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浙江中考数学压轴题专题——圆综合
（精选浙江省圆综合各类经典题型）
1．如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC，CD交于E，F两点，若与的长之比为1：2，则的长为（　　）
A．π B． C． D．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交⊙O于点D，过点D作DH⊥AC，垂足为H．若2AH＝CH，BC＝10．则BD的长度为（　　）
A． B．15 C． D．
3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB是圆的直径，过点C作CE⊥AB于点E，连结AC．若BC＝CD，AE＝9，BE＝4，则△ACD的面积为（　　）
A．16 B．15 C．12 D．10
4．如图，AB为半圆O的直径，弦CD∥AB，点P在AB上，连结PD，PC．若∠DPC＝90°，∠DCP＝30°，则的值为　 　 ．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝10，AB＝BC．若，则BD的长为　 　 ．
6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AB的中点，点G在边AD上，连接EG，若△AEG的外接圆⊙O恰好与BC相切于F点，则⊙O的半径为　 　 ．
7．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D、M，则线段DM的长为　 　 ．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝2，连结AC，BD，若△ABD与△CBD的面积相等，则AC的长为　 　 ．
9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连接DE交AB于点F．若AH＝1，AB＝10，则HF的长为　 　 ．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH．延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH．若，则的值为　 　 ．
11．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD＝2DB．C为⊙O上一点，满足AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD，若CF＝1，则EF的长为　 　 ．
12．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，AD∥BC，连接OA交BC于E，OA平分∠BAD，，，则AC＝　 　 ．
13．如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ．
14．如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　 　 ．
15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，AC＝3．按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交边BC于点D；②连接AD；③分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，交BC于点F；④连接AO，并延长AO交⊙O于点G，连接BG．若设AF，AG的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为 　 　 ．
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AE＝8，．
①求⊙O的半径长．
②在⊙O上取一点F，使得BF＝BC，连接AF，求线段AF的长．
17．如图，在 ABCD中，以AD为直径作⊙O，交BC于点E，F，交CD于点G．过点E作EH⊥AD于点H，交⊙O于点P，连结PG，交AD于点Q．
（1）如图1，若，．
①求∠P的度数．
②求证：．
（2）如图2，AD＝2AB，点E为BC中点，若，CG＝3，求PG的长．
18．如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交CD于点E，F，连结OE，过点O作OG⊥OE交于点G，过点G作GH⊥CD于点H，连结GF，GC．
（1）求证：GH＝FH；
（2）若FH＝1，BC＝2，求AB的长；
（3）若CG是⊙O的切线，求证：FH2＝BC CF．
19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．
（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，，试用含m的式子表示cos∠BDF．
20．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A，C，连结AB，BC，CD，AD，过点B作BF⊥AD于点F，交AC于点G．
（1）如图2，若BF经过点O．
①求证：BG＝BC；
②若，，求⊙O的半径；
（2）若AC＝BD，，，求y关于x的函数表达式．
21．如图，AB为⊙O直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC，BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点N．
（1）如图1，连结OM，求证：OM∥BC；
（2）如图2，连结ON，AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；
（3）如图3，作MH⊥AB于H，∠BMK＝∠BAC，与⊙O交于点K（点K在AB下方），MK与AB交于点E．若，求：①⊙O的直径；②EK的长．
22．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D．连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）若∠ACB＝55°，求∠OAC的度数；
（3）若，，求AE的长．
23．在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C、D都在圆上，连接BC、CD，∠BDC＝45°．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点A作AE⊥CD于点E，求证：AE＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接BF，过点F作⊙O的切线交EA的延长线于点G，若2∠ABF+∠ABD＝90°，，BD＝24，求线段CD的长．
24．已知△ABC内接于⊙O，BO平分∠ABC．
（1）如图1，求证：AB＝BC；
（2）如图2，点D为上一点，连接AD、BD，DC交AB于点E，DC平分∠ADB，求证：AD+BD＝DC；
（3）如图3，在（2）的条件下，弦AG的延长线交BC延长线于点F，∠DAF+∠BCD＝180°，若AE＝1，CF＝3，求AG的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，⊙M交x轴于B，D两点，交y轴于A、C两点，连结AM交x轴于点G．
（1）当∠BAC＝40°时，求∠DAM的度数；
（2）如图2，若AM∥BC．
①求证：BA＝BG；
②若，DG＝8，求点A的坐标及BC的长度．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，要用尺规在直角边BC上找一点P使∠BAP＝∠ACB．
作图方法：延长AB，以B为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点D，连结CD交圆于点E，连接AE交BC的点即为P．
（1）求证：通过尺规作图，∠BAP＝∠ACB；
（2）若BP＝2，CP＝7，求tan∠ACB．
27．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于E，过C，D，E三点的圆交BC于F，且BE恰好是圆的切线，G是上一点，连接EG，FG．
（1）求∠EGF的度数；
（2）当FG是圆的直径，
①求证：四边形BEGF是平行四边形；
②若D是的中点，BC＝6，求AB的长．
浙江中考数学压轴题专题——圆综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC，CD交于E，F两点，若与的长之比为1：2，则的长为（　　）
A．π B． C． D．
【分析】连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG，先证△ABE≌△ADF（AAS），设∠BAE＝∠DAF＝α，则∠FAE＝2∠BAE＝2α，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据∠BAO+∠ABO＝90°，可得，最后利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG，
由题意知AD＝AF＝AG＝AE＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ADF＝∠AFD，
由条件可知∠ABE＝∠ADF，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADF＝∠AFD，
又∵AD＝AB，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
设∠BAE＝∠DAF＝α，
则，
∴，
由条件可知∠FAE＝2∠BAE＝2α，
∴∠BAD＝α+2α+α＝4α，
∴，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴的长．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握菱形的性质是解题的关键．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交⊙O于点D，过点D作DH⊥AC，垂足为H．若2AH＝CH，BC＝10．则BD的长度为（　　）
A． B．15 C． D．
【分析】连接AD、CD，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠HCD＝∠ABD，证明△CHD∽△BAD，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，连接AD、CD，
∵2AH＝CH，AB＝AC，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵DH⊥AC，
∴∠CHD＝∠BAD，
由圆周角定理得：∠HCD＝∠ABD，
∴△CHD∽△BAD，
∴，
设CD＝2a，则BD＝3a，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即102+（2a）2＝（3a）2，
解得：a＝2，
则BD＝3a＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB是圆的直径，过点C作CE⊥AB于点E，连结AC．若BC＝CD，AE＝9，BE＝4，则△ACD的面积为（　　）
A．16 B．15 C．12 D．10
【分析】延长AD，过点C作CF⊥AD于点F，证明△BCE∽△CAE，求出CE＝6，分别证明Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），Rt△ACF≌Rt△ACE得出DF＝4，AF＝9，得出AD＝5，根据三角形面积公式可求出S△ACD＝15．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥AB，AE＝9，BE＝4，
∴∠CEB＝∠CEA＝90°，
∴∠BCE+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠CAE，
∴△BCE∽△CAE，
∴，
∴CE2＝AE BE，
∴CE2＝9×4＝36，
∴CE＝6（负值舍去），
∵BC＝CD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE＝6；
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴DF＝BE＝4；
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）
∴AF＝AE＝9，
∴AD＝AF﹣DF＝9﹣4＝5，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
4．如图，AB为半圆O的直径，弦CD∥AB，点P在AB上，连结PD，PC．若∠DPC＝90°，∠DCP＝30°，则的值为　　 ．
【分析】过点P作PH⊥CD于点 H，连接OC，过点O作OM⊥CD于点M，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，易证明四边形HPOM是矩形，进而得到HM＝OP，由垂径定理得到CM＝DM、OM＝PH＝h，根据勾股定理得到CM的长，在Rt△PHC中，，在Rt△PHD中，，进而得到关于CD的等式，利用AP＝OA﹣OP、BP＝OB+OP求解即可．
【解答】解：过点P作PH⊥CD于点 H，连接OC，过点O作OM⊥CD于点M，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，
∴∠PHM＝∠HMO＝90°，
∵PH⊥CD、CD∥AB，
∴PH⊥AB，
∴∠HPO＝90°＝∠PHM＝∠HMO，
∴四边形HPOM是矩形，
∴HM＝OP，OM＝PH＝h，OM⊥CD，
由条件可知，
由勾股定理得：，
∴，
∴∠PDC＝∠DPC﹣∠DCP＝90°﹣30°＝60°，
∵，
，
∴，
即，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴、，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是关键．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝10，AB＝BC．若，则BD的长为　　 ．
【分析】连接OB，过点D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质及圆周角定理可得OB⊥AC，OA＝OC＝OB＝5，∠ADC＝90°，根据得出DH＝4，设CH＝x，先证明△ADH∽△DCH，根据相似三角形的性质求出x1＝2，得出OH＝3，证明△DHE∽△BOE，求出，，利用勾股定理求出，，进而可求出BD的长．
【解答】解：连接OB，过点D作DH⊥AC于点H，如图，
∵AC是⊙O的直径，且AC＝10，
∴OA＝OC＝OB＝5，∠ADC＝90°，
∵AB＝BC，OA＝OC，
∴OB⊥AC，
∵，
∴，
∴DH＝4，
设CH＝x，则AH＝10﹣x，
∵∠CDE+∠DCE＝90°，∠CDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADH＝∠DCH，
∵∠DHC＝∠DHA＝90°，
∴△ADH∽△DCH，
∴，即，
解得：x1＝2，x2＝8（大于5，舍去），
经检验，x1＝2是分式方程的解，
∴OH＝OC﹣CH＝5﹣2＝3，
∵OB⊥AC，DE⊥AC，
∴OB∥DH，
∴△DHE∽△BOE，
∴，
∴，，
在Rt△DEH中，，
在Rt△BOE中，，
∴．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．
6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AB的中点，点G在边AD上，连接EG，若△AEG的外接圆⊙O恰好与BC相切于F点，则⊙O的半径为　　 ．
【分析】连接FO并延长，交AE于H，根据切线的性质得到OF⊥DC，根据正方形的性质、平行线的性质得到OH⊥AE，根据垂径定理求出EH，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，连接FO并延长，交AE于H，
∵AB＝4，E为边AD的中点，
∴AE＝2，
∵⊙O与BC相切于F点，
∴OF⊥DC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴OH⊥AE，
∴EH＝AHAE＝1，
设⊙O的半径为r，则OH＝4﹣r，
在Rt△OHE中，OH2+EH2＝OE2，即（4﹣r）2+12＝r2，
解得：r，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D、M，则线段DM的长为　cm ．
【分析】连接AD，BD，过B作BH⊥CD于H，由圆周角定理得∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理求出BC＝8cm，判定△BCH是等腰直角三角形，求出CH＝BH＝4cm，判定△ADB是等腰直角三角形，求出BD＝5cm，由勾股定理求出DH＝3cm，得CD＝CH+DH＝7cm，判定△DBM∽△DCB，推出DB：DC＝DM：DB，即可求出DM的长．
【解答】解：连接AD，BD，过B作BH⊥CD于H，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC8（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴CH＝BHBC＝4（cm），
∵∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴BDAB＝5（cm），∠MBD＝45°，
∴DH3（cm），
∴CD＝CH+DH＝7（cm），
∵∠MBD＝∠BCD＝45°，∠BDM＝∠CDB，
∴△DBM∽△DCB，
∴DB：DC＝DM：DB，
∴5：7DM：5，
∴DM（cm）．
故答案为：cm．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，圆周角定理，角平分线的定义，关键是判定△DBM∽△DCB．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝2，连结AC，BD，若△ABD与△CBD的面积相等，则AC的长为　　 ．
【分析】分别过A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，设AC，BD交于点G，则∠AEG＝∠CFG＝90°，△ABD与△CBD的面积相等，可得AE＝CF，证明△AEG≌△CFG（AAS），可得CG＝AG，再证明△CDG∽△CAD，即可求解．
【解答】解：如图，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，设AC，BD交于点G，则∠AEG＝∠CFG＝90°，
∵△ABD与△CBD的面积相等，
∴，
∴AE＝CF，
∵∠AGE＝∠CGF，∠AEG＝∠CFG＝90°，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴CG＝AG，
∵BC＝CD＝2，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BDC＝∠CAD，
∵∠ACD＝∠DCG，
∴△CDG∽△CAD，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角相等，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连接DE交AB于点F．若AH＝1，AB＝10，则HF的长为　　 ．
【分析】连接OE，OD，BD，则OE＝OB＝OD，所以∠E＝∠ODF，由CD⊥AB于点H，根据垂径定理得，由，推导出，则DE＝DB，可证明△DOE≌△DOB，得∠E＝∠B，则∠ODF＝∠B，再证明△OFD∽△DFB，得，则DF2＝OF BF，由AH＝1，AB＝10，求得BH＝9，OD＝OA＝5，则BF＝9﹣HF，OH＝4，所以OF＝4﹣HF，DH2＝OD2﹣OH2＝9，由HF2+DH2＝DF2＝OF BF，得HF2+9＝（4﹣HF）（9﹣HF），求得HF，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OE，OD，BD，则OE＝OB＝OD，
∴∠E＝∠ODF，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，
∴，∠OHD＝90°，
∵，
∴，
∴，
∴DE＝DB，
在△DOE和△DOB中，
，
∴△DOE≌△DOB（SSS），
∴∠E＝∠B，
∴∠ODF＝∠B，
∵∠OFD＝∠DFB，
∴△OFD∽△DFB，
∴，
∴DF2＝OF BF，
∵AH＝1，AB＝10，
∴BH＝AB﹣AH＝9，OD＝OAAB＝5，
∴BF＝9﹣HF，OH＝OA﹣AH＝4，
∴OF＝4﹣HF，DH2＝OD2﹣OH2＝52﹣42＝9，
∵HF2+DH2＝DF2＝OF BF，
∴HF2+9＝（4﹣HF）（9﹣HF），
解得HF，
故答案为：．
【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH．延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH．若，则的值为　　 ．
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，得到，连接AM，MD，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到∠AMD＝90°，AM＝DM，进而推出M，A，H，D四点共圆，得到∠MAH＝∠MDA＝45°，求出，将△MDH绕点M旋转90°，得到△MAN，推出N，A，H三点共线，得到NH＝AH+AN＝a+b，三线合一，得到，进而得到，得到a＝3b，进而求出AB，MH的长，即可得出结果．
【解答】解：四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH．
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
由题意，，∠AHD＝90°
连接AM，MD，
∵AD为半圆的直径，，
∴∠AMD＝90°，AM＝DM，
∴∠MAD＝∠ADM＝45°，∠AMD+∠AHD＝180°，
∴M，A，H，D四点共圆，
∴∠MAH＝∠MDA＝45°，∠MAH+∠MDH＝180°，
∴，
由题意可得：AN＝DH＝b，∠HMN＝90°，MN＝MH，∠MAN＝∠MDH，
∴∠MAN+∠MAH＝∠MDH+∠MAH＝180°，
∴N，A，H三点共线，
∴NH＝AH+AN＝a+b，
∵MN＝MH，∠MEH＝90°，
∴，
∴，
∴a＝3b，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，正确进行计算是解题关键．
11．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD＝2DB．C为⊙O上一点，满足AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD，若CF＝1，则EF的长为　　 ．
【分析】连结BE，由AD＝2DB，AD＝AC，得AB＝3DB，AC＝2DB，∠C＝∠ADC，而∠C＝∠B，∠ADC＝∠EDB，所以∠B＝∠EDB，则BE＝DE，可证明∠AFC＝∠AEB＝90°，则△AFC∽△AEB，求得，因为DF＝CF＝1，所以，则DE，求得EF＝DE+DF，于是得到问题的答案．
【解答】解：连结BE，
∵AD＝2DB，AD＝AC，
∴AB＝2DB+DB＝3DB，AC＝2DB，∠C＝∠ADC，
∵∠C＝∠B，∠ADC＝∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵AF⊥CD于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠AFC＝∠AEB＝90°，
∴△AFC∽△AEB，
∴，
∵CF＝1，
∴，
∴DE，
∵AD＝AC，AF⊥CD于点F，
∴DF＝CF＝1，
∴EF＝DE+DF1，
故答案为：．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
12．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，AD∥BC，连接OA交BC于E，OA平分∠BAD，，，则AC＝　10　 ．
【分析】延长AO交⊙O于点F，连接FC，OB，得∠OAB＝∠OBA，证明∠BAE＝∠BEA，可证明△AOB∽△ABE，求出，再求出，再由勾股定理可求出AC＝10．
【解答】解：延长AO交⊙O于点F，连接FC，OB，如图，
∵OA平分∠BAD，
∴∠DAO＝∠BAO，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠ABO＝∠BEA，
∴△AOB∽△ABE，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又∵∠FEC＝∠BEA，∠FCB＝∠BAF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°，
∴．
故答案为：10．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　2　 ．
【分析】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导出∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得1，则DG＝EG＝3，求得AD＝7，CD，则⊙O的直径AC2．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AF＝1，EG＝FG＝3，
∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠BAC，
∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，
∵∠ABE＝∠ACG，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，
∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，
∴△CDG∽△AEG，
∴1，
∴DG＝EG＝3，
∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD，
∴AC2，
∴⊙O的直径为2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、90°的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
14．如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　　 ．
【分析】以BC为直径的半圆O，得∠A＝90°，得出直径是10，再求OD＝OE＝5，由垂径定理得OD⊥AB，OE⊥AC，则点H，W分别是AB，AC的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形HOWA是矩形，则，同理求出，，再代入MN＝DE﹣DM﹣NE进行计算，即可作答．
【解答】解：连接OD交AB于一点H，连接OE交AC于一点W，如图：
∴，
∴OD＝OE＝OB＝OD＝5，
∵D，E分别是和的中点，AB＝8，AC＝6，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点H，W分别是AB，AC的中点，
由条件可知，
∴DH＝OD﹣OH＝2，EW＝OE﹣OW＝1，
∵∠AHO＝∠HAW＝∠AWO＝90°，
∴四边形HOWA是矩形，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝OE＝5，
∴∠D＝∠E＝45°，，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，∠D＝∠E＝45°，
∴∠HMD＝45°，∠WNE＝45°，
∴HM＝DH＝2，NW＝EW＝1，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，AC＝3．按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交边BC于点D；②连接AD；③分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，交BC于点F；④连接AO，并延长AO交⊙O于点G，连接BG．若设AF，AG的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为 y　 ．
【分析】证明△ABG∽△AFD，推出，可得结论．
【解答】解：∵AG是直径，
∴∠ABG＝90°，
由作图可知AE垂直平分线段CD，AD＝AC＝3，
∴∠ADF＝∠C＝∠G，
∵∠ABG＝∠AFD＝90°，
∴△ABG∽△AFD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：y．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
三．解答题（共12小题）
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，作直径BD，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AE＝8，．
①求⊙O的半径长．
②在⊙O上取一点F，使得BF＝BC，连接AF，求线段AF的长．
【分析】（1）连接CE，由∠ABC＝90°得出AC为直径，根据AAS证明△ABC≌△AEC，从而可得结论；
（2）①根据得，由AE＝AB＝8得BC＝6，再根据勾股定理得AC＝10，从而可求出⊙O的半径长．
②延长AF，CB交于点G，根据ASA证明△ABG≌△ABC，得AG＝AC＝10，BG＝BC＝BF＝6．∠GCA＝∠G＝∠GFB，可证△FBG∽△CAG，求得FG＝7.2，从而可求出AF＝2.8．
【解答】（1）证明：如图1，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝90°，连接CE．
∴AC为直径，
∴∠AEC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∵DE∥AC，
∴∠CAE＝∠AED．
又∵∠ABO＝∠AED，
∴∠BAO＝∠CAE．
在△ABC和△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：①∵∠AED＝∠ABD＝∠BAC，，
∴．
∵AE＝AB＝8，
∴BC＝AB tan∠BAC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴OC＝5；
②如图2，延长AF，CB交于点G．
∵BF＝BC，
∴，
∴∠GAB＝∠CAB．
在△ABG和△ABC中，
，
∴△ABG≌△ABC（ASA），
∴AG＝AC＝10，BG＝BC＝BF＝6．
∴∠GCA＝∠G＝∠GFB，
∵∠G＝∠G，
∴△FBG∽△CAG，
∴．
∵FB＝BC＝6，
∴，
∴AF＝AG﹣FG＝2.8．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握相似与全等三角形的性质．
17．如图，在 ABCD中，以AD为直径作⊙O，交BC于点E，F，交CD于点G．过点E作EH⊥AD于点H，交⊙O于点P，连结PG，交AD于点Q．
（1）如图1，若，．
①求∠P的度数．
②求证：．
（2）如图2，AD＝2AB，点E为BC中点，若，CG＝3，求PG的长．
【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠AOE＝∠EOF、∠FOG＝∠DOG，进而得到∠EOG＝∠AOE+∠DOG，从而求出∠EOG＝90°，利用圆周角定理得到，据此求解即可；
②连接OE、PF、EQ、EG、AF，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到∠EOF＝60°，证得△EOF是等边三角形，根据圆周角定理得到∠QGE＝60°，根据垂径定理得到PH＝HE，易证明PQ＝EQ，在Rt△EQG中，，从而得出结论；
（2）连接AE、OE、OC，易证四边形AECO是平行四边形、四边形OECD是菱形，进而得到QG∥OC、OQ＝CF＝CG，根据，设HQ＝2a、PH＝HE＝3a，证明△AHE≌△QHP（ASA），进而得到AH＝2a、OE＝4a﹣3及OH＝2a﹣3，利用勾股定理求出a的值，根据QG∥OC证得△QDG∽△ODC，进而得到，利用PG＝PQ+QG求解即可．
【解答】（1）①解：如图1.1，，，连接OE、OF、OG，
∴∠AOE＝∠EOF、∠FOG＝∠DOG，
∴∠EOF+∠FOG＝∠AOE+∠DOG，即∠EOG＝∠AOE+∠DOG，
∵∠EOG+（∠AOE+∠DOG）＝180°，
∴2∠EOG＝180°，
∴∠EOG＝90°，
∴；
②证明：如图1.2，EH⊥BC，连接OE、PF、EQ、EG、AF，
∴∠PEF＝90°，
∴PF为⊙O的直径，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFE，
∴，
∵，
∴，
∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD，
∵∠AOE+∠EOF+∠FOD＝180°，
∴∠EOF＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠EFO＝60°，
∵∠PGE＝∠PFE，
∴∠PGE＝60°，
∵EH⊥AD，
∴PH＝HE，
∵QH⊥PE，
∴△PQE是等腰三角形，
∴PQ＝EQ，
由①知，∠P＝45°，
∴∠P＝∠HEQ＝45°，
∴∠HQE＝90°﹣∠HEQ＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PQH＝90°﹣∠P＝45°，
∴∠GQH＝180°﹣∠PQH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EQG＝∠GQH﹣∠HQE＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△EQG中，∠QGE＝60°，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，四边形ABCD是平行四边形，连接AE、OE、OC、ED，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∵O为AD的中点、E为BC的中点，
∴、，
∴AO＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECO是平行四边形，
∴AE＝OC，
∵AD＝2AB，
∴OE＝OD＝CD＝EC，
∴四边形OECD是菱形，
∴∠QDE＝∠GDE，OC⊥ED，
∵∠EPG＝∠EDG，
∴∠HPQ＝∠QDE，
∵∠HPQ+∠HQP＝90°，∠HQP＝∠DQG，
∴∠QDE+∠DQG＝90°，
∴∠QMD＝180°﹣（∠QDE+∠DQG）＝90°，
∴QG⊥ED，
∴QG∥OC，
∵EC＝CD，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴，
∵、，
∴，
∴EF＝DG，
∴CF＝CG＝3，
在△QDM和△GDM中，
，
∴△QDM≌△GDM（ASA），
∴QD＝GD，
∴OD﹣QD＝CD﹣DG，
∴OQ＝CG＝3，
∵，
∴设HQ＝2a，PH＝HE＝3a，
∵AE∥PG，
∴∠AEP＝∠QPE，
在△AHE和△QHP中，
，
∴△AHE≌△QHP（ASA），
∴AE＝PQ，AH＝HQ＝2a，
∴OC＝PQ＝AE，
∴OA＝OE＝4a﹣3，OH＝2a﹣3，
在Rt△OHE中，由勾股定理得：EH2+OH2＝OE2，
∴（3a）2+（2a﹣3）2＝（4a﹣3）2，
解得：a＝4，
∴AH＝8、HE＝12、OE＝13，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：，
∴，
∵QG∥OC，
∴∠DQG＝∠DOC，
∵∠QDG＝∠ODC，
∴△QDG∽△ODC，
∴，即，
解得：，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、平行四边形与菱形的判定与性质、垂径定理、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交CD于点E，F，连结OE，过点O作OG⊥OE交于点G，过点G作GH⊥CD于点H，连结GF，GC．
（1）求证：GH＝FH；
（2）若FH＝1，BC＝2，求AB的长；
（3）若CG是⊙O的切线，求证：FH2＝BC CF．
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）延长GH交AB于M，过E作EN⊥AB于N，根据矩形的性质得到CD∥AB，∠ABC＝∠DCB＝90°，求得∠BMH＝90°，根据矩形的性质得到EN＝HM＝BC＝2，得到HG＝FH＝1，求得GM＝3，根据全等三角形的性质得到ON＝GM＝3，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据切线的性质得到OG⊥CG，根据平行线的性质得到∠GCH＝∠OEC，∠OEC＝∠EON，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵OG⊥OE，
∴∠EOG＝90°，
∴∠EFG∠EOG＝45°，
∵GH⊥CD，
∴∠GHF＝90°，
∴∠HGF＝180°﹣∠GHF﹣∠HFG＝45°＝∠HFG，
∴GH＝FH；
（2）解：延长GH交AB于M，过E作EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠BMH＝90°，
∴四边形ENBC，四边形HMBC是矩形，
∴EN＝HM＝BC＝2，
∵HG＝FH＝1，
∴GM＝3，
∵∠ENO＝∠EOG＝∠GMO＝90°，
∴∠OEN+∠EON＝∠EON+∠GOM＝90°，
∴∠OEN＝∠GOM，
∵OE＝OG，
∴△OEN≌△GOM（AAS），
∴ON＝GM＝3，
∴OE，
∴AB＝2OE＝2；
（3）证明：∵CG是⊙O的切线，
∴OG⊥CG，
∵OG⊥OE，
∴OE∥CG，
∴∠GCH＝∠OEC，
∵CD∥AB，
∴∠OEC＝∠EON，
∵∠ONE＝∠CHG，
∴△OEN∽△CGH，
∴，
由（1）（2）知，EN＝HM＝BC，ON＝GM＝GN+HM，GH＝FH，
∴，
∴FH2＝BC CF．
【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．
（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，，试用含m的式子表示cos∠BDF．
【分析】（1）先证明∠CAD＝∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解；
（2）证明△CDF∽△CBD，得出，根据CF：BF＝1：2可设CF＝a，BF＝2a，则BC＝3a，，最后代入计算即可；
（3）过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则m，△CEF∽△CPQ，△BPQ∽△BDF，根据相似三角形的性质可求出，，，由平行线分线段成比例得出，在Rt△PDE中，cos∠PDE，结合（2）即可求解．
【解答】解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°；
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CDE，
∵，∠CBD＝33°，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠CDF＝∠CBD＝33°；
（2）由（1）得：∠CDF＝∠CBD，
∵∠DCF＝∠BCD，
∴△CDF∽△CBD，
∴，
∵CF：BF＝1：2，
设CF＝a，BF＝2a，则BC＝3a，
∴，
∴；
（3）如图，过点P作PQ∥DF交BC于点Q，
∴m，△CEF∽△CPQ，△BPQ∽△BDF，
∴，即，
，即EF，
∴，
∵PQ∥DF，
∴，即，
在Rt△PDE中，cos∠PDE，
由（2）得：，
∴cos∠BDF．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理以及推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键．
20．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A，C，连结AB，BC，CD，AD，过点B作BF⊥AD于点F，交AC于点G．
（1）如图2，若BF经过点O．
①求证：BG＝BC；
②若，，求⊙O的半径；
（2）若AC＝BD，，，求y关于x的函数表达式．
【分析】（1）①证明△BEG≌△BEC（ASA），即可得到BG＝BC；
②连接OD，推出BF垂直平分AD，设GF＝a，AF＝2a，利用勾股定理求得a＝1，在Rt△ABF中，求得BF＝4，在Rt△OFD中，利用勾股定理求解即可；
（2）分当点E靠近点D时，当点E靠近点B时，两种情况讨论，即可求解．
【解答】（1）①证明：∵AC⊥BD，BF⊥AD，
∴∠BEG＝∠AFG＝90°，
∵∠BGE＝∠AGF，
∴∠GBE＝∠GAF，
∵∠CBD＝∠GAF，
∴∠GBE＝∠CBD，
∵∠BEG＝∠BEC＝90°，BE＝BE，
∴△BEG≌△BEC（ASA），
∴BG＝BC；
②解：连接OD，
∵BF⊥AD．BF经过点O，
∴AF＝DF，
∴BF垂直平分AD，
∴∠ABF＝∠DBF，
∵tan∠GAF，
∴tan∠GAF，
设GF＝a，AF＝2a．
∴GF2+AF2＝AG2，即a2+（2a）2＝（）2，解得a＝1，
∴GF＝1．AF＝2，
∵∠ABF＝∠DBF＝∠GAF，
在Rt△ABF中，tan∠ABF，
∴BF＝4，
令OB＝r，则OF＝4﹣r，DF＝ AF＝2，．在Rt△OFD中，由勾股定理得22+（4﹣r）2＝12，解得r＝2.5；
（2）解：①当点E靠近点D时，
∵AC＝ BD，
∴，
∴，
∴∠BAE＝∠DBA＝∠EDC＝∠ECD．
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∴△ABE和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AE＝BE．DE＝CE．
∵BG＝BC，BE⊥GC，
∴GE＝CE，
∴GE＝CE＝DE，
设GE＝CE＝DE＝a，则AG＝ax，
∴AE＝AG+GE＝ax+a，
∴BE＝AE＝ax十a，
∴BD＝ BE+DE＝ax+2a，
∴y；
②当点E靠近点B时，
同理可证△BEC和△AED均为等腰直角三角形，
令BE＝CE＝EG＝a，AG＝ax，AE＝DE＝ax+a，
∴BD＝BE+DE＝ax+2a，
∴y，
综合上得：y或y．
【点评】本题考查与圆有关的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解题意，分情况讨论是解题关键．
21．如图，AB为⊙O直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC，BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点N．
（1）如图1，连结OM，求证：OM∥BC；
（2）如图2，连结ON，AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；
（3）如图3，作MH⊥AB于H，∠BMK＝∠BAC，与⊙O交于点K（点K在AB下方），MK与AB交于点E．若，求：①⊙O的直径；②EK的长．
【分析】（1）由垂径定理可得OM⊥AC，再由圆周角定理得出CB⊥AC，即可得证；
（2）连接OM交AC于点G，由垂径定理可得OM⊥AC，AG＝CG，证明OG为△ABC的中位线，得出BC＝2OG，再由垂径定理可得BN＝MN，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，证明△BCN≌△MGN（AAS），得出MG＝BC＝2OG，求出OA＝OM＝3OG，由勾股定理可得，即可得出，最后由正切的定义计算即可得出结果；
（3）①延长MH交⊙O于点F，由题意可得，由垂径定理可得，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；
②设AH＝a，则，证明△AMH∽△BMH，求出，BH＝2，由勾股定理可得AM＝3，BM＝3，求出tan∠ABM，由①可得AC＝2，tan∠BMK＝tan∠BAC，过点E作EP⊥BM于点P，设PEb，则BP＝2b，MP＝4b，求出PE＝1，BP，MP＝2，由勾股定理可得BEME＝3，则AE＝2，连接BK，则∠MAB＝∠MKB，证明△AEM∽△KEB，得出，代入计算即可得出结果
【解答】（1）证明：∵点M为中点，
∴OM⊥AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即CB⊥AC，
∴OM∥BC；
（2）解：如图，连接OM交AC于点G，
∵点M为中点，
∴OM⊥AC，AG＝CG，
∵O为AB的中点，
∴OG为△ABC的中位线，
∴BC＝2OG，
∵ON⊥BM，
∴BN＝MN，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在△BCN和△MGN中，
，
∴△BCN≌△MGN（AAS），
∴MG＝BC＝2OG，
∴OM＝OG+MG＝3OG，
∴OA＝OM＝3OG，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长MH交⊙O于点F，
∵点M为中点，
∴，
∵MH⊥AB，且AB为直径，
∴，∠ACB＝90°，
∴，
∴，
∴AC＝MF＝2MH＝2，
∴AB3；
②设AH＝a，则BH＝AB﹣AH＝3a，
∵AB为直径，MH⊥AB，
∴∠AMB＝∠AHM＝∠BHM＝90°，
∴∠AMH+∠MAH＝∠AMH+∠BMH＝90°，
∴∠MAH＝∠BMH，
∴△AMH∽△MBH，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，BH＝2，
∴AM3，，
∴，
由①可得：，tan∠BAC，
∵∠BMK＝∠BAC，
∴tan∠BMK＝tan∠BAC，
过点E作EP⊥BM于点P，
设，
∵，tan∠BMK，
∴BP＝2b，MP＝4b，
∴BM＝MP+BP＝6b，
∴6b＝3，
∴b，
∴PE＝1，BP，，
∴BE，ME3，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
连接BK，则∠MAB＝∠MKB，
∵∠AEM＝∠BEK，
∴△AEM∽△KEB，
∴，
∴，
∴EK＝2．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D．连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）若∠ACB＝55°，求∠OAC的度数；
（3）若，，求AE的长．
【分析】（1）得出∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB即可；
（2）连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可；
（3）延长AO，交BC于点F，连接OC，先证出△AOE∽△CDE，则，再设DE＝4a（a＞0），则OE＝3a，BE＝10a，BD＝14a，证出△AOE∽△BAE，求出AE，CE的长，则可得AB的长，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB．
（2）解：如图，连接OC，
∵AB＝AC，∠ACB＝55°，
∴∠ABC＝∠ACB＝55°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝110°，
∵OA＝OC，
∴．
（3）解：如图，延长AO，交BC于点F，连接OC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AF垂直平分BC，
∴∠CAF+∠ACB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CAF，
∴AF∥CD，
又∵∠AEO＝∠CED，
∴△AOE∽△CDE，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设DE＝4a（a＞0），则OE＝3a，
∴OB＝OD＝OE+DE＝7a，
∴BE＝OB+OE＝10a，BD＝2OB＝14a，
由圆周角定理得：∠ABE＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠CAF，即∠ABE＝∠OAE，
又∵∠BEA＝∠AEO，
在△AOE和△BAE中，
，
∴△AOE∽△BAE，
∴，
∴AE2＝BE OE＝30a2，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，即，
解得或（舍去），
∴．
【点评】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
23．在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C、D都在圆上，连接BC、CD，∠BDC＝45°．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点A作AE⊥CD于点E，求证：AE＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接BF，过点F作⊙O的切线交EA的延长线于点G，若2∠ABF+∠ABD＝90°，，BD＝24，求线段CD的长．
【分析】（1）连接CO．证明∠AOC＝∠BOC．即可得到结论；
（2）连接AD．证明∠DAE＝∠ADE，即可得到结论；
（3）连接OF，OE，OD．过点E作EM⊥FG于点M．证明四边形FMEO为矩形．设AB＝26m，FG＝20m．则OF＝EM＝GM＝13m．得到FM＝OE＝7m．连接AD，延长OE交AD于N．求出OE＝7，AO＝OD＝13．过点O作OK⊥CD于点K．求出．在Rt△OKD中，求出．即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接CO．
∵∠BDC＝45°，
∴∠COB＝2∠BDC＝90°．
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣90°＝90°．
∴∠AOC＝∠BOC．
∴．
（2）证明：连接AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB＝90°﹣45°＝45°．
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAE＝∠AEC﹣∠ADC＝90°﹣45°＝45°．
∴∠DAE＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（3）解：连接OF，OE，OD．
∵AE＝DE，OE＝OE，AO＝DO，
∴△AOE≌△DOE（SSS）．
∴，∠AEO＝∠DEO．
∵，
∴．
∴∠AOE＝∠ABD．
∵，
∴∠AOF＝2∠ABF．
∵2∠ABF+∠ABD＝90°，
∴2∠ABF+∠ABD＝∠AOF+∠AOE＝90°．
即∠EOF＝90°．
∵FG与⊙O相切于点F，
∴OF⊥FG．
∴∠OFG＝90°．
∴∠OFG+∠FOE＝180°．
∴OE∥FG，
∵∠AED＝∠AEC＝90°，
∴．
∴∠CEO＝45°，∠G＝180°﹣∠AEO＝180°﹣135°＝45°．
过点E作EM⊥FG于点M．
∴∠GME＝90°．
∴∠GEM＝45°＝∠G．
∴GM＝ME．
∵∠FME＝90°，
∴四边形FMEO为矩形．
∴．
∵，
设AB＝26m，FG＝20m．
则OF＝EM＝GM＝13m．
∴FM＝OE＝7m．
连接AD，延长OE交AD于N．
∵AO＝OD，∠AOE＝∠DOE，
∴AN＝ND，AD⊥ON．
∵AO＝OB，BD＝24，
∴．
在Rt△AED中，
∵AN＝ND，
∴．
在Rt△ANO中，
∵AN2+ON2＝AO2，
∴（12﹣7m）2+122＝（13m）2．
解得（舍）．
∴OE＝7，AO＝OD＝13．
过点O作OK⊥CD于点K．
∴CD＝2DK，∠DKO＝90°．
∴在Rt△KEO中，．
即．
∴．
在Rt△OKD中，
∴．
∴．
【点评】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关定理是关键．
24．已知△ABC内接于⊙O，BO平分∠ABC．
（1）如图1，求证：AB＝BC；
（2）如图2，点D为上一点，连接AD、BD，DC交AB于点E，DC平分∠ADB，求证：AD+BD＝DC；
（3）如图3，在（2）的条件下，弦AG的延长线交BC延长线于点F，∠DAF+∠BCD＝180°，若AE＝1，CF＝3，求AG的长．
【分析】（1）如图1：连接OA，OC．由角平分线的定义、等腰三角形的性质证明△BOA≌△BOC（AAS），再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由角平分线的定义和圆周角定理以及等角对等边可得AC＝BC＝AB，如图：在CD上取点R，使CR＝BD，连接AR．可证△ABD≌△ACR（SAS）可得∠ADR＝∠BAC＝∠DAR，易得DR＝AR＝AD，再运用等边对等角即可证明结论；
（3）设∠DBA＝α．则∠ACD＝∠ABD＝α．易证△ABC为等边三角形，则∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，结合邻补角性质可得∠BCD＝60°﹣α，进而得到∠DAF＝120°+α，∠F＝∠ACB﹣∠CAF＝60°﹣2α；如图3，在BC上取点T，使BT＝AE＝1，连接AT．易证△ABT≌△CAE可得∠BAT＝∠ECA＝α，进而得到∠ATF＝∠TAF，则AF＝TF；设TC＝x，则AF＝TF＝x+3，AB＝BC＝x+1．过A作AW⊥BC于点W，则∠AWB＝∠AWF＝90°；解直角三角形可得、、．再运用勾股定理列方程解得x＝4，进而得到AF＝7，AC＝AB＝5；连接CG．再证明△ACG∽△AFC，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，BO平分∠ABC，连接OA，OC．
∴∠ABO＝∠CBO．
∵OB＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OA，OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝∠OCB，即∠BAO＝∠OCB，
在△BOA和△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（AAS），
∴AB＝BC；
（2）证明：∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC．
∵，
∴∠BAC＝∠BDC＝∠ADC．
∵，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAC，
∴AC＝BC＝AB；
如图2，在CD上取点R，使CR＝BD，连接AR．
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
在△ABD和△ACR中，
，
∴△ABD≌△ACR（SAS），
∴AD＝AR，∠DAB＝∠RAC，
∴∠BAC＝∠RAC+∠BAR＝∠DAB+∠BAR＝∠DAR．
∵∠ADR＝∠BAC＝∠DAR，
∴DR＝AR＝AD，
∴AD+BD＝DR+RC＝CD；
（3）解：设∠DBA＝α．则∠ACD＝∠ABD＝α．
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠BCD＝60°﹣α，
∵∠DAF+∠BCD＝180°，
∴∠DAF＝120°+α，
∵，
∴∠DAB＝∠BCD＝60°﹣α，
∴∠CAF＝∠DAF﹣∠DAB﹣∠BAC＝2α，
∴∠F＝∠ACB﹣∠CAF＝60°﹣2α，
如图3：在BC上取点T，使BT＝AE＝1，连接AT．
∵AB＝AC，∠ABT＝∠EAC＝60°，
∴△ABT≌△CAE（SAS），
∴∠BAT＝∠ECA＝α，
∴∠ATF＝∠ABT+∠BAT＝60°+α，
∴∠TAF＝180°﹣∠F﹣∠ATF＝60°+α，
∴∠ATF＝∠TAF，
∴AF＝TF，
设TC＝x，则AF＝TF＝x+3，AB＝BC＝x+1，
过A作AW⊥BC于点W，则∠AWB＝∠AWF＝90°，
在Rt△AWB中，，
∴，，
∴，
∵AW2+FW2＝AF2，
∴，
解得：x＝4，
∴AF＝7，AC＝AB＝5，
如图：连接CG，
∵∠AGC+∠ABC＝180°，
∴∠AGC＝120°，
∵∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠ACF＝∠AGC，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△ACG∽△AFC，
∴，
∴，
解得：．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
25．如图1，在平面直角坐标系中，⊙M交x轴于B，D两点，交y轴于A、C两点，连结AM交x轴于点G．
（1）当∠BAC＝40°时，求∠DAM的度数；
（2）如图2，若AM∥BC．
①求证：BA＝BG；
②若，DG＝8，求点A的坐标及BC的长度．
【分析】（1）连接MD，先求出∠ABD＝50°，即可得到∠AMD＝2∠ABD＝100°，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）①延长AM交⊙M于点E，连接BE，得到∠E＝∠CAE，然后根据同角的余角相等得到∠BAE＝∠AGB，即可得到结论；
②设AO＝3x，则OB＝4x，即可求出AB＝5x，OG＝x，根据正切的定义得到，再根据BC∥AE，得到求出x值即可解题．
【解答】（1）解：如图1，∠AOB＝90°，∠BAC＝40°，连接MD，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AMD＝2∠ABD＝100°，
又∵MA＝MD，
∴；
（2）①证明：如图2，延长AM交⊙M于点E，连接BE，则AE是⊙M的直径，∠BCA＝∠E，
∴∠ABE＝90°，
又∵BC∥AE，
∴∠BCA＝∠CAE，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠E+∠BAE＝∠CAE+∠AGB＝90°，
∴∠BAE＝∠AGB，
∴BA＝BG；
②解：∵，DG＝8，
设AO＝3x，则OB＝4x，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∴OG＝BG﹣BO＝AB﹣BO＝5x﹣4x＝x，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴，
∴，
又∵BC∥AE，
∴，
∴，
解得：x＝1（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴点A的坐标为（0，3），BO＝4，OC＝12，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理，勾股定理和解直角三角形，平行线分线段长比例，添加辅助线构造直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，要用尺规在直角边BC上找一点P使∠BAP＝∠ACB．
作图方法：延长AB，以B为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点D，连结CD交圆于点E，连接AE交BC的点即为P．
（1）求证：通过尺规作图，∠BAP＝∠ACB；
（2）若BP＝2，CP＝7，求tan∠ACB．
【分析】（1）根据作图可得BC垂直平分AD，进而根据等边对等角得出∠BAC＝∠D，根据直径所对的圆周角是直角以及已知条件得出∠ACP+∠BAC＝90°，∠BAP+∠D＝90°，进而即可得证；
（2）根据（1）的结论可得tan∠BAP＝tan∠ACP得出，进而根据正切的定义，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BD，∠ABC＝90°，
∴BC垂直平分AD，
∴CA＝CD，
∴∠CAD＝∠D，即∠BAC＝∠D，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACP+∠BAC＝90°，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAP+∠D＝90°，
∴∠BAP＝∠ACB，
（2）解：∵∠BAP＝∠ACP，
∴tan∠BAP＝tan∠ACP，
∴，
∵BP＝2，CP＝7，
∴BC＝BP+PC＝9，
∴，
∴AB2＝2×9＝18，
∴（负值舍去），
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，正切的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于E，过C，D，E三点的圆交BC于F，且BE恰好是圆的切线，G是上一点，连接EG，FG．
（1）求∠EGF的度数；
（2）当FG是圆的直径，
①求证：四边形BEGF是平行四边形；
②若D是的中点，BC＝6，求AB的长．
【分析】（1）连接CE，证明CE是直径，从而可证∠BEC＝90°，求出∠BCE＝90°﹣45°＝45°，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接EF，求出∠EFC＝∠FCE＝90°可证CF∥EG，再证明∠CBE＝∠CFG可得BE∥FG，从而可证四边形BEGF是平行四边形；
②延长BC，AD相交于点H，先求出，，再求出，证明△ABH∽△EFH得，代入数据即可求解．
【解答】（1）解：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE恰好是圆的切线，如图，∠ABC的平分线BE交AD于E，连接CE，
∴CE是直径，∠BEC＝90°．
∵∠ABC的平分线BE交AD于E，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∵，
∴∠EGF＝∠BCE＝45°；
（2）①证明：连接EF，
∵CE，FG是圆的直径，
∴∠EFC＝∠FCE＝90°，
∴CF∥EG，
∴∠CFG＝∠EGF＝45°，
∵∠CBE＝45°
∴∠CBE＝∠CFG，
∴BE∥FG，
∴四边形BEGF是平行四边形；
②解：延长BC，AD相交于点H，
∵∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BC＝6，
∴．
∵EF⊥BC，
∴．
∵D是的中点，
∴∠DEG＝∠DEC．
∵CF∥EG，
∴∠DEG＝∠H，
∴∠H＝∠DEC，
∴．
∵∠EFH＝∠ABC＝90°，∠H＝∠H，
∴△ABH∽△EFH，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
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