的解．
（3）若a＝1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y＝k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当时，求k的值．
【分析】（1）先确定二次函数对称轴为直线x＝4，且A、B两点关于x＝4对称，再根据AB＝10，得到A、B两点到x＝4的距离为5，即可得到A（﹣1，0），B（9，0）；
（2）由A（﹣1，0），B（9，0）利用交点式得到y＝a（x+1）（x﹣9）＝ax2﹣8ax﹣9a，即b＝﹣8a，c＝﹣9a，代入方程ax2﹣（6a﹣b）x+9a﹣6b+c＝0求解即可；
（3）先求出抛物线解析式为y＝x2﹣8x﹣9，翻折后y′＝﹣x2+8x+9，再画出图形，设，则xP＝4+m，xQ＝4+2m，分别代入对应解析式，结合k＝yP＝yQ，得到m2＝10，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，图象顶点的横坐标为4．
∴二次函数对称轴为直线x＝4，且A、B两点关于直线x＝4对称，
∵AB＝10，A在B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（9，0）；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（9，0）两点，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣9）＝ax2﹣8ax﹣9a，
∴b＝﹣8a，c＝﹣9a，
∴方程ax2﹣（6a﹣b）x+9a﹣6b+c＝0化简为：ax2﹣14ax+48a＝0，
∴x2﹣14x+48＝0，
解得：x1＝6，x2＝8；
（3）当a＝1时，得：y＝（x+1）（x﹣9）＝x2﹣8x﹣9，
∵将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，
∴翻折后的二次函数解析式为y′＝﹣x2+8x+9，
如图，直线y＝k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，
∵，对称轴为直线x＝4，
∴设，则xP＝4+m，xQ＝4+2m，
分别代入对应解析式，得：，
∵yP＝yQ，
∴﹣m2+25＝4m2﹣25，
解得：m2＝10，
∴．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了等定系数法求函数解析式，折叠的性质，二次函数的对称性，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣5，点A（1，0）在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点B（5，y1），C（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n＞0）个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D（0，d），令d的最大值和最小值分别为d1，d2，若d1﹣d2＝12，求n的值．
【分析】（1）将点A坐标代入计算即可；
（2）根据（1）中的结果，得出抛物线的解析式，据此结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题；
（3）对n≤3和n＞3的情况进行分类讨论，得出关于n的方程，据此求出n的值即可．
【解答】解：（1）由题知，
将A（1，0）代入y＝﹣x2+bx﹣5得，
﹣1+b﹣5＝0，
解得b＝6；
（2）由（1）知，
抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5，
所以对称轴为直线x＝3，
则B（5，y1）关于直线x＝3对称点得坐标为（1，y1）．
因为抛物线的开口向下且y1＜y2，
所以1＜m＜5；
（3）因为y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，4），开口向下且与y轴的交点坐标为（0，﹣5），
则当n≤3时，d1不超过4且d2＝﹣5，
所以此时不存在d1﹣d2＝12的情况；
当n＞3时，d1＝4．
又因为d1﹣d2＝12，
所以d2＝﹣8，
则平移后的抛物线与y轴交于点（0，﹣8）．
将点（0，﹣8）代入y＝﹣（x+n﹣3）2+4得，
﹣（n﹣3）2+4＝﹣8，
解得n或n（舍去），
所以n的值为．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点A（m，n）为平面直角坐标系内一点．
（1）若将点A（m，n）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A′，求点A的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l：y＝x+1平移得直线l′，设直线l上任意一点A（m，n）平移后的对应点为A′．若直线l的平移距离，且直线AA′平行于第二、四象限的角平分线，求直线l′的函数表达式；
（3）将抛物线沿着射线y＝2x（x≥0）方向平移得到抛物线，当0≤x≤4时，抛物线上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围．
【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可；
（2）易得平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；
（3）易得，则平移距离为a，再据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，AA'5；
（2）如图，
∵AA′∥二四象限角平分线，
∴∠A'AM＝∠A“AN＝45°，
∵AA'＝AA“＝3，
∴A'M＝AM＝A“N＝AN＝3，
当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，
∴y＝（x+3）+1+3＝x+7；
当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，
∴y＝（x﹣3）+1﹣3＝x﹣5；
综上，直线l′的函数表达式为y＝x+7或y＝x﹣5；
（3），
设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，得，
∴对称轴为直线x＝2+a，平移距离，
当0≤x≤4时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，
此时，
由题意，a2+6a＜8，
解得，
∴．
【点评】本题主要考查了平移、二次函数的解析式、点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）（a为常数）．
（1）当a＝2时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a﹣1，求线段AB的长；
（3）若1＜a＜3，点（2a﹣3，m），（4a﹣5，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n．
【分析】（1）依据题意，将a＝2代入y＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）然后配方计算可以得解；
（2）由题意得，对称轴为直线x＝a+2，设点A的横坐标为xA，则，从而xA＝2（a+2）﹣（a﹣1）＝a+5，进而可得AB的长为|（a﹣1）﹣（a+5）|＝6，故可得解；
（3）依据题意，由二次项系数为1＞0，即抛物线开口向 上，则抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，又对称轴是直线x＝a+2，从而|（2a﹣3）﹣（a+2）|＝|a﹣5|＝5﹣a，|（4a﹣5）﹣（a+2）|＝|3a﹣7|，然后由，分类讨论计算可以得解．
【解答】解：（1）当a＝2时，函数为y＝（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣8x+12 ＝（x﹣4）2﹣4，
∴顶点坐标为（4，﹣4）；
（2）由题意得，对称轴为直线x＝a+2，
设点A的横坐标为xA，
∴，
∴xA＝2（a+2）﹣（a﹣1）＝a+5，
∴AB的长为|（a﹣1）﹣（a+5）|＝6；
（3）由题意，∵二次项系数为1＞0，即抛物线开口向 上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大．
∵对称轴是直线x＝a+2，
∴|（2a﹣3）﹣（a+2）|＝|a﹣5|＝5﹣a（因为1＜a＜3，a﹣5＜0），|（4a﹣5）﹣（a+2）|＝|3a﹣7|，
由题意得，，
∴当时，2a﹣2＞0（因为a＞1），即5﹣a＞7﹣3a；当时，12﹣4a＞0（因为a＜3），即5﹣a＞3a﹣7，
综上，点（2a﹣3，m）到对称轴的距离更远，
又因为抛物线开口向上，
∴m＞n．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．
17．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx﹣3b．
（1）当函数图象经过点（2，5）时；
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点A（p，q）向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数y＝﹣x2+2bx﹣3b的图象上，求p的值．
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：．
【分析】（1）①把（2，5）代入y＝﹣x2+2bx﹣3b，得出关于b的一元一次方程，解方程求出b的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于p的一元一次方程，解方程求出p的值即可；
（2）把点M（x1，y1），N（x2，y2）分别代入y＝﹣x2+2bx﹣3b，结合x2＝3﹣x1得出，根据平方的非负数性质即可得出结论．
【解答】（1）解：①由条件可知﹣22+2×2b﹣3b＝5，
解得：b＝9，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+18x﹣27．
②∵A（p，q），
∴点A（p，q）向右平移3个单位的坐标为（p+3，q），向左平移2个单位的坐标为（p﹣2，q），
∵点A（p，q）向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数y＝﹣x2+18x﹣27的图象上，
∴﹣（p+3）2+18（p+3）﹣27＝﹣（p﹣2）2+18（p﹣2）﹣27＝q，
解得：．
（2）证明：∵x1+x2＝3，
∴x2＝3﹣x1，
由条件可得，
，
∴y1+y2
，
∵，
∴．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键．
18．【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x（单位：m）和竖直高度y（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）2+k．
x … 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 …
y … 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 …
【建立模型】求出抛物线的函数表达式．
【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离．
【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为（m﹣0.1，k﹣0.1），通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米．
【分析】【建立模型】由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出a的值即可；
【分析计算】由（1）可得顶点坐标，令y＝0求出对应的x的值即可；
【模型应用】先根据题意写出新的函数表达式，再令y＝0求出对应的x的值即可．
【解答】【建立模型】由表格可知，点（0.8，2.7）和点（6.8，2.7）的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
结合表格可知，顶点坐标为（3.8，3.6），
∴m＝3.8，k＝3.6，y＝a（x﹣3.8）2+3.6，
将点（0.8，2.7）代入y＝a（x﹣3.8）2+3.6，得，
2.7＝9a+3.6，
解得，
∴；
【分析计算】由（1）可知，顶点即最高点，顶点坐标为（3.8，3.6），
将y＝0代入，得，
，
解得x1＝9.8，x2＝﹣2.2（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；
【模型应用】根据题意，改进后，，
将y＝0代入，得，
，
解得，（负值，舍去）．
∵6.32＝39.69，
又∵42＞39.69，
∴，
∴．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米．动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P出发1秒后，动点Q也从A点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点P运动t（秒）时，点P，Q与点A之间较短的弧长分别为y1，y2．y1，y2与t的函数图象如图2所示．
（1）求x的值；
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式；
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长．
【分析】（1）根据路程，速度，时间之间的关系即可求解；
（2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式即可解答；
（3）运用待定系数法得到y2的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点P，点Q间的劣弧长．
【解答】解：（1）根据图2可得，
∴x＝2÷（2.5﹣1）；
（2）当t＝2时，y1＝2，当t＝4时，y1＝0，
设y1＝kx+b，
∴，解得，
∴y1＝﹣t+4（2≤t≤4）；
（3）设y2＝mt+n，
把（1，0）（2.5，2）代入得，
，解得，
∴y2t（1≤t≤2.5），
当2≤t≤2.5时，联立方程，
解得，
∴C（，），
∴（2）×2．
【点评】本题主要考查一次函数的运用，熟练掌握一次函数的图象性质和应用是解题关键．
20．为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂AB，下臂BC长均为25cm．双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN．
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即k＝vr，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表：
旋转半径r（cm） 30 40 50
转动速度v（cm/s） 200 150 120
（1）请根据以上信息，求k的值（单位：cm2/s）．
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少cm？
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度v为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值．
【分析】（1）根据k＝vr，结合表格信息代入计算即可；
（2）当v＝300时，，结合反比例函数图象的性质求解即可；
（3）根据题意，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥AC于点F，AB＝BC＝25cm，得四边形AEBF为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解．
【解答】解：（1）k＝vr＝200×30＝6000（cm2/s）．
（2）当v＝300时，，
因为反比例函数在0＜r≤50的范围内，v随着r的增大而减小，
所以当v≤300时，r≥20，
即旋转半径r至少为20cm．
（3）当v＝160时，，即，
如图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥AC于点F，
因为AB＝BC＝25cm，
所以，
因为四边形AEBF为矩形，
所以，
所以．
【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
21．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝8米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为（m，m），
①点A的坐标为 　（m+6，m﹣2）　 ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即EF＝3米），此时货船能通过该桥洞吗？
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【分析】（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，DF交x轴于P，过点C作CQ⊥x轴于Q，则四边形CEPQ为矩形，根据CD落在第一象限的角平分线上，结合C（m，m）和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；
②设双曲线接解析式为，把，C（m，m）代入计算即可；
（2）求出当能恰好通过，则E，H在双曲线上，此时设OD和EH交于点M（n，n），过M作MN⊥x轴于N，过H作HT⊥MN轴于T，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出DM＝EF＝OD﹣OM≈2.8，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度h＝3﹣2.8＝0.2，代入计算即可．
【解答】解：（1）①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，DF交x轴于P，过点C作CQ⊥x轴于Q，则四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ，CQ＝PE，
∵点C为（m，m），
∴CQ＝OQ＝PE＝m米，
∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y＝x对称，∠DOP＝45°，
∴点D是AB的中点，OD⊥AB，
∴∠ODA＝90°，
∵AB＝16米，
∴AD＝8米，
∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，
∴∠DOP＝∠DCE＝45°，∠DPO＝90°，
∴∠DOP＝∠DCE＝∠CDE＝45°，
∴DE＝CE，PO＝PD，
∵CD＝4米，
∴PQ＝DE＝CE＝2米，
∴PO＝PD＝OQ+PQ＝（m+2）米，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠CDE＝∠ADF＝∠DAF＝45°，
∴DF＝AF，
∵AD＝8米，
∴米，
∴FP＝PD﹣DF＝m+24（m﹣2）米，OP+AF＝m+24（m+6）米，
∴，
故答案为：（m+6，m﹣2）；
②设双曲线接解析式为，
把，C（m，m）代入得：
∴，
解得，
∴点A在双曲线上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG＝EH，GH＝EF，EH＝8米，
设OD和EH交于点M（n，n），过M作MN⊥x轴于N，过H作HT⊥MN轴于T，如图4，则MN＝ON＝n米，
若能恰好通过，则E，H在双曲线上，且HM＝EMEH＝4$米，
∴∠MON＝∠OMN＝∠HMT＝∠THM＝45°，
∴TM＝HT＝$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2}$米，
∴TN＝MN﹣MT＝n﹣2$\sqrt{2}\sqrt{2}$米，
∴点$H（n+2\sqrt{2}，n﹣2\sqrt{2}）$，
把$H（n+2\sqrt{2}，n﹣2\sqrt{2}）y＝\frac{18}{x}（n+2\sqrt{2}）（n﹣2\sqrt{2}）＝18$，
解得$n＝\sqrt{26}$，
∴OM＝$\sqrt{2}\sqrt{13}$≈7.2（米），
∵$D（5\sqrt{2}，5\sqrt{2}）$，
∴OD＝10米，
∴DM＝EF＝OD﹣OM≈2.8米，
∴此船最高载货2.8米，
∵2.8＜3，
∴此船不能通过，
∴船身下降的高度h＝3﹣2.8＝0.2（米），
∵h＝$\frac{1}{10}$t，
∴t＝10h＝2（吨），
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞，
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【点评】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．
（1）求a，b，k的值；
（2）求PQ的最大值；
（3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且，求m的值．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3即可求得a，b，把B（6，0）代入y＝kx+3即可求得k；
（2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交OB于点H，先求出PH的最大值，再证明△PQH∽△BOC，可得，即可求解；
（3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对m进行分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得，，
解得，
把B（6，0）代入y＝kx+3得，6k+3＝0，
解得，
∴．
（2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交CB于点H，
∵点P的横坐标为m，
∴，，
∴．
∴当m＝3时，PH有最大值为．
∵PQ⊥BC，
∴∠PQH＝90°＝∠BOC，
∴∠QPH+∠PHQ＝90°，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°，
∴∠ABC+∠BHD＝90°，
∵∠PHQ＝∠BHD，
∴∠QPH＝∠ABC，
∴△PQH∽△BOC，
∴，
∵抛物线与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵B（6，0），
∴OB＝6，
∴，
∴，即，
∴当PH有最大值时，PQ取到最大值，
∴PQ的最大值为．
（3）由得，
∴顶点为（2，4），即当x＝2时，y有最大值4，
∵抛物线对称轴为x＝2，
∴当x＝1时或x＝3时，y值相等，即，
①当m＜1时，则在m≤x≤3时，x＝2取得最大值，x＝m时取得最小值，即，t2＝4，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当1≤m≤2时，则在m≤x≤3时，x＝2取得最大值，x＝3时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当2＜m≤3时，则在m≤x≤3时，x＝m取得最大值，x＝3时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵2＜m≤3，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定，数形结合思想是解题的关键．
23．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点C（0，5），B（10，0）（长度单位：m），求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面EG．已知“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥OC的正上方，其中光线NP所在的直线解析式为y＝﹣x+12，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，运用待定系数法求解即可；
（2）设点G的坐标为，进而表示出HG，EH＝GF的长，由EH+HG+GF＝18.4m，列方程求解可得HG，GF的长，进而根据线段之间的和差关系可求得AE的长；
（3）作直线NP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H作HG⊥PN，垂足为G，如图所示，根据平行可设直线l的解析式为y＝﹣x+m，联立直线l与抛物线解析式，根据相切结合根的判别式列式计算，即可求得直线l的解析式，进而可得点H的坐标，即可求得HN的长，根据射灯射出的光线与地面成45°角，可得∠PNO＝45°，解直角三角形即可求得HG的长．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
由题意可得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，OB＝10，
根据对称性可得AO＝OB＝10，
设点G的坐标为，
根据题意得HG＝2t，，
∵HG+EH+GF＝18.4，
∴，
解得t1＝6，t2＝14（不合题意，舍去），
∴HG＝12m，GF＝3.2m，
∴，
∴AE＝AO﹣EO＝4m；
（3）在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，
作直线NP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H作HG⊥PN，垂足为G，如图所示，
∵l∥PN，光线NP所在的直线解析式为y＝﹣x+12，
∴设直线l的解析式为y＝﹣x+m，
联立，
整理得x2﹣20x+20m﹣100＝0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ＝（﹣20）2﹣4×1×（20m﹣100）＝0，
解得m＝10，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+10，
令y＝0，则x＝10，
∴H（10，0），
∴HN＝ON﹣OH＝12﹣10＝2，
∵∠PNO＝45°，∠HGN＝90°，，
∴，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【点评】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键．
24．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
调研主题 装饰舞台——安装电子屏幕
模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C．
安装方式 矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴．
任务目标 1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米； 2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计）
数据采集 顶点F的坐标为，，．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE．
【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线L1的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线L1的函数表达式；
（2）由题意可得NP与舞台平面l之间的距离，当x＝﹣1时，，可得DG，结合已知即可得绳索的长度DE．
【解答】解：（1）由题意可得：抛物线L1的顶点坐标为，
设抛物线L1的函数表达式为（a≠0），
把点O（0，0）代入，
解得，
∴抛物线L1的函数表达式为．
（2）由题意可得NP与舞台平面l之间的距离为，
当x＝﹣1时，，
∴，
由题可得GE的长度为，
∴，
∴NP与舞台平面l之间的距离符合要求，绳索的长度DE为．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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